高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2_3 數(shù)學歸納法自我小測 蘇教版選修2-21
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高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.3 數(shù)學歸納法自我小測 蘇教版選修2-2 1.數(shù)列1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,…的一個通項公式為________. 2.用數(shù)學歸納法證明不等式2n>n2成立時,n應(yīng)取的第一個值為________. 3.用數(shù)學歸納法證明不等式n3+1≥4n+1時,n所取的第一個值n0為__________. 4.用數(shù)學歸納法證明“1+++…+<n(n∈N*,且n>1)”時,由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時,左邊應(yīng)增加的項數(shù)是________. 5.凸n邊形有f(n)條對角線,則凸n+1邊形的對角線條數(shù)f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系為. 6.用數(shù)學歸納法證明2n+1≥n2+n+2(n∈N)時,第一步的驗證為____________________. 7.已知x>-1且x≠0,n∈N*,且n≥2, 求證:(1+x)n>1+nx. 8.用數(shù)學歸納法證明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n. 9.求證:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,n∈N*. 10.已知函數(shù)(x≥0).設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an),數(shù)列{bn}滿足bn=|an-|,用數(shù)學歸納法證明. 參考答案 1答案:n2 2答案:5 3答案:2 4答案:2k 解析:增加的項數(shù)為(2k+1-1)-(2k-1)=2k. 5答案:f(n+1)=f(n)+n-1 解析:如圖,設(shè)凸n+1邊形為A1A2…AnAn+1,連結(jié)A1An,則凸n+1邊形的對角線是由凸n邊形A1A2…An的對角線加上A1An,再加上從An+1點出發(fā)的n-2條對角線,即f(n+1)=f(n)+1+n-2=f(n)+n-1. 6答案:當n=0時,20+1=2≥02+0+2=2,結(jié)論成立 7答案:證明:(1)當n=2時,左邊=(1+x)2=1+2x+x2, ∵x≠0,∴1+2x+x2>1+2x. ∴左邊>右邊,不等式成立. (2)假設(shè)當n=k時,不等式成立,即(1+x)k>1+kx成立,則當n=k+1時,左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x). ∵x>-1,∴1+x>0. ∴(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2. ∵x≠0,∴1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x. ∴(1+x)k+1>1+(k+1)x成立, 即當n=k+1時不等式成立. 由(1)(2)可知,不等式對于所有的n≥2的正整數(shù)都成立. 8答案:證明:(1)當n=1時,左邊=1,右邊=1,命題成立. (2)假設(shè)n=k(k≥1)時,命題成立, 即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-k. 則當n=k+1時, 1+5+9+13+…+(4k-3)+(4k+1) =2k2-k+(4k+1) =2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1). ∴當n=k+1時,命題成立. 綜上所述,原命題成立. 9答案:證明:(1)當n=1時,a1+1+(a+1)21-1=a2+a+1,命題顯然成立. (2)假設(shè)n=k時,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,則當n=k+1時, ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1. 由歸納假設(shè)知,上式中的兩部分均能被a2+a+1整除,故n=k+1時命題成立. 根據(jù)(1)(2)知,對任意n∈N*,命題成立. 10答案:證明:當x≥0時,f(x)=1+>1. 因為a1=1,所以an≥1(n∈N*). 下面用數(shù)學歸納法證明不等式. (1)當n=1時,b1=-1,不等式成立. (2)假設(shè)當n=k(k≥1)時,不等式成立, 即, 那么bk+1=|ak+1-|=. 所以,當n=k+1時,不等式也成立. 根據(jù)(1)和(2),可知不等式對任意n∈N*都成立.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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