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章末綜合測評(二)　圓錐曲線與方程 (時間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．拋物線y＝－x2的準(zhǔn)線方程是(　　) A．x＝　　　　　　　 B．y＝2 C．y＝ D．y＝－2 【解析】　將y＝－x2化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＝－8y，故準(zhǔn)線方程為y＝2. 【答案】　B 2．(2015安徽高考)下列雙曲線中，漸近線方程為y＝2x的是(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 【解析】　法一　由漸近線方程為y＝2x，可得＝x，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為x2－＝1. 法二　A中的漸近線方程為y＝2x；B中的漸近線方程為y＝x；C中的漸近線方程為y＝x；D中的漸近線方程為y＝x.故選A. 【答案】　A 3．(2015湖南高考)若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，－4)，則此雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 【解析】　由雙曲線的漸近線過點(diǎn)(3，－4)知＝， ∴＝. 又b2＝c2－a2，∴＝， 即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝. 【答案】　D 4．拋物線y2＝x關(guān)于直線x－y＝0對稱的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：26160065】 A．(1,0) B. C．(0,1) D. 【解析】　∵y2＝x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴關(guān)于直線y＝x對稱后拋物線的焦點(diǎn)為. 【答案】　B 5．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線－y2＝1的兩個焦點(diǎn)，P在雙曲線上，當(dāng)△F1PF2的面積為2時，的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】　設(shè)P(x0，y0)，又F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)， ∴＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4. S△PF1F2＝|F1F2||y0|＝2， ∴|y0|＝1.又－y＝1， ∴x＝3(y＋1)＝6，∴＝x＋y－4＝6＋1－4＝3. 【答案】　B 6．(2016泰安高二檢測)有一個正三角形的兩個頂點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，另一個頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則該三角形的邊長是(　　) A．2p B．4p C．6p D．8p 【解析】　設(shè)A、B在y2＝2px上，另一個頂點(diǎn)為O，則A、B關(guān)于x軸對稱，則∠AOx＝30，則OA的方程為y＝x.由得y＝2p，∴△AOB的邊長為4p. 【答案】　B 7．已知|A|＝3，A，B分別在y軸和x軸上運(yùn)動，O為原點(diǎn)，O＝O＋O，則動點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A.＋y2＝1 B．x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．x2＋＝1 【解析】　設(shè)P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y(tǒng)0，所以x0＝x，y0＝3y.因?yàn)閨A|＝3，所以x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，化簡整理得動點(diǎn)P的軌跡方程是＋y2＝1. 【答案】　A 8．AB為過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的中心的弦F1為一個焦點(diǎn)，則△ABF1的最大面積是(c為半焦距)(　　) A．a(chǎn)c B．a(chǎn)b C．bc D．b2 【解析】　△ABF1的面積為c|yA|，因此當(dāng)|yA|最大， 即|yA|＝b時，面積最大．故選C. 【答案】　C 9．若F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠AF1F2＝45，則△AF1F2的面積為(　　) A．7 B. C. D. 【解析】　|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6， 則|AF2|＝6－|AF1|， |AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1||F1F2|cos 45 ＝|AF1|2－4|AF1|＋8， 即(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8， 解得|AF1|＝， 所以S＝2＝. 【答案】　B 10．(2015重慶高考)設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為(　　) A． B． C．1 D． 【解析】　由題設(shè)易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C. ∵A1B⊥A2C， ∴＝－1，整理得a＝b. ∵漸近線方程為y＝x，即y＝x， ∴漸近線的斜率為1. 【答案】　C 11．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積是(　　) A．3 B．2 C. D. 【解析】　如圖所示，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，又|AF|＝3，由拋物線定義知：點(diǎn)A到準(zhǔn)線x＝－1的距離為3， ∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2. 將x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y＝2， ∴A(2,2)， ∴直線AF的方程為y＝2(x－1)． 聯(lián)立直線與拋物線的方程 解之得或 由圖知B， ∴S△AOB＝|OF||yA－yB|＝1|2＋|＝. 【答案】　D 12．已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)．若C1恰好將線段AB三等分，則(　　) A．a(chǎn)2＝ B．a(chǎn)2＝13 C．b2＝ D．b2＝2 【解析】　由題意，知a2＝b2＋5，因此橢圓方程為(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，聯(lián)立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直線截橢圓的弦長d＝2＝a，解得a2＝，b2＝，故選C. 【答案】　C 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上) 13．(2015北京高考)已知(2,0)是雙曲線x2－＝1(b>0)的一個焦點(diǎn)，則b＝________. 【解析】　由題意得，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，且c＝2.根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b>0，所以b＝. 【答案】　 14．設(shè)F1，F(xiàn)2為曲線C1：＋＝1的焦點(diǎn)，P是曲線C2：－y2＝1與C1的一個交點(diǎn)，則△PF1F2的面積為________． 【解析】　由題意知|F1F2|＝2＝4，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)． 由得 則S△PF1F2＝|F1F2||y|＝4＝. 【答案】　 15.如圖1，已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)恰好是橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)F，且兩條曲線的交點(diǎn)連線也經(jīng)過焦點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為________． 圖1 【解析】　由條件知，c＝， ∴其中一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(c,2c)， ∴＋＝1，∴e4－6e2＋1＝0， 解得e2＝32，∴e＝(1)． 又00)． 點(diǎn)P(3,4)在橢圓上，則＋＝1，得a2＝40， 雙曲線過點(diǎn)P(3,4)的漸近線方程為y＝x，即4＝3，得b2＝16. 所以橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1. 18．(本小題滿分12分)(2016廈門高二檢測)已知直線l：y＝x＋m與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)， (1)若|AB|＝10，求m的值； (2)若OA⊥OB，求m的值． 【解】　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， (1)?x2＋(2m－8)x＋m2＝0 ? |AB|＝|x1－x2|＝ ＝10， 得m＝，∵m＜2，∴m＝. (2)∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0. x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0， 2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0， 2m2＋m(8－2m)＋m2＝0， m2＋8m＝0，m＝0或m＝－8. 經(jīng)檢驗(yàn)m＝－8. 19．(本小題滿分12分)已知雙曲線過點(diǎn)P，它的漸近線方程為y＝x. (1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)F1和F2為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在此雙曲線上，且|PF1||PF2|＝41，求∠F1PF2的余弦值． 【解】　(1)由漸近線方程知，雙曲線中心在原點(diǎn)，且漸近線上橫坐標(biāo)為－3的點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)的絕對值為4. ∵4>4，∴雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為－＝1. ∵雙曲線過點(diǎn)P(－3，4)， ∴－＝1.① 又＝，② 由①②，得a2＝9，b2＝16， ∴所求的雙曲線方程為－＝1. (2)設(shè)|PF1|＝d1，|PF2|＝d2， 則d1d2＝41.又由雙曲線的幾何性質(zhì)知，|d1－d2|＝2a＝6. 由余弦定理，得cos∠F1PF2＝ ＝＝. 20．(本小題滿分12分)(2015安徽高考)設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，直線OM的斜率為. (1)求E的離心率e； (2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－b)，N為線段AC的中點(diǎn)，證明：MN⊥AB. 【導(dǎo)學(xué)號：26160066】 【解】　(1)由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 又kOM＝，從而＝. 進(jìn)而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝. (2)證明：由N是AC的中點(diǎn)知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，可得＝. 又＝(－a，b)， 從而有＝－a2＋b2＝(5b2－a2)． 由(1)的計(jì)算結(jié)果可知a2＝5b2， 所以＝0，故MN⊥AB. 21．(本小題滿分12分)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F及點(diǎn)A(0，b)，原點(diǎn)O到直線FA的距離為b. (1)求橢圓C的離心率e； (2)若點(diǎn)F關(guān)于直線l：2x＋y＝0的對稱點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝4上，求橢圓C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【解】　(1)由點(diǎn)F(－ae,0)，點(diǎn)A(0，b)，及b＝a，得直線FA的方程為＋＝1，即x－ey＋ae＝0. 因?yàn)樵c(diǎn)O到直線FA的距離為 b＝ae， 所以a＝ae， 解得e＝. (2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)F關(guān)于直線l：2x＋y＝0的對稱點(diǎn)為P(x0，y0)，則有 解得x0＝a，y0＝a. 因?yàn)镻在圓x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4. 所以a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4. 故橢圓C的方程為＋＝1， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 22．(本小題滿分12分)(2016鄭州高二檢測)已知經(jīng)過點(diǎn)A(－4,0)的動直線l與拋物線G：x2＝2py(p>0)相交于B，C，當(dāng)直線l的斜率是時，A＝A. (1)求拋物線G的方程； (2)設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍． 【解】　(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知，當(dāng)kl＝時，l的方程為y＝(x＋4)，即x＝2y－4. 由得2y2－(8＋p)y＋8＝0， 所以又因?yàn)锳＝A， 所以y2＝y(tǒng)1或y1＝4y2. 由p>0得：y1＝4，y2＝1，p＝2，即拋物線方程為x2＝4y. (2)設(shè)l：y＝k(x＋4)，BC中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)， 由 得x2－4kx－16k＝0.① 所以x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k. 所以BC的中垂線方程為 y－2k2－4k＝－(x－2k)， 所以BC的中垂線在y軸上的截距為b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2， 對于方程①由Δ＝16k2＋64k>0得k>0或k<－4.所以b∈(2，＋∞)．