高中數(shù)學(xué) 2_5 離散型隨機(jī)變量的均值與方差(第1課時)離散型隨機(jī)變量的均值教案 蘇教版選修2-31
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2.5.1離散型隨機(jī)變量的均值 教學(xué)目標(biāo) 1.了解離散型隨機(jī)變量的期望的意義, 2.會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望. 3.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量均值,并能解決一些實(shí)際問題. 教學(xué)重點(diǎn):離散型隨機(jī)變量的期望的概念. 教學(xué)難點(diǎn):根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望. 教學(xué)過程 一、自學(xué)導(dǎo)航 1.情景: 前面所討論的隨機(jī)變量的取值都是離散的,我們把這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.這樣刻畫離散型隨機(jī)變量取值的平均水平和穩(wěn)定程度呢? 甲、乙兩個工人生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,在相同的條件下,他們生產(chǎn)件產(chǎn)品所出的不合格品數(shù)分別用表示,的概率分布如下. 2.問題: 如何比較甲、乙兩個工人的技術(shù)? 3.學(xué)生活動 ⑴直接比較兩個人生產(chǎn)件產(chǎn)品時所出的廢品數(shù).從分布列來看,甲出件廢品的概率比乙大,似乎甲的技術(shù)比乙好;但甲出件廢品的概率也比乙大,似乎甲的技術(shù)又不如乙好.這樣比較,很難得出合理的結(jié)論. ⑵學(xué)生聯(lián)想到“平均數(shù)”,,如何計(jì)算甲和乙出的廢品的“平均數(shù)”? ⑶引導(dǎo)學(xué)生回顧《數(shù)學(xué)3(必修)》中樣本的平均值的計(jì)算方法. ①如果有n個數(shù)x1,x2,… ,xn,那么 ②如果n個數(shù)中x1,x2 … xk分別出現(xiàn)f1,f2 … ,fk次(f1+ f2+… + fk=n)則 ③某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4;則所得的平均環(huán)數(shù)是多少? ξ 7 8 9 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 ④某射手射擊的環(huán)數(shù)ξ的分布列為: 則他射擊n次,射擊環(huán)數(shù)的平均值為 . 那么,再回到前面的情境問題中來,如何來比較兩工人的技術(shù)呢? 二、探究新知 1.定義 在《數(shù)學(xué)3(必修)》“統(tǒng)計(jì)”一章中,我們曾用公式計(jì)算樣本的平均值,其中為取值為的頻率值. 類似地,若離散型隨機(jī)變量的分布列或概率分布如下: X … P … 其中,,則稱為隨機(jī)變量的均值或的數(shù)學(xué)期望,記為或.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. 2.性質(zhì) (1);(2).(為常數(shù)) 三、例題精講 例1 高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲,在一個小口袋中裝有10個紅球,20個白球,這些球除顏色外完全相同.某學(xué)生一次從中摸出5個球,其中紅球的個數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望. 分析:從口袋中摸出5個球相當(dāng)于抽取個產(chǎn)品,隨機(jī)變量為5個球中的紅球的個數(shù),則服從超幾何分布. 解:由2.2節(jié)例1可知,隨機(jī)變量的概率分布如表所示: X 0 1 2 3 4 5 P 從而 答:的數(shù)學(xué)期望約為. 說明:一般地,根據(jù)超幾何分布的定義,可以得到. 例2 從批量較大的成品中隨機(jī)取出件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查,若這批產(chǎn)品的不合格品率為 ,隨機(jī)變量表示這件產(chǎn)品中不合格品數(shù),求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. 解:由于批量較大,可以認(rèn)為隨機(jī)變量,,隨機(jī)變量的概率分布如表所示: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 故 即抽件產(chǎn)品出現(xiàn)不合格品的平均件數(shù)為件. 說明:例2中隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,根據(jù)二項(xiàng)分布的定義,可以得到: 當(dāng) 時,. 例3 設(shè)籃球隊(duì)與進(jìn)行比賽,每場比賽均有一隊(duì)勝,若有一隊(duì)勝場則比賽宣告結(jié)束,假定在每場比賽中獲勝的概率都是,試求需要比賽場數(shù)的期望. 分析:先由題意求出分布列,然后求期望 解:(1)事件“”表示,勝場或勝場(即負(fù)場或負(fù)場), 且兩兩互斥.; (2)事件“”表示,在第5場中取勝且前場中勝3場,或在第5場中取勝且前場中勝3場(即第5場負(fù)且場中負(fù)了3場),且這兩者又是互斥的,所以 (3)類似地,事件“”、 “”的概率分別為 , 比賽場數(shù)的分布列為 4 5 6 7 故比賽的期望為(場) 這就是說,在比賽雙方實(shí)力相當(dāng)?shù)那闆r下,平均地說,進(jìn)行6場才能分出勝負(fù). 四、課堂精練 1.籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中得1分,罰不中得0分.已知某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7,他連續(xù)罰球3次;(1)求他得到的分?jǐn)?shù)X的分布列;(2)求X的期望. 2.據(jù)氣象預(yù)報(bào),某地區(qū)下個月有小洪水的概率為,有大洪水的概率為.現(xiàn)工地上有一臺大型設(shè)備,為保護(hù)設(shè)備有以下三種方案: 方案1 運(yùn)走設(shè)備,此時需花費(fèi)元; 方案2 建一保護(hù)圍墻,需花費(fèi)元.但圍墻無法防止大洪災(zāi),若大洪災(zāi)來臨,設(shè)備受損,損失費(fèi)為元; 方案3 不采取措施,希望不發(fā)生洪水,此時大洪水來臨損失元,小洪水來臨損失元. 試選擇適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn),對種方案進(jìn)行比較. 五、回顧小結(jié) 1.離散型隨機(jī)變量均值(數(shù)學(xué)期望)的概念和意義; 2.離散型隨機(jī)變量均值(數(shù)學(xué)期望)的計(jì)算方法; 3.超幾何分布和二項(xiàng)分布的均值(數(shù)學(xué)期望)的計(jì)算方法. 二項(xiàng)分布:若X~H(n,M,N) 則E(X)= 超幾何分布:若X~B(n,p) 則E(X)=np X 0 1 P 1- p p 另:如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布, 則E(X)=p (E(X)=0(1-p)+1p=p) 六、拓展延伸 七、課后作業(yè)課本, 第1題 八、教學(xué)后記- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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