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章末綜合測評(píng)(二)　隨機(jī)變量及其分布 (時(shí)間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下列說法不正確的是(　　) A．某輛汽車一年中發(fā)生事故的次數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量 B．正態(tài)分布隨機(jī)變量等于一個(gè)特定實(shí)數(shù)的概率為0 C．公式E(X)＝np可以用來計(jì)算離散型隨機(jī)變量的均值 D．從一副撲克牌中隨機(jī)抽取5張，其中梅花的張數(shù)服從超幾何分布 【解析】　公式E(X)＝np并不適用于所有的離散型隨機(jī)變量的均值的計(jì)算，適用于二項(xiàng)分布的均值的計(jì)算．故選C. 【答案】　C 2．(2016吉安高二檢測)若在甲袋內(nèi)裝有8個(gè)白球、4個(gè)紅球，在乙袋內(nèi)裝有6個(gè)白球、5個(gè)紅球，現(xiàn)從兩袋內(nèi)各任意取出1個(gè)球，設(shè)取出的白球個(gè)數(shù)為X，則下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝0)　　　　 B．P(X≤2) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 【解析】　由已知易知P(X＝1)＝. 【答案】　C 3．(2016長沙高二檢測)若X的分布列為 X 0 1 P a 則E(X)＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　由＋a＝1，得a＝，所以E(X)＝0＋1＝. 【答案】　A 4．甲、乙、丙三人參加某項(xiàng)測試，他們能達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的概率分別是0.8,0.6,0.5，則三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是(　　) A．0.16 B．0.24 C．0.96 D．0.04 【解析】　三人都不達(dá)標(biāo)的概率是(1－0.8)(1－0.6)(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為1－0.04＝0.96. 【答案】　C 5．如果隨機(jī)變量X～N(4,1)，則P(X≤2)等于(　　) (注：P(μ－2σ110)＝P(ξ<50)，即分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同，故C正確，故選 B. 【答案】　B 10．設(shè)隨機(jī)變量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又設(shè)隨機(jī)變量η＝2ξ－1，則P(η<6)＝(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 【解析】　因?yàn)镻(ξ＝k)＝，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<，即ξ＝1,2,3，所以P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＝0.3. 【答案】　A 11．甲、乙兩個(gè)工人在同樣的條件下生產(chǎn)，日產(chǎn)量相等，每天出廢品的情況如下表所示，則有結(jié)論(　　) 工人 甲 乙 廢品數(shù) 0 1 2 3 0 1 2 3 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0 A.甲的產(chǎn)品質(zhì)量比乙的產(chǎn)品質(zhì)量好一些 B．乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的產(chǎn)品質(zhì)量好一些 C．兩人的產(chǎn)品質(zhì)量一樣好 D．無法判斷誰的產(chǎn)品質(zhì)量好一些 【解析】　∵E(X甲)＝00.4＋10.3＋20.2＋30.1＝1， E(X乙)＝00.3＋10.5＋20.2＋30＝0.9. ∵E(X甲)>E(X乙)， ∴乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的產(chǎn)品質(zhì)量好一些． 【答案】　B 12．(2016深圳高二檢測)某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位的二進(jìn)制數(shù)A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位數(shù)中a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)，ξ的數(shù)學(xué)期望為(　　) A. B. C. D. 【解析】　記a2，a3，a4，a5位上出現(xiàn)1的次數(shù)為隨機(jī)變量η，則η～B， E(η)＝4＝.因?yàn)棣危?＋η， E(ξ)＝1＋E(η)＝.故選B. 【答案】　B 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上) 13．袋中有4只紅球，3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則P(X≤6)＝________. 【解析】　P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝. 【答案】　 14．一只螞蟻位于數(shù)軸x＝0處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，設(shè)它向右移動(dòng)的概率為，向左移動(dòng)的概率為，則3秒后，這只螞蟻在x＝1處的概率為________． 【解析】　由題意知，3秒內(nèi)螞蟻向左移動(dòng)一個(gè)單位，向右移動(dòng)兩個(gè)單位，所以螞蟻在x＝1處的概率為C21＝. 【答案】　 15．(2016福州檢測)一個(gè)正方形被平均分成9個(gè)小正方形，向大正方形區(qū)域隨機(jī)地投擲一個(gè)點(diǎn)(每次都能投中)．設(shè)投中最左側(cè)3個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為A，投中最上面3個(gè)小正方形或正中間的1個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為B，則P(A|B)＝________. 【解析】　 如圖，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，所以n(AB)＝1， P(A|B)＝＝. 【答案】　 16．一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，給出下列結(jié)論： ①從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是； ②從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為； ③現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為； ④從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為. 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97270057】 【解析】?、偾∮幸粋€(gè)白球的概率P＝＝，故①正確；②每次任取一球，取到紅球次數(shù)X～B，其方差為6＝，故②正確； ③設(shè)A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}． 則P(A)＝，P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝，故③錯(cuò)； ④每次取到紅球的概率P＝， 所以至少有一次取到紅球的概率為 1－3＝， 故④正確． 【答案】?、佗冖? 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，問： (1)從1號(hào)箱中取出的是紅球的條件下，從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？ (2)從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？ 【解】　記事件A：最后從2號(hào)箱中取出的是紅球； 事件B：從1號(hào)箱中取出的是紅球． P(B)＝＝. P()＝1－P(B)＝. (1)P(A|B)＝＝. (2)∵P(A|)＝＝， ∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P() ＝＋＝. 18．(本小題滿分12分)在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績?chǔ)畏囊粋€(gè)正態(tài)分布，即ξ～N(90,100)． (1)試求考試成績?chǔ)挝挥趨^(qū)間(70,110)上的概率是多少？ (2)若這次考試共有2 000名考生，試估計(jì)考試成績在(80,100)的考生大約有多少人？ 【解】　因?yàn)棣巍玁(90,100)，所以μ＝90，σ＝＝10. (1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是0.954 4，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－210＝70，μ＋2σ＝90＋210＝110，于是考試成績?chǔ)挝挥趨^(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是0.954 4. (2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100. 由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率是0.682 6，所以考試成績?chǔ)挝挥趨^(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是0.682 6.一共有2 000名學(xué)生，所以考試成績在(80,100)的考生大約有2 0000.682 6≈1 365(人)． 19．(本小題滿分12分)甲，乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相同，所得次品數(shù)分別為X，Y，X和Y的分布列如下表．試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較. X 0 1 2 P Y 0 1 2 P 【解】　工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為 E(X)＝0＋1＋2＝0.7， D(X)＝(0－0.7)2＋(1－0.7)2＋(2－0.7)2＝0.81. 工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為 E(Y)＝0＋1＋2＝0.7， D(Y)＝(0－0.7)2＋(1－0.7)2＋(2－0.7)2＝0.61. 由E(X)＝E(Y)知，兩人生產(chǎn)出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但D(X)>D(Y)，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定． 20．(本小題滿分12分)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片． (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率； (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望． (注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)) 【解】　(1)由古典概型的概率計(jì)算公式知所求概率為 p＝＝. (2)X的所有可能值為1,2,3，且 P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 故X的分布列為 X 1 2 3 P 從而E(X)＝1＋2＋3＝. 21．(本小題滿分12分)某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場分析知道一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為，，；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為α和β(α＋β＝1)． (1)如果把10萬元投資甲項(xiàng)目，用ξ表示投資收益(收益＝回收資金－投資資金)，求ξ的分布列及E(ξ)； (2)要使10萬元資金投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，求α的取值范圍． 【解】　(1)依題意，ξ可能的取值為1,0，－1.ξ的分布列為 ξ 1 0 －1 P E(ξ)＝－＝. (2)設(shè)η表示10萬元投資乙項(xiàng)目的收益，則η的分布列為 η 2 －2 P α β E(η)＝2α－2β＝4α－2. 依題意得4α－2≥， 故≤α≤1. 22．(本小題滿分12分)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立． (1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列； (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比．分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了．請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因． 【解】　(1)X可能的取值為10,20,100，－200. 根據(jù)題意，有 P(X＝10)＝C12＝， P(X＝20)＝C21＝， P(X＝100)＝C30＝， P(X＝－200)＝C03＝. 所以X的分布列為 X 10 20 100 －200 P (2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i＝1,2,3)，則 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝. 所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為 1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝. 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是. (3)X的數(shù)學(xué)期望為 EX＝10＋20＋100－200＝－. 這表明，獲得的分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)， 因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大．