《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 第22講 簡(jiǎn)單三角恒等變換練習(xí) 文（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 第22講 簡(jiǎn)單三角恒等變換練習(xí) 文（含解析）新人教A版（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第22講　簡(jiǎn)單三角恒等變換 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p52】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．能利用兩角和與差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換； 2．掌握常用的變換的思路：變換角，變換函數(shù)名與次冪，變換解析式結(jié)構(gòu)． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．計(jì)算coscos－sinsin的值為(　　) A. B. C. D．1 【解析】由兩角和與差的余弦公式得coscos－sinsin＝cos＝cos＝，選B. 【答案】B 2．已知tan α＝2，則3sin2α－cos αsin α＋1＝(　　) A．3 B．－3 C．4 D．－4 【解析】3

2、sin2α－cos αsin α＋1＝4sin2α－cos αsin α＋cos2α ＝＝＝3. 【答案】A 3．計(jì)算的值是(　　) A. B. C. D. 【解析】＝ ＝＝，故選D. 【答案】D 4．若＝2 020，則＋tan 2α＝(　　) A．2 021 B．2 020 C．2 019 D．2 018 【解析】＋tan 2α＝＋＝ ＝＝ ＝＝2 020. 【答案】B 【知識(shí)要點(diǎn)】 三角變換的基本題型——化簡(jiǎn)、求值和證明 (1)化簡(jiǎn) 三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的一般要求：三角函數(shù)種數(shù)盡量少；項(xiàng)數(shù)盡量少；次數(shù)盡量低；盡量使分母不含三角函數(shù)式；盡量使被開(kāi)方數(shù)不

3、含三角函數(shù)式；能求出的值應(yīng)盡量求出值． 依據(jù)三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常采用的變換方法：弦切互化、異角化同角；異名化同名；異次化同次；降冪或升冪． (2)求值 常見(jiàn)的有給角求值，給值求值，給值求角． ①給角求值的關(guān)鍵是正確地分析角(已知角和未知角)之間的關(guān)系，準(zhǔn)確地選用公式，注意轉(zhuǎn)化為特殊值． ②給值求值的關(guān)鍵是分析已知式與待求式之間角、名稱、結(jié)構(gòu)的差異，有目的地將已知式、待求式的一方或兩方加以變換，找出它們之間的聯(lián)系，最后求待求式的值． ③給值求角的關(guān)鍵是求出該角的某一三角函數(shù)值，討論角的范圍，求出該角． (3)證明 它包括無(wú)條件的恒等式和附加條件的恒等式的證明． ①無(wú)條件恒等

4、式的證明，證明時(shí)要認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)，角度、函數(shù)、結(jié)構(gòu)的差異，一般由繁的一邊往簡(jiǎn)的一邊證，逐步消除差異，最后達(dá)到統(tǒng)一，對(duì)于較難的題目，可以用分析法幫助思考，或分析法和綜合法聯(lián)用． ②有附加條件的恒等式的證明，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)乩酶郊訔l件，要認(rèn)真分析條件式和結(jié)論式中三角函數(shù)之間的聯(lián)系，從分析過(guò)程中尋找條件等式向待證等式轉(zhuǎn)化的途徑． 典 例 剖 析　【p52】 考點(diǎn)1　三角函數(shù)求值 (1)sin －cos 的值為(　　) A．0 B．－ C．2 D. 【解析】sin －cos ＝2 ＝2sin＝2sin＝－. 【答案】B (2)若α是第四象限角，且cos α＝，則

5、tan 2α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】由題意有： sin α＝－＝－，tan α＝＝－， 結(jié)合二倍角公式： tan 2α＝＝.故選C. 【答案】C (3)化簡(jiǎn)：sin 50°的值為_(kāi)_______． 【解析】sin 50°＝ ＝＝ ＝＝1. 【答案】1 【小結(jié)】1.已知切求弦，則可切化弦；已知弦求切，則弦化切，但弦化切需為齊次式． 2．注意角的變形． 3．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)特征． 4．三角函數(shù)式化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn)．

6、考點(diǎn)2　三角函數(shù)化簡(jiǎn) 化簡(jiǎn)：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos 2α·cos 2β. 【解析】法一：(復(fù)角→單角，從“角”入手) 原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1) ＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－ ＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－ ＝sin2β＋cos2β－＝1－＝. 法二：(從“名”入手，異名化同名) 原式

7、＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－cos 2α·cos 2β ＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2α·cos 2β ＝cos2β－sin2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β ＝cos2β－cos 2β· ＝－cos 2β· ＝－cos 2β＝. 法三：(從“冪”入手，利用降冪公式先降次) 原式＝·＋· －cos 2α·cos 2β ＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－·cos 2α·cos 2β＝. 法四：(從“形”入手，

8、利用配方法，先對(duì)二次項(xiàng)配方) 原式＝(sin α·sin β－cos α·cos β)2＋2sin α·sin β·cos α·cos β－cos 2α·cos 2β ＝cos2(α＋β)＋sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β ＝cos2(α＋β)－·cos(2α＋2β) ＝cos2(α＋β)－·[2cos2(α＋β)－1]＝. 【小結(jié)】三角函數(shù)化簡(jiǎn)一般先看角的變換，再看三角函數(shù)名的變換，然后是冪及解析式結(jié)構(gòu)的變換，并要注意它們的綜合應(yīng)用． 考點(diǎn)3　三角恒等式的證明 (1)已知銳角α，β滿足sin α＝，cos β＝，證明：α＋β＝. 【解析】由sin α＝，

9、cos β＝且α，β為銳角， 可知cos α＝，sin β＝， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝， 又0<α＋β<π，故α＋β＝. (2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的兩根分別為tan α、tan β，且α、β∈，證明：α＋β＝－. 【解析】依題意有 ∴tan(α＋β)＝＝＝1. 又 ∴tan α＜0且tan β＜0. ∴－＜α＜0且－＜β＜0， 即－π＜α＋β＜0，結(jié)合tan(α＋β)＝1， 得α＋β＝－. (3)已知α，β都是銳角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin 2α－2sin 2β＝0，求證：

10、α＋2β＝. 【解析】法一：由已知可得3sin2α＝cos 2β，3sin 2α＝2sin 2β， 兩式相除，得tan α＝＝＝tan. ∵α，β為銳角，∴0<β<，0<2β<π，－π<－2β<0， ∴－<－2β<， ∴α＝－2β，即α＋2β＝. 法二：由已知可得 3sin2α＝cos 2β，① 3sin 2α＝2sin 2β，② ∴sin(α＋2β)＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β ＝sin α·3sin2α＋cos α·sin 2α ＝3sin α(sin2α＋cos2α)＝3sin α， 又由②得3sin αcos α＝sin 2β，③ ①2＋③

11、2得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1， ∴sin α＝，即sin(α＋2β)＝1， 又0<α＋2β<，可知α＋2β＝. 法三：由已知可得3sin2α＝cos 2β，3sin 2α＝2sin 2β， ∴cos(α＋2β)＝cos α·cos 2β－sin α·sin 2β ＝cos α·3sin2α－sin α·sin 2α ＝3sin2αcos α－sin α·3sin αcos α＝0， 又由0<α＋2β<π，可知α＋2β＝. 【小結(jié)】通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角，在選取函數(shù)時(shí)，有以下原則： (1)已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)． (2)已知正弦、余弦函數(shù)值，則選

12、正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，則選正弦、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好． 【能力提升】 已知tan，tan是方程x2＋px＋q＝0的二根，求證：p＋q－＝0. 【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系有 p＝－ ＝－tan π ＝， q＝tantan， ∴p＋q－＝＋·tantan－＝0. 故原等式成立．【小結(jié)】不論是三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)還是恒等證明，觀察分析題設(shè)三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征十分重要，主要從三個(gè)方面入手：其一是三角函數(shù)“名稱、種類”，若正弦、余弦、正切均有，一般需要“化弦”；其二是三角函數(shù)的“次數(shù)”，若次數(shù)較高，則需“降次”；其三是角的種類，若

13、角的種類較多，則需“化異角為同角”． 方 法 總 結(jié)　【p53】 1．三角函數(shù)的求值與化簡(jiǎn)要注意觀察角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，然后進(jìn)行變換． 2．利用三角函數(shù)值求角要考慮角的范圍． 3．與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合的綜合問(wèn)題．借助三角恒等變換將已知條件中的函數(shù)解析式整理為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函數(shù)圖象解決． 走 進(jìn) 高 考　　【p53】 1．(2018·浙江)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β滿足sin(α＋β)＝，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的終邊過(guò)點(diǎn)P得sin α＝－， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝. (2)由角α的終邊過(guò)點(diǎn)P得cos α＝－， 由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. - 6 -