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高中數(shù)學(xué) 6.3 數(shù)學(xué)歸納法同步精練 湘教版選修2-2 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，驗(yàn)證n＝1時(shí)等式的左邊為(　　)． A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 2．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n－3)條時(shí)，第一步驗(yàn)證n等于(　　)． A．1 B．2 C．3 D．0 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)． A．假設(shè)n＝2k＋1時(shí)正確，再推n＝2k＋3時(shí)正確 B．假設(shè)n＝2k－1時(shí)正確，再推n＝2k＋1時(shí)正確 C．假設(shè)n＝k時(shí)正確，再推n＝k＋1時(shí)正確 D．假設(shè)n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2時(shí)正確 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋且n＞1)”時(shí)，由n＝k(k＞1)時(shí)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是(　　)． A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 5．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么，下列命題總成立的是(　　)． A．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，則當(dāng)k≤5時(shí)，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)＜49成立，則當(dāng)k≥8時(shí)，均有f(k)＜k2成立 D．若f(4)＝25成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋2＋52n＋1能被14整除的過(guò)程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為_(kāi)_______． 7．將正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N＋)個(gè)全等的小正三角形(圖甲，圖乙分別給出了n＝2，3的情形)，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))，都分別依次成等差數(shù)列．若頂點(diǎn)A，B，C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)＝2，f(3)＝__________，…，f(n)＝__________. 甲 乙 8．證明tan αtan 2α＋tan 2αtan 3α＋…＋tan(n－1)αtan nα＝－n(n≥2，n∈N＋)． 9．某地區(qū)原有森林木材存量為a，且每年增長(zhǎng)率為25%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍代的木材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量． (1)求an的表達(dá)式； (2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于a，如果b＝a，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過(guò)幾年？(取lg 2≈0.30)  參考答案 1．C　當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋a＋a2. 2．C　在凸n邊形中，邊數(shù)最少的是三角形． 3．B 4．C　增加的項(xiàng)數(shù)為(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k. 5．D　對(duì)于選項(xiàng)A，f(3)≥9，加上題設(shè)可推出當(dāng)k≥3時(shí)，均有f(k)≥k2成立，故A錯(cuò)誤． 對(duì)于選項(xiàng)B，要求遞推到比5小的正整數(shù)，與題設(shè)不符，故B錯(cuò)誤． 對(duì)于選項(xiàng)C，沒(méi)有奠基部分，即沒(méi)有f(8)≥82，故C錯(cuò)誤． 對(duì)于選項(xiàng)D，f(4)＝25≥42，由題設(shè)的遞推關(guān)系，可知結(jié)論成立． 6．25(34k＋2＋52k＋1)＋5632k＋2　當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝8134k＋2＋2552k＋1 ＝25(34k＋2＋52k＋1)＋5633k＋2. 7．　(n＋1)(n＋2) 8．證明：(1)n＝2時(shí)，左邊＝tan αtan 2α， 右邊＝－2＝－2＝－2＝＝＝tan αtan 2α. ∵左邊＝右邊，∴等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即有tan αtan 2α＋tan 2αtan 3α＋…＋tan(k－1)αtan kα＝－k. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， tan αtan 2α＋tan 2αtan 3α＋…＋tan(k－1)αtan kα＋tan kαtan(k＋1)α＝－k＋tan kαtan(k＋1)α＝－k ＝tan(k＋1)α－tan α]－k＝－(k＋1)，所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 故由(1)(2)知，n≥2，n∈N＋等式恒成立． 9．解：(1)設(shè)第一年后的森林木材存量為a1，第n年后的森林木材存量為an， ∴a1＝a－b＝a－b， a2＝a1－b＝－b＝2a－b， a3＝a2－b＝3a－b， 由上面的a1，a2，a3推測(cè) an＝na－b ＝na－4b(n∈N＋)． 證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a－b，結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，ak＝ka－4b成立． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝ak－b ＝－b ＝k＋1a－4b. 也就是說(shuō)當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①和②可知，對(duì)n∈N＋結(jié)論成立． (2)當(dāng)b＝a時(shí)，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失時(shí)，則森林木材存量必須小于a， ∴na－4a＜a，即n＞5. 兩邊取常用對(duì)數(shù)，得nlg＞lg 5， 即n＞＝≈7. ∴經(jīng)過(guò)8年后該地區(qū)就開(kāi)始水土流失．