《管理學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第四章課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《管理學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第四章課件（48頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì) 方差及其性質(zhì)方差及其性質(zhì) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 契比雪夫不等式契比雪夫不等式 常見的重要分布的數(shù)字特征常見的重要分布的數(shù)字特征 分布函數(shù)能完全描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但求分布函數(shù)能完全描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但求 分布函數(shù)常常是困難的，且在很多實(shí)際問題中，只需分布函數(shù)常常是困難的，且在很多實(shí)際問題中，只需 知道隨機(jī)變量的某些特征，而不必求分布函數(shù)。知道隨機(jī)變量的某些特征，而不必求分布函數(shù)。由于這些隨機(jī)變量的特征通常是與隨機(jī)變量有關(guān)由于這些隨機(jī)變量的特征通常是與隨機(jī)變量有關(guān) 的數(shù)值，故稱它們?yōu)殡S機(jī)變量的數(shù)字特征。的數(shù)值，故稱它們?yōu)殡S機(jī)變量的數(shù)字特征

2、。本章介紹常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方本章介紹常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方 差，相關(guān)系數(shù)和矩。數(shù)學(xué)期望是最重要的一種，其余差，相關(guān)系數(shù)和矩。數(shù)學(xué)期望是最重要的一種，其余 都可以由它來定義。都可以由它來定義。引言1 1、數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)期望II IIII 槍手每次射擊的得分槍手每次射擊的得分X是一是一個隨機(jī)變量，其分布律為個隨機(jī)變量，其分布律為X012kp1p2p0p 現(xiàn)射擊現(xiàn)射擊N次次,其中得其中得0分的有分的有 次次,得得1分的有分的有 次次,得得2分的有分的有 次次,于是于是,射擊射擊N次次的總分為的總分為0a1a2a.210Naaa.210210aaa從而從而,每次射擊的平均分

3、為每次射擊的平均分為.21020210kkNakNaaa 在第五章在第五章大數(shù)定律大數(shù)定律中可證明中可證明:當(dāng)當(dāng)N無限增大時無限增大時,頻率頻率 接近于概率接近于概率 ,故當(dāng)故當(dāng)N很大時很大時,NakkXPpk.2020kkkkpkNak這表明這表明:隨著試驗(yàn)次數(shù)增大隨著試驗(yàn)次數(shù)增大,隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的觀察值的算的觀察值的算術(shù)平均術(shù)平均 接近于接近于20kkNak,20kkpk稱后者為隨機(jī)變量稱后者為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望(均值均值).隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X的的記為記為E(X),E(X),定義為定義為連續(xù)型離散型,)(,)(1dxxxfpxXEkkk)(,xfpk(1)(8.18.0

4、22.0100)(1分XE)(5.01.023.016.00)(2分XE)()(21XEXE8.02.002101kpX1.03.06.02102kpX.,0,30001500),3000(,15000,)(221500115001其它xxxxxf 解這是解這是連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量。由數(shù)學(xué)期望定義得：隨機(jī)變量。由數(shù)學(xué)期望定義得：dxxxfXE)()(dxx15000150022dxxx300015001500)3000(2|)150(|30001500233115000331150012xxx)(1500 分分段函分段函數(shù)的積數(shù)的積分分 定理定理1 1 設(shè)設(shè)Y=g(X)Y=g(X)是隨機(jī)變量是

5、隨機(jī)變量X X的連續(xù)函數(shù)，則的連續(xù)函數(shù)，則Y Y 也是隨機(jī)變量，且其數(shù)學(xué)期望為也是隨機(jī)變量，且其數(shù)學(xué)期望為連續(xù)型離散型,)()(,)()()(1dxxfxgpxgXgEYEkkk(2)利用隨機(jī)變量函數(shù)的分布可以證明下列兩定理利用隨機(jī)變量函數(shù)的分布可以證明下列兩定理:其中無窮級數(shù)或廣義積分均其中無窮級數(shù)或廣義積分均，分分 別為離散型隨機(jī)變量別為離散型隨機(jī)變量 的分布律或連續(xù)型隨機(jī)變量的分布律或連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度。的概率密度。)(,xfpk其中無窮級數(shù)或廣義積分均絕對收斂其中無窮級數(shù)或廣義積分均絕對收斂,分分 別為離散型隨機(jī)變量別為離散型隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的分布律和連續(xù)型隨機(jī)的分布

6、律和連續(xù)型隨機(jī) 變量變量(X,Y)(X,Y)的概率密度。的概率密度。),(,yxfpij Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的連續(xù)函數(shù)，的連續(xù)函數(shù)，則則Z Z也是隨機(jī)變量，且其數(shù)學(xué)期望為也是隨機(jī)變量，且其數(shù)學(xué)期望為 連續(xù)型離散型,),(),(,),(),()(11dxdyyxfyxgpyxgYXgEZEiijjij(3)()(),cov(YEYXEXEYX【例【例3 3】P.115:eg6P.115:eg6 解設(shè)解設(shè)X為隨機(jī)取一球的標(biāo)號為隨機(jī)取一球的標(biāo)號,則則r.v.X等可等可 能地取值能地取值1,2,3,4,5,6;又又Y=g(X),且且 g(1)=g(

7、2)=g(3)=1;g(4)=g(5)=2,g(6)=5.故隨機(jī)摸一球得分的期望為故隨機(jī)摸一球得分的期望為61)()()(kkXPkgXgEYE2615612612611611611.0,0,0,)(441xxexfx.10,200,1,100)(XXXadxxfxaXaE)()()(dxedxexx141104144100)200(110|100|20044xxee4141100)1(200ee.64.3320030041eD 1 解這是二維解這是二維連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。聯(lián)合概率密度函數(shù)非零區(qū)域?yàn)槁?lián)合概率密度函數(shù)非零區(qū)域?yàn)閤y xyox0f dxdyy

8、xxfXE),()(.10,0:xxyD故由定理故由定理2得得:dxdyyxD212dyyxdxx100212dxxdxyxx10401034|312.54|54105xxdxdyyxydxdyyxxyfXYED212),()(.213|31210501041003dxxdxyxdyyxdxxx例5-續(xù) 在計(jì)算二維連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字?jǐn)?shù)字特征時在計(jì)算二維連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字?jǐn)?shù)字特征時,需需 要計(jì)算廣義二重積分，當(dāng)概率密度在有界區(qū)域要計(jì)算廣義二重積分，當(dāng)概率密度在有界區(qū)域D D上非上非 零時，實(shí)際上是計(jì)算普通二重積分零時，實(shí)際上是計(jì)算普通二重積分.數(shù)學(xué)期望具有如下性質(zhì)數(shù)學(xué)期望具有如下性質(zhì):設(shè)設(shè)X

9、,YX,Y為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量,c為為常數(shù)常數(shù),則則 E(c)=c;E(cX)=cE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y);當(dāng)當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時相互獨(dú)立時,E(XY)=E(X)E(Y);【證】由隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望知【證】由隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望知:此時此時,為退化分布為退化分布:PX=C=1,故由定義得故由定義得:E(c)=E(X)=cPX=c=c.由定義得由定義得:)(,)(,)(1XcEdxxcxfpcxcXEkkk連續(xù)型離散型現(xiàn)就連續(xù)型證下面兩條：現(xiàn)就連續(xù)型證下面兩條：設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度、邊緣概率密的概率密度、邊緣概率密度分別為度分別為).()

10、,(),(yfxfyxfYX 由隨機(jī)變量函數(shù)的期望得由隨機(jī)變量函數(shù)的期望得:dxdyyxfyxYXE),()()(dxdyyxfydxdyyxfx),(),().()(YEXE 由由X,Y相互獨(dú)立得相互獨(dú)立得:),()(),(yfxfyxfYXdxdyyxfxyXYE),()()()(dyyfydxxxfYX).()(YEXE 利用期望的性質(zhì)可以簡化某些期望的計(jì)算以及推利用期望的性質(zhì)可以簡化某些期望的計(jì)算以及推 出其它數(shù)字特征的一些性質(zhì)出其它數(shù)字特征的一些性質(zhì).解解方法方法1(表格法表格法)由由X的分布列得的分布列得:X-202P0.40.30.3X204Pk0.30.73X2+5517Pk0

11、.30.7E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;于是于是,E(X2)=00.3+40.7=2.8;E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.因?yàn)橐驗(yàn)镋(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;所以所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.例例6-6-續(xù)續(xù) E(X2)=00.3+40.7=2.8;E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.因?yàn)橐驗(yàn)镋(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;所以

12、所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.例例6-6-續(xù)續(xù))()(2XEXEXD)()(XDX22)()()(XEXEXD(6)2)()(XEXXg 顯然顯然,方差方差D(X)D(X)就是就是隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X的函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望.因此因此,當(dāng)當(dāng)X X的分布律的分布律 或概率密度或概率密度 已知時已知時,有有)(xfkp連續(xù)型離散型,)()(,)()(212dxxfXExpXExXDkkk(5)【例【例8 8】P.122:eg3P.122:eg3解解1)1(kppkXP),3,2,1(k1)(kkXkPXE11)1(kkpkppxxp1|)11(pxkk

13、xp10|)(pxxp12|)1(121pp;1p又又122)(kkXPkXE112)1(kkpkp11)1()1(kkpkkkp2112)1()1)(1()1(kkkkpkppkkpp 01)(|)(kpxkXExppxppx1|)11(1 pxppx1|)1(213;1)1(22ppp故故22)()()(XEXEXD.12pp【例【例9 9】其它，,0;10,1;01,1)(xxxxxfdxxxfXE)()(1001)1()1(dxxxdxxx10201211dxxdxxxdx;0 方差具有如下性質(zhì)方差具有如下性質(zhì):設(shè)設(shè)X,YX,Y為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量,c為常數(shù)為常數(shù),則則 D(c)=0;

14、D(cX)=c2D(X);D(X+c)=D(X);當(dāng)當(dāng)X,YX,Y相互獨(dú)立時相互獨(dú)立時,D(XY)=D(X)+D(Y);【證】只證只證4。D(aX+b)=a2D(X)D(X)=0的充要條件的充要條件PX=C=1,其中其中C=E(X).2)()(YEYXEXE)()()(2YXEYXEYXD)()(22YEYEXEXE)()(2YEYXEXE 由于由于X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,故可以證明故可以證明X-E(X),Y-E(Y)也也 相互獨(dú)立。于是，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得：相互獨(dú)立。于是，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得：)()(YEYXEXE.0)()(YEYEXEXE從而，有從而，有).()()(YDXDYXDP.8

15、7:定理定理解解X的所有可能取的值為的所有可能取的值為0,1,2,n.),(1pnBXXnii 事件事件 X=k是是 個互斥基本事件的和事件個互斥基本事件的和事件,且其中且其中每個基本事件為每個基本事件為“從從n個格子中取出個格子中取出k個放入個放入1,其余放其余放入入0”.由獨(dú)立性易知由獨(dú)立性易知:每個基本事件的概率為每個基本事件的概率為knC,)1(knkpp故故),1,0()1(nkppCkXPknkkn從而從而,).,(pnBXpppXii110),1(pBXi).1()(,)(ppXDpXEiiniiXEXE1)(niiXDXD1)()(1niiXD獨(dú)獨(dú)立立)1(1ppni).1(p

16、np)(1niiXE,1nppni.122XP,8889.03XP.9375.04XP 由對立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一由對立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一 形式形式:設(shè)設(shè)X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n,pn,p的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布B(n,p),B(n,p),則其分布律為則其分布律為).,1,0()1(nkppCkXPknkkn在在2 2例例1010中已經(jīng)求得中已經(jīng)求得).1()(,)(),(pnpXDnpXEpnBX).,2,1,0(!kkekXPk0!)(kkkekXE11)!1(kkke.ee)(!0Rxnxennx022!)(kkkekXE0!)1(kkkekkk)()!

17、2(222XEkekkee2222)()()(XEXEXD.)(22)()()(XDXEPX 設(shè)設(shè)X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為,2 2的正態(tài)分布的正態(tài)分布N(,N(,2 2),),則則其概率密度為其概率密度為)(21)(222)(xexfx其中其中.0,R 數(shù)學(xué)期望為：數(shù)學(xué)期望為：dxxxfXE)()(dxxex222)(21dtett22)(21dttedtett22222121奇函數(shù)在對稱區(qū)間奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零上的積分為零換元換元xt標(biāo)準(zhǔn)正標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率態(tài)概率密度性密度性質(zhì)質(zhì)dxxfxXD)()()(2dxexx222)(2)(21dtett222)(21dttett222212dt

18、dxtxtxxt:22221ttdedtetett22222|21dtet2222122)(,)(),(XDXENX,0,1)(其它bxaabxf則則X X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為:dxxxfXE)()(baxdxab1baxab|21122badxxfxXE)()(22dxxab21baxab|3113322baba22)()()(XEXEXD4232222babababa12)(2ab.12)()(,2)(),(2abXDbaXEbaUX21)(,1)()(XDXEeX)()(),(YEYXEXEYXCov)()(),(YDXDYXCovXY),()()()(YXCovYDXDYXD)()

19、()(),(YEXEXYEYXCov 對稱性對稱性:Cov(X,Y)=Cov(Y,X);線性性線性性:Cov(aX,Y)=aCov(X,Y)(a為常數(shù)為常數(shù)),Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).|XY|1;若若Y=aX+b(a,b為常數(shù)為常數(shù),且且a0),則則.0,1,0,1aaXYX與與Y正相關(guān)正相關(guān)X與與Y負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)|XY|=1的充要條件是存在常數(shù)的充要條件是存在常數(shù)a,b,使使PY=aX+b=1.)()(),(YEYXEXEYXCov0)()(YEYEXEXE21 xy21 xy0f.,0,1,),(221其它yxyxf試證試證X X與與Y Y不相關(guān)不相關(guān),但但

20、X X與與Y Y不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立.xyo11xdyyxfxfX),()(,0,11,12211其它xdyxx【例【例1】.,0,11,12)(2其它xxxfX.,0,11,12)(2其它yyyfYdxxfxXEX)()(dxxx11212奇函數(shù)在對奇函數(shù)在對稱區(qū)間上積稱區(qū)間上積分為零分為零 由于由于)1)()(),(22yxyfxfyxfYX利用對稱性得利用對稱性得:dxdyyxfxyXYE),()(dxdyyxfxyyx),(122;0)(YEdxdyxyyx12212010sincos1rdrrddrrddxdyryrxsincos20103cossin1drd;00cossin20d

21、于是于是,X,X與與Y Y的協(xié)方差為的協(xié)方差為0)()()(),cov(YEXEXYEYX21212221)()1(21exp121),(xyxf22222121)()(2yyx);(21)(21212)(1xexfxX).(21)(22222)(2yeyfxY.)(,)(,)(,)(222211YDYEXDXEdxdyyxfyxYX),()(),cov(21)(12121221yxdxdyeexyx2112222121)1(212)(,111111222xuxyt,)1(,22211utyuxdtduutyxdxdy),(),(dtdu222110dtdu2211 uYX1221121),cov(dtdueeuttu22122221)1(22duuedtteut222212212dueudteut22222dueudteut22221222奇函數(shù)在對奇函數(shù)在對稱區(qū)間上積稱區(qū)間上積分為零分為零分部積分部積分分duuedteut222122212121