《2020屆高考數(shù)學 專題十三 三視圖與體積、表面積精準培優(yōu)專練 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020屆高考數(shù)學 專題十三 三視圖與體積、表面積精準培優(yōu)專練 理（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、培優(yōu)點十三 三視圖與體積、表面積 一、根據(jù)幾何體的結構特征確認其三視圖 例1：中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意可知帶卯眼的木構件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖，應選A． 例2：如圖，在長方體中，點是棱上一點，則三棱錐的側視圖是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在長方體中，從左側看三棱錐， 、、的射影分別是、、，的射影為

2、，且為實線， 的射影為，且為虛線．故選D． 二、根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖 例3：如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體 是（） A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱 【答案】B 【解析】由題三視圖得直觀圖如圖所示，為三棱柱．故選B． 例4：若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三視圖知該幾何體的上半部分是一個三棱柱，下半部分是一個四棱柱． 故選D． 三、已知幾何體的三視圖中某兩個視圖，確定另外一種視圖 例5：如

3、圖是一個空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側視圖為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是一個圓柱挖去一個圓錐構成的， 結合正視圖的寬及俯視圖的直徑知其側視圖應為A．故選A． 例6：一個幾何體的三視圖中，正視圖和側視圖如圖所示，則俯視圖不可以為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A中，該幾何體是直三棱柱，所以A有可能； B中，該幾何體是直四棱柱，所以B有可能； C中，由題干中正視圖的中間為虛線知，C不可能； D中，該幾何體是直四棱柱，所以D有可能． 綜上，故選C． 四、根據(jù)幾何體的三視圖計算表面積

4、 例7：如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積 為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三視圖可知該幾何體是由一個半圓柱和兩個半球構成的， 故該幾何體的表面積為． 故選C． 例8：如圖所示，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的 體積是，則它的表面積是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖． 設球的半徑為，則，解得． 因此它的表面積為．故選A． 五、根據(jù)幾何體

5、的三視圖計算體積 例9：某幾何體的三視圖如圖所示(單位：)，則該幾何體的體積(單位：)是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為，高為的圓錐的一半與一個底面為直角邊長是的等腰直角三角形，高為的三棱錐的組合體， ∴該幾何體的體積．故選A． 例10：如圖所示，已知多面體中，、、兩兩互相垂直，平面平面，平面平面，，，則該多面體的體積為________． 【答案】 【解析】法一：(分割法)因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示， 過點作于，連接， 即把多面體分割成一個直三棱柱和一個斜三棱柱． 由題意，知三棱

6、柱的體積， 三棱柱的體積， 故所求多面體的體積為． 法二：(補形法)因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示，將多面體補成棱長為的正方體，顯然所求多面體的體積即該正方體體積的一半．又正方體的體積，故所求多面體的體積為． 對點增分集訓 一、選擇題 1．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的各個面中是直角三角形的個數(shù)為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】三視圖還原為如圖所示三棱錐，由正方體的性質(zhì)得、、為直角三角形，為正三角形，故選C． 2．某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則該幾何體的表

7、面積（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三視圖可知，該幾何體為兩個半圓柱構成， 其表面積為，故選D． 3．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三視圖可知，該幾何體為圓柱挖去其后的剩余部分，該圓柱的底面半徑為，高為， 故其體積為圓柱體積的，．故選D． 4．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】該三視圖還原成直觀圖后的幾何體是如圖所示的四棱錐，和是兩個全等的直角三角形，且， 故幾何體的體積為，故選C． 5．我國古

8、代《九章算術》將上下兩個平行平面為矩形的六面體稱為芻童．如圖是一個芻童的三視圖， 其中正視圖及側視圖均為等腰梯形，兩底的長分別為和，高為，則該芻童的體積為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意幾何體原圖為正四棱臺，底面的邊長分別為和，高為， 所以幾何體體積．故選B． 6．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各棱中， 最長的棱的長度為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】三視圖還原成如圖所示的幾何體，三棱錐，則，，，．故選B． 7．在正方體中，、、分別為棱、、的中點，用過點、、的平面截正方

9、體，則位于截面以下部分的幾何體的側視圖為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】過點，，截正方體的平面為如圖所示的平面， 由圖知位于截面以下部分的幾何體的側視圖為C選項，故選C． 8．如圖所示的網(wǎng)格是由邊長為的小正方形構成，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根據(jù)幾何體三視圖可得，該幾何體是三棱柱割去一個三棱錐所得的幾何體，如圖所示，所以其體積為．故選D． 9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根據(jù)幾何體的三

10、視圖知，該幾何體是由一個正方體切去正方體的一角得到的， 故該幾何體的外接球為正方體的外接球，所以球的半徑， 則．故選B． 10．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球半徑為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三視圖可知三棱錐的直觀圖如圖，由三視圖可知底面三角形是邊長為，頂角的三角形， 所以其外接圓半徑結合正弦定理可得，， 由側面為兩等腰直角三角形，可確定出外接圓圓心，利用球的幾何性質(zhì)可確定出球心，且球心到底面的距離，所以球半徑，故選C． 11．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的體積為（） A．

11、 B． C． D． 【答案】B 【解析】由三視圖可得四棱錐為如圖所示的長方體中的四棱錐，其中在長方體中，，，，點、分別為、的中點， 由題意得，所以可得， 又，所以平面，即線段即為四棱錐的高， 所以四棱錐的體積．故選B． 12．在棱長為的正方體中，、分別為線段和上的動點，且滿足 ，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和（） A．有最小值 B．有最大值 C．為定值 D．為定值 【答案】D 【解析】依題意，設四邊形的四個頂點在后面、上面、左面的投影點分別為、、、，則四邊形在上面、后面、左面的投影分別如下圖， 所以

12、在后面的投影的面積為， 在上面的投影面積， 在左面的投影面積， 所以四邊形所圍成的圖形分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和為．故選D． 二、填空題 13．某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則該幾何體的表面積是． 【答案】 【解析】由三視圖可知，該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱柱， 則，， ，， 所以該四棱柱的表面積為． 14．《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，在《九章算術》中將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．若某“陽馬”的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為的兩個全等的等腰直角三

13、角形，則該“陽馬”的表面積為． 【答案】 【解析】由三視圖可得該“陽馬”的底面是邊長為的正方形，且高為， 故該“陽馬”的表面積為． 15．已知圓錐的高為，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的 體積等于． 【答案】 【解析】設該圓錐的外接球的半徑為，依題意得，，解得， 故所求球的體積． 16．已知點、、、是半徑為的球面上的點，，，點在上的射影為，則三棱錐體積的最大值是． 【答案】 【解析】設點在平面上的射影為，如圖， 由，知， 點在平面上的射影為的外心，即的中點， 設球的球心為，連接，則在的延長線上， 連接、，設，則， 所以，即，解得，則， 設，則，， 所以，所以， 令，則， 由，得或，易知當時，函數(shù)取得最大值， 所以． 又，所以三棱錐體積的最大值為． 18