《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 考點規(guī)范練46 橢圓》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 考點規(guī)范練46 橢圓（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點規(guī)范練46　橢圓 基礎(chǔ)鞏固組 1.(2017浙江高考)橢圓x29+y24=1的離心率是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.133 B.53 C.23 D.59 答案B 解析e=9-43=53,故選B. 2.設(shè)F1,F2分別是橢圓x225+y216=1的左、右焦點,P為橢圓上一點,M是F1P的中點,|OM|=3,則點P到橢圓左焦點的距離為(　　) A.4 B.3 C.2 D.5 答案A 解析由題意知|OM|=12|PF2|=3, 所以|PF2|=6,|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4. 3.已知橢圓mx2+4y2=1的離心率為22,則實數(shù)m等

2、于(　　) A.2 B.2或83 C.2或6 D.2或8 答案D 解析顯然m>0,且m≠4,當(dāng)04時,橢圓長軸在y軸上,則14-1m14=22,解得m=8. 4.設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,點P在橢圓C上,線段PF1的中點在y軸上,若∠PF1F2=30°,則橢圓的離心率為(　　) A.33 B.36 C.13 D.16 答案A 解析設(shè)PF1的中點為M,連接PF2. 因為O為F1F2的中點,所以O(shè)M為PF2的中位線. 所以O(shè)M∥PF2, 所以∠PF2F1

3、=∠MOF1=90°. 因為∠PF1F2=30°, 所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理得 |F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=3|PF2|, 由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|?a=3|PF2|2, 2c=|F1F2|=3|PF2|?c=3|PF2|2, 則e=ca=3|PF2|2·23|PF2|=33.故選A. 5.(2018浙江衢州二調(diào))設(shè)橢圓x216+y212=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,且滿足PF1·PF2=9,則|PF1|·|PF2|的值為(　　) A.8 B.10 C.12 D.15 答案D 解析由橢圓方程x

4、216+y212=1,可得c2=4, 所以|F1F2|=2c=4. 因為F1F2=PF2-PF1, 所以|F1F2|=|PF2-PF1|,兩邊同時平方,得|F1F2|2=|PF1|2-2PF1·PF2+|PF2|2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+2PF1·PF2=16+18=34,根據(jù)橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a=8,(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=64,所以34+2|PF1|·|PF2|=64. 所以|PF1|·|PF2|=15.故選D. 6.如圖,∠OFB=π6,△ABF的面積為2-3,則以O(shè)

5、A為長半軸,OB為短半軸,F為一個焦點的橢圓方程為　　　　　.? 答案x28+y22=1 解析設(shè)所求橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由題意可知,|OF|=c,|OB|=b,∴|BF|=a.∵∠OFB=π6, ∴bc=33,a=2b.∴S△ABF=12·|AF|·|BO|=12(a-c)·b=12(2b-3b)b=2-3, 解得b2=2,則a=2b=22.∴所求橢圓的方程為x28+y22=1. 7.(2018浙江重點中學(xué)聯(lián)考)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與橢圓C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四點,若橢圓C1的一個焦點為

6、F(-2,0),且四邊形ABCD的面積為163,則橢圓C1的離心率e為　　　　　.? 答案22 解析　聯(lián)立x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1, 兩式相減得x2-y2a2=x2-y2b2,因為a≠b, 所以x2=y2=a2b2a2+b2. 所以四邊形ABCD為正方形,4a2b2a2+b2=163,(*) 又由題意知a2=b2+2,將其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,則a2=4. 所以橢圓C的離心率e=22. 8.設(shè)P為橢圓x24+y23=1上一點,F為橢圓的右焦點,A(2,2),則|PA|-|PF|的最小值為　　　　　.? 答案13-4 解

7、析設(shè)橢圓的左焦點為F'(-1,0), 則|PA|-|PF|=|PA|-(2a-|PF'|)=|PA|+|PF'|-2a≥|AF'|-2a=13-4,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F'三點共線時等號成立,且P在A,F'之間時達到,故|PA|-|PF|的最小值為13-4. 能力提升組 9.過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)左焦點F,且斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點,向量OA+OB與向量a=(3,-1)共線,則該橢圓的離心率為(　　) A.33 B.63 C.34 D.23 答案B 解析設(shè)橢圓的左焦點為F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),則OA+OB=(x1+x2,y1+y2

8、),直線AB的方程為y=x+c,代入橢圓方程并整理得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0. 由韋達定理得x1+x2=-2a2ca2+b2, 所以y1+y2=x1+x2+2c=2b2ca2+b2. 根據(jù)OA+OB與a=(3,-1)共線,得x1+x2+3(y1+y2)=0,即-2a2ca2+b2+3×2b2ca2+b2=0,解得b2a2=13, 所以e=1-b2a2=63,故選B. 10.已知F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,以F1F2為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點為P,過點P向x軸作垂線,垂足為H,若|PH|=a2,則此橢圓的離心率為

9、(　　) A.5-12 B.32 C.17-14 D.22-2 答案C 解析∵F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點, 以F1F2為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點為P,過點P向x軸作垂線,垂足為H,|PH|=a2, ∴x2a2+a24b2=1,解得x2=4a2b2-a44b2, ∴c2=4a2b2-a44b2+a2b24b2=5a2b2-a44b2, ∴4c2(a2-c2)=5a2(a2-c2)-a4, ∴4a2c2-4c4=4a4-5a2c2,∴4e2-4e4=4-5e2, ∴4e4-9e2+4=0,∵0

10、17-14.故選C. 11.(2017課標(biāo)Ⅰ高考)設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是(　　) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞) 答案A 解析由題意,可知當(dāng)點M為短軸的端點時,∠AMB最大.當(dāng)03時,橢圓C的焦點在y軸上,要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB=120°,則ab≥tan60°=3,即m

11、3≥3,解得m≥9,綜上m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞),故選A. 12.已知直線l:y=kx+2過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點B和左焦點F,且被圓x2+y2=4截得的弦長為L,若L≥455,則橢圓離心率e的取值范圍是(　　) A.0,55 B.0,255 C.0,355 D.0,455 答案B 解析依題意,知b=2,kc=2. 設(shè)圓心到直線l的距離為d,則L=24-d2≥455, 解得d2≤165.又因為d=21+k2, 所以11+k2≤45,解得k2≥14. 于是e2=c2a2=c2b2+c2=11+k2, 所以0

12、55.故選B. 13.(2018浙江杭二中模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F2,O為坐標(biāo)原點,M為y軸上一點,A是直線MF2與橢圓C的一個交點,且|OA|=|OF2|=2|OM|,則橢圓C的離心率為(　　) A.13 B.25 C.55 D.53 答案D 解析(方法一)∵|OA|=|OF2|=2|OM|, ∴點M在橢圓C的短軸上. 設(shè)橢圓C的左焦點為F1,連接AF1, ∵|OA|=|OF2|,∴|OA|=12·|F1F2|.∴AF1⊥AF2, 從而△AF1F2∽△OMF2,∴|AF1||AF2|=|OM||OF2|=12. 又|AF1|2+|A

13、F2|2=(2c)2, ∴|AF1|=255c,|AF2|=455c. 又∵|AF1|+|AF2|=2a,∴655c=2a,即ca=53. 故選D. (方法二)∵|OA|=|OF2|=2|OM|, ∴點M在橢圓C的短軸上. 在Rt△MOF2中,tan∠MF2O=|OM||OF2|=12,設(shè)橢圓C的左焦點為F1,連接AF1,∵|OA|=|OF2|,∴|OA|=12|F1F2|. ∴AF1⊥AF2.∴tan∠AF2F1=|AF1||AF2|=12. 設(shè)|AF1|=x(x>0),則|AF2|=2x,∴|F1F2|=5x. ∴e=2c2a=|F1F2||AF1|+|AF2|=5x

14、x+2x=53.故選D. 14.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>2)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為e,直線l:y=ex+a,P為點F1關(guān)于直線l對稱的點,若△PF1F2為等腰三角形,則a的值為　　　　　.? 答案3 解析由題意可得c=a2-2,e=a2-2a, F1(-c,0)到直線l的距離為d=|a-ec|1+e2, 由題意可得|PF1|=|F1F2|, 即為2d=2c,即有a-a2-2a21+a2-2a2=a2-2, 化簡可得a4-3a2=0,解得a=3. 15.(2018浙江衢州二中二模)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)短軸的端點為P(0,b),

15、Q(0,-b),長軸的一個端點為M,AB為經(jīng)過橢圓中心且不在坐標(biāo)軸上的一條弦,若PA,PB的斜率之積等于-14,則點P到直線QM的距離為　　　　　.? 答案455b 解析設(shè)A點的坐標(biāo)為(x0,y0),則B點的坐標(biāo)為(-x0,-y0),根據(jù)題意可知y0-bx0·-y0-b-x0=-14,即y02-b2x02=-14, 因為x02a2+y02b2=1,所以y02-b2x02=-b2a2. 故-b2a2=-14,則ba=12,不妨取點M(a,0),則直線QM的方程為bx-ay-ab=0.故點P到直線QM的距離為 d=|2ab|a2+b2=2·b1+ba2=455b. 16.已知F1(-c

16、,0),F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點,P為橢圓上一點,且PF1·PF2=c2,則此橢圓離心率的取值范圍是　　　　　.? 答案33,22 解析設(shè)P(x,y),則PF1·PF2=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,① 將y2=b2-b2a2x2代入①式解得 x2=(2c2-b2)a2c2=(3c2-a2)a2c2, 又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e=ca∈33,22. 17.已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為32,且經(jīng)過點M(4,1),直線l:y=x+m交橢圓于不同的兩點A,B. (1)求橢圓

17、的方程; (2)求m的取值范圍; (3)若直線l不過點M,求證:直線MA,MB的斜率互為相反數(shù). (1)解設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0), 因為e=32,所以a2=4b2,又因為M(4,1)在橢圓上,所以16a2+1b2=1,解得b2=5,a2=20,故橢圓方程為x220+y25=1. (2)解將y=x+m代入x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,Δ=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得-5

18、8m5,x1x2=4m2-205. k1+k2=y1-1x1-4+y2-1x2-4=(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)(x1-4)(x2-4), 分子=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4) =2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1) =2(4m2-20)5-8m(m-5)5-8(m-1)=0, 所以直線MA,MB的斜率互為相反數(shù). 18.過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點A作斜率為2的直線,與橢圓的另一個交點為B,與y軸的交點為C,已知AB=613BC. (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)動直線y=kx+m與橢圓有且

19、只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q,若x軸上存在一定點M(1,0),使得PM⊥QM,求橢圓的方程. 解(1)∵A(-a,0),設(shè)直線方程為y=2(x+a),B(x1,y1). 令x=0,則y=2a,∴C(0,2a), ∴AB=(x1+a,y1),BC=(-x1,2a-y1). ∵AB=613BC,∴x1+a=613(-x1),y1=613(2a-y1), 整理,得x1=-1319a,y1=1219a. ∵B點在橢圓上,∴13192+12192·a2b2=1, ∴b2a2=34,∴a2-c2a2=34,即1-e2=34,∴e=12. (2)∵b2a2=34,可設(shè)b2=3t

20、,a2=4t, ∴橢圓的方程為3x2+4y2-12t=0. 由3x2+4y2-12t=0,y=kx+m,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0. ∵動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P, ∴Δ=0,即64k2m2-4(3+4m2)(4m2-12t)=0,整理得m2=3t+4k2t.設(shè)P(x1,y1),則有x1=-8km2(3+4k2)=-4km3+4k2,y1=kx1+m=3m3+4k2,∴P-4km3+4k2,3m3+4k2. 又M(1,0),Q(4,4k+m),若x軸上存在一定點M(1,0),使得PM⊥QM,∴1+4km3+4k2,-3m3+4k2·(-3,-(4k+m))=0恒成立.整理,得3+4k2=m2,∴3+4k2=3t+4k2t恒成立. 故t=1,所求橢圓方程為x24+y23=1. 9