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學(xué)業(yè)分層測評(七) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、填空題 1．下列語句中正確的是________．(填序號) ①l⊥α?l與α相交； ②m?α，n?α，l⊥m，l⊥n?l⊥α； ③l∥m，m∥n，l⊥α?n⊥α. 【解析】?、僬_，由線面垂直的定義可知；②不正確，沒有明確直線m，n的情況；③正確，∵l∥m，m∥n，∴l(xiāng)∥n，又l⊥α，∴n⊥α. 【答案】　①③ 2．已知PA垂直平行四邊形ABCD所在平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是________． 【解析】　如圖，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD. ∵PC⊥BD，且PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC， ∴AC⊥BD. 【答案】　菱形 3．已知△ABC在平面α內(nèi)，∠A＝90，DA⊥平面α，則AC與BD的位置關(guān)系是________． 【解析】　∵DA⊥α，∴DA⊥AC. 又AC⊥AB，AB∩DA＝A， ∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥BD. 【答案】　垂直 4．如圖1266，在正三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角的大小是________． 圖1266 【解析】　取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)DB，C1D，則可證得∠BC1D即為BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角，在△ABC中，易得BD＝. 在△DCC1中，易得DC1＝， 在Rt△BC1D中，tan∠BC1D＝＝， 即∠BC1D＝30. 【答案】　30 5．對于四面體ABCD，給出下列四個(gè)命題： ①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD； ②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD； ③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD； ④若AB⊥CD，BD⊥AC，則BC⊥AD. 其中真命題的序號是________. 【導(dǎo)學(xué)號：60420025】 【解析】　對于命題①，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，DE， 則BC⊥AE，BC⊥DE，且AE∩DE＝E， ∴BC⊥平面ADE.∵AD?平面ADE， ∴BC⊥AD. 對于④，過A向平面BCD作垂線AO，如圖所示． 連結(jié)BO與CD交于E，則CD⊥BE，同理CF⊥BD，∴O為△BCD的重心，連結(jié)DO，則BC⊥DO，BC⊥AO，且AO∩DO＝O， ∴BC⊥平面AOD， ∴BC⊥AD. 【答案】?、佗? 6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是__________． 【解析】　如圖所示，作PD⊥BC于D，連結(jié)AD. ∵PA⊥△ABC，∴PA⊥BC，且PA∩PD＝P， ∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC. 在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4， 在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4. 【答案】　4 7．如圖1267，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90，M為線段BB1上的一動點(diǎn)，則直線AM與直線BC的位置關(guān)系為__________． 圖1267 【解析】　∵AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1， ∵∠ABC＝90，∴BC⊥AB，又AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面AA1B1B，又AM?平面AA1B1B， ∴AM⊥BC. 【答案】　垂直 8．如圖1268所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥QD，則a的值等于________． 圖1268 【解析】　∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥QD. 又∵PQ⊥QD，且PA∩PQ＝P，∴QD⊥平面PAQ， ∴AQ⊥QD，即Q在以AD為直徑的圓上，當(dāng)圓與BC相切時(shí)，點(diǎn)Q只有一個(gè)，故BC＝2AB＝2. 【答案】　2 二、解答題 9.如圖1269，在四棱錐PABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)，AD＝CD. 圖1269 (1)證明：PA∥平面BDE； (2)證明：AC⊥平面PBD. 【證明】　(1)設(shè)AC∩BD＝H，連結(jié)EH， 在△ADC中， 因?yàn)锳D＝CD，且DB平分∠ADC， 所以H為AC的中點(diǎn)， 又由題設(shè)，E為PC的中點(diǎn)， 故EH∥PA，又EH?平面BDE， 且PA?平面BDE， 所以PA∥平面BDE. (2)因?yàn)镻D⊥平面ABCD， AC?平面ABCD， 所以PD⊥AC. 由(1)可得，DB⊥AC，又PD∩DB＝D， 故AC⊥平面PBD. 10．如圖1270，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于點(diǎn)E，EF⊥SC于點(diǎn)F. 圖1270 (1)求證：AF⊥SC； (2)若平面AEF交SD于點(diǎn)G，求證：AG⊥SD. 【證明】　(1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC. ∵四邊形ABCD為矩形，∴AB⊥BC. 又AB∩SA＝A， ∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE， 又SB⊥AE，SB∩BC＝B， ∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC. 又EF⊥SC，EF∩AE＝E， ∴SC⊥平面AEF. 又AF?平面AEF， ∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC. 又AD⊥DC，SA∩AD＝A， ∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF， ∴SC⊥AG， 又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD. [能力提升] 1．如圖1271所示，PA⊥平面ABC，M，N分別為PC，AB的中點(diǎn)，使得MN⊥AC的一個(gè)條件為__________． 圖1271 【解析】　取AC中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ，NQ， 則MQ∥AP，NQ∥BC， 由已知條件易得MQ⊥AC，若AC⊥BC， 則NQ⊥AC， 所以AC⊥平面MNQ， 所以AC⊥MN. 【答案】　AC⊥BC 2．如圖1272，在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是邊長為2的菱形，且∠ABC＝45，PA＝AB，則直線AP與平面PBC所成角的正切值為________． 圖1272 【解析】　作AE⊥BC于點(diǎn)E，則BC⊥平面PAE，可知點(diǎn)A在平面PBC上的射影在直線PE上，故∠APE為所求的角．AE＝ABsin 45＝，∴tan ∠APE＝＝. 【答案】　 3．已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α于A，EB⊥β于B，a?α，a⊥AB，則直線a與l的位置關(guān)系是________. 【導(dǎo)學(xué)號：60420026】 【解析】　由EA⊥α， EB⊥β知l⊥EA，l⊥EB， 從而l⊥平面EAB， 而a⊥AB，a⊥EA， ∴a⊥平面EAB，∴l(xiāng)∥a. 【答案】　平行 4．如圖1273，在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)． 圖1273 (1)證明：CD⊥AE； (2)證明：PD⊥平面ABE. 【證明】　(1)在四棱錐PABCD中， 因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD. 又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA. 又∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，AB⊥平面PAD. 又∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.