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二階線性微分方程,二階線性齊次微分方程,二階線性非齊次微分方程,n階線性微分方程,第六節(jié) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu),1,證畢,1. 線性齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階線性齊次方程,的兩個(gè)解,,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊, 得,(疊加原理),,定理1.,2,說(shuō)明:,不一定是所給二階方程的通解.,例如,,是某二階齊次方程的解,,也是齊次方程的解,并不是通解,但是,則,為解決通解的判別問(wèn)題,,,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與,線性無(wú)關(guān)概念.,3,定義:,是定義在區(qū)間 I 上的,n 個(gè)函數(shù),,使得,則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān),,否則稱為線性無(wú)關(guān).,例如，,在(?? , ?? )上都有,故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都線性相關(guān);,又如，,若在某區(qū)間 I 上,則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,,必需全為 0 ,,可見(jiàn),在任何區(qū)間 I 上都 線性無(wú)關(guān).,若存在不全為 0 的常數(shù),4,兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件:,線性相關(guān),存在不全為 0 的,使,線性無(wú)關(guān),,常數(shù),5,定理 2.,是二階線性齊次方程的兩個(gè)線,性無(wú)關(guān)特解,,數(shù)) 是該方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,,常數(shù),,故方程的通解為,推論.,是 n 階齊次方程,的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解,,則方程的通解為,則,6,2. 線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階非齊次方程,的一個(gè)特解,,Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,,定理 3.,則,是非齊次方程的通解 .,證: 將,代入方程①左端, 得,,,,②,①,7,是非齊次方程的解,,又Y 中含有,兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),,例如, 方程,有特解,對(duì)應(yīng)齊次方程,有通解,因此該方程的通解為,證畢,因而 ② 也是通解 .,8,解的疊加原理,9,推廣:,分別是方程,的特解,,是方程,的特解. (非齊次方程之解的疊加原理),定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程.,10,定理 5.,是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性,無(wú)關(guān)特解,,給定 n 階非齊次線性方程,是非齊次方程的特解,,則非齊次方程,的通解為,,齊次方程通解,非齊次方程特解,,,11,常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).,設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù),都是二階非齊次線,性方程,的解,,是任意,例1.,提示:,都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,,二者線性無(wú)關(guān) . (反證法可證),12,例2.,已知微分方程,個(gè)解,求此方程滿足初始條件,的特解 .,解:,是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,,且,常數(shù),因而線性無(wú)關(guān),,故原方程通解為,代入初始條件,故所求特解為,有三,13,例3,解,（１） 由題設(shè)可得：,解此方程組，得,14,（２） 原方程為,由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為,15,思考題,16,思考題解答,都是微分方程的解,,是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,,常數(shù),對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,原方程的通解,17,練 習(xí) 題,18,19,練習(xí)題答案,20,