《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第15講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第15講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算練習(xí) 理（含解析）新人教A版（19頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 　【p33】 第15講　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p33】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景． 2．理解導(dǎo)數(shù)的意義及幾何意義． 3．能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導(dǎo)數(shù)． 4．能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行某些函數(shù)的求導(dǎo)． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．—個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在5秒末的瞬時(shí)速度是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．6米/秒B．7米/秒 C．8米/秒D．9米/秒 【解析】物體的運(yùn)動(dòng)方

2、程為s＝1－t＋t2， s′＝－1＋2t，s′|t＝5＝9. 【答案】D 2．已知函數(shù)f(x)＝sin x－x，則f′(0)＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－2 【解析】由函數(shù)的解析式可得：f′(x)＝cos x－1， 則f′(0)＝cos 0－1＝1－1＝0. 【答案】A 3．已知曲線(xiàn)f(x)＝x2＋2x上一點(diǎn)A(2，8)，則lim＝(　　) A．3 B．－3 C．6 D．－6 【解析】由題得f′(x)＝2x＋2, ∴f′(2)＝6， lim＝－lim＝－×6＝－3. 【答案】B 4．曲線(xiàn)y＝e－5x＋2在點(diǎn)(0，3)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____

3、__． 【解析】y＝e－5x＋2的導(dǎo)數(shù)y′＝－5e－5x， 則在x＝0處的切線(xiàn)斜率為－5e0＝－5，切點(diǎn)為(0，3)， 則在x＝0處的切線(xiàn)方程為：y＝－5x＋3，即為5x＋y－3＝0. 【答案】5x＋y－3＝0 5．若函數(shù)f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，則f′(1)＝________． 【解析】f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋2x，則f′(1)＝f′(1)－f(0)＋2，所以f(0)＝2，故f(x)＝f′(1)ex－1－2x＋x2，則有f(0)＝f′(1)e－1，解得f′(1)＝2e. 【答案】2e 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．平均變化率及瞬時(shí)變化率 (1)

4、函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率用____表示，且＝. (2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是：＝. 2．導(dǎo)數(shù)的概念 (1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝. (2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個(gè)確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)是x的一個(gè)函數(shù)，稱(chēng)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù))，即f′(x)＝. 3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義 幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線(xiàn)y＝f(x)上__點(diǎn)(x0，f(x0))處切線(xiàn)__的斜率k，即

5、k＝__f′(x0)__；切線(xiàn)方程為_(kāi)_y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__． 物理意義：若物體位移隨時(shí)間變化的關(guān)系為s＝f(t)，則f′(t0)是物體運(yùn)動(dòng)在t＝t0時(shí)刻的__瞬時(shí)速度__． 4．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ①(C)′＝__0__(C為常數(shù)); ②(x)′＝__1__； ③(x2)′＝__2x__；④′＝__－__； ⑤()′＝____． (2)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 ①(xn)′＝__nxn－1__；②(sin x)′＝__cos__x__； ③(cos x)′＝__－sin__x__

6、；④(ex)′＝__ex__； ⑤(ax)′＝__axln__a__；⑥(ln x)′＝____； ⑦(logax)′＝____． 5．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__； (2)[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)__； (3)′＝__(g(x)≠0)__． 6．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)(函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x))的復(fù)合函數(shù)為y＝f(g(x))． (2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(

7、u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為_(kāi)_y′x＝y(tǒng)′u·u′x__，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積． 典例剖析　【p34】 考點(diǎn)1　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及應(yīng)用 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sin x； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝. 【解析】(1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x， ∴y′＝18x2－10x－4. (2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′

8、＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln 3＋3xex－2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (4)y′＝＝ ＝. 【點(diǎn)評(píng)】求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；遇到函數(shù)的商的形式時(shí)，如能化簡(jiǎn)則化簡(jiǎn)，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量． 考點(diǎn)2　復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝(2x＋1)5； (2)y＝； (3)y＝sin2； (4)y＝xsincos； (5)y＝x. 【解析】(1)設(shè)u＝2x＋1，則y＝u5， ∴y′＝y(tǒng)′u·u′

9、x＝(u5)′u·(2x＋1)′x＝5u4·2＝5(2x＋1)4·2＝10(2x＋1)4. (2)設(shè)u＝1－3x，則y＝u－4， ∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(u－4)′u·(1－3x)′x＝－4u－5·(－3)＝12u－5＝. (3)y′＝′＝2sin·′＝2sin·cos·′ ＝2sin·cos·2＝2sin. (4)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x， ∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x. (5)y′＝(x)′＝x′·＋x·()′＝＋＝. 【點(diǎn)評(píng)】求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于分析函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)確定中間變

10、量，然后“由外及內(nèi)”逐層求導(dǎo)． 考點(diǎn)3　導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用 (1)若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，則(　　) A．f(0)f(4) D．以上都不對(duì) 【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝2x＋2f′(1)， 令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2， 故f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，則f(0)＝f(4)． 【答案】B (2)已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f′(x)＝ex(2x－2)＋f(x)，f(0)＝1，則(　　)

11、A．f(x)＝ex(x＋1) B．f(x)＝ex(x－1) C．f(x)＝ex(x＋1)2 D．f(x)＝ex(x－1)2 【解析】令G(x)＝，則G′(x)＝＝2x－2， 可設(shè)G(x)＝x2－2x＋c， ∵G(0)＝f(0)＝1.∴c＝1. ∴f(x)＝(x2－2x＋1)ex＝ex(x－1)2. 【答案】D (3)在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x≥0)，過(guò)點(diǎn)E作OB的垂線(xiàn)l.記△AOB在直線(xiàn)l左側(cè)部分的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象為下圖中的(　　) 【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Δx內(nèi)

12、面積變化量ΔS大于0且越來(lái)越大，即斜率f′(x)在[0，2]內(nèi)大于0且越來(lái)越大，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的，且圖象是下凸的； 當(dāng)x∈(2，3)時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS大于0且越來(lái)越小，即斜率f′(x)在(2，3)內(nèi)大于0且越來(lái)越小，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的，且圖象是上凸的； 當(dāng)x∈[3，＋∞)時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS為0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)內(nèi)為常數(shù)0，此時(shí)，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線(xiàn)． 【答案】D 【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線(xiàn)的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢

13、． 考點(diǎn)4　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)函數(shù)f(x)＝ln x＋x2－bx＋a (b>0，a∈R)的圖象在點(diǎn)(b，f(b))處的切線(xiàn)斜率的最小值是(　　) A．2 B. C．1 D．2 【解析】∵f′(x)＝＋2x－b，∴k＝f′(b)＝＋b≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時(shí)取等號(hào)，因此切線(xiàn)斜率的最小值是2. 【答案】D (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋(a＋3)xsin x＋ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線(xiàn)方程為(　　) A．y＝－x B．y＝－2x C．y＝－4x D．y＝－3x 【解析】∵函數(shù)f(x)＝2x3＋(a＋3)xsin x＋ax為奇

14、函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)，即2(－x)3＋(a＋3)(－x)sin(－x)＋a·(－x)＝－2x3＋(a＋3)xsin x－ax. ∴a＋3＝0，即a＝－3. ∴f(x)＝2x3－3x，則f′(x)＝6x2－3. ∴曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線(xiàn)的斜率為f′(0)＝－3. ∵f(0)＝0， ∴曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線(xiàn)方程為y＝－3x. 【答案】D (3)過(guò)點(diǎn)(e，－e)作曲線(xiàn)y＝ex－x的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為(　　) A．y＝(－1－e)x＋e2 B．y＝(e－1)x－e2 C．y＝(ee＋1－1)x－ee＋2 D．y＝(ee－1)x－ee＋

15、1 【解析】由y＝ex－x，得y′＝ex－1， 設(shè)切點(diǎn)為(x0，ex0－x0)，則y′|x＝x0＝ex0－1， ∴切線(xiàn)方程為y－ex0＋x0＝(ex0－1)(x－x0)， ∵切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(e，－e)， ∴－ex0＝ex0(e－x0)， 解得：x0＝e＋1. ∴切線(xiàn)方程為y－ee＋1＋e＋1＝(ee＋1－1)(x－e－1)， 整理得：y＝(ee＋1－1)x－ee＋2. 【答案】C (4)設(shè)對(duì)函數(shù)f(x)＝－ex－x圖象上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)為l1，若總存在函數(shù)g(x)＝ax＋2cos x圖象上一點(diǎn)處的切線(xiàn)l2，使得l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－1，2] B．(

16、－1，2) C．[－2，1] D．(－2，1) 【解析】f(x)＝－ex－x，則f′(x)＝－ex－1， ∵ex＋1>1，∴－ex－1<－1， 由g(x)＝ax＋2cos x，可得g′(x)＝a－2sin x， 又－2sin x∈[－2，2]， ∴a－2sin x∈[－2＋a，2＋a]， 要使得過(guò)曲線(xiàn)f(x)＝－ex－x上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)為l1，總存在過(guò)曲線(xiàn)g(x)＝ax＋2cos x上一點(diǎn)處的切線(xiàn)l2，使得l1⊥l2， 則解得－1≤a≤2. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，2]． 【答案】A 【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： (

17、1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：k＝f′(x0)． (2)已知斜率k，求切點(diǎn)A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)若求過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線(xiàn)方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由求解即可． 方法總結(jié)　　【p35】 1．應(yīng)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行導(dǎo)數(shù)計(jì)算時(shí)應(yīng)注意：①公式(xn)′＝nxn－1中，n為有理數(shù)；②公式(ax)′＝axln a，(logax)′＝與(ex)′＝ex，(ln x)′＝，清楚地區(qū)分和熟記． 2．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算關(guān)鍵是聯(lián)想基本初等函數(shù)，準(zhǔn)確地通過(guò)中間量對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分拆，同時(shí)最后結(jié)果是關(guān)于x的函數(shù)解析式．

18、3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)特別注意“過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)”與“在點(diǎn)P處的切線(xiàn)”意義完全不一樣，前者點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，而后者點(diǎn)P一定是切點(diǎn)，且在曲線(xiàn)上． 走進(jìn)高考　　【p35】 1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線(xiàn)方程為(　　) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x 【解析】由f(x)為奇函數(shù)易知a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以直線(xiàn)y＝f(x)在(0，0)處的切線(xiàn)方程為y＝x. 【答案】D 2．(2018·全國(guó)卷

19、Ⅲ)曲線(xiàn)y＝(ax＋1)ex在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)的斜率為－2，則a＝________． 【解析】y′＝aex＋(ax＋1)ex，則f′(0)＝a＋1＝－2，所以a＝－3. 【答案】－3 考點(diǎn)集訓(xùn)　　【p192】 A組題 1．有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝t2＋(t是時(shí)間，s是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為(　　) A. B. C. D. 【解析】由題意知，機(jī)器人的速度方程為v(t)＝s′(t)＝2t－， 故當(dāng)t＝2時(shí)，機(jī)器人的瞬時(shí)速度為v(2)＝2×2－＝. 【答案】D 2．設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則等于(　　) A．f′(1) B．3f′(1)

20、C.f′(1) D．f′(3) 【解析】根據(jù)函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)定義， f′(1)＝＝3·， ∴＝·f′(1)． 【答案】C 3．下列求導(dǎo)①(sin x)′＝－cos x；②′＝；③(e2x)′＝2e2x；④′＝，正確的有(　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【解析】(sin x)′＝cos x，故①錯(cuò)誤； ′＝－，故②錯(cuò)誤； (e2x)′＝2e2x，故③正確； ＝＝，故④錯(cuò)誤． 正確的有一個(gè)． 【答案】B 4．求曲線(xiàn)f(x)＝x－2ln x在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線(xiàn)方程(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y－2＝0 C．x＋y

21、＋2＝0 D．x－y＋2＝0 【解析】f′(x)＝1－，所以f′(1)＝－1，f(1)＝1，所以切線(xiàn)方程為y－1＝－(x－1)，化簡(jiǎn)得x＋y－2＝0. 【答案】A 5．已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)·cos x－ax在(0，f(0))處的切線(xiàn)的傾斜角為45°，則a＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．3 【解析】求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝－ln(x＋1)·sin x－a， 又函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)·cos x－ax在(0，f(0))處的切線(xiàn)的傾斜角為45°， ∴1－a＝1，即a＝0. 【答案】C 6．若函數(shù)f(x)＝xex＋f′(1)x2，則f′(1)＝__

22、______． 【解析】∵函數(shù)f(x)＝xex＋f′(1)x2， ∴f′(x)＝ex＋xex＋2f′(1)x， ∴f′(1)＝e＋e＋2f′(1)，即f′(1)＝－2e. 【答案】－2e 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝，其中a>0.若對(duì)于任意x∈R，f′(x)≥0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】由題可知，f′(x)＝， 令g(x)＝ax2－2ax＋1，則g(x)與f′(x)符號(hào)相同， ∵對(duì)于任意x∈R，f′(x)≥0， ∴對(duì)于任意x∈R，g(x)≥0恒成立， 又∵a>0， 根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得Δ＝(－2a)2－4a≤0，解得0＜a≤1， ∴實(shí)數(shù)a的取值范

23、圍是(0，1]． 【答案】(0，1] 8．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋. (1)當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)4y－x＋1＝0垂直時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值； (2)若x≥1時(shí)，f(x)≥1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解析】(1)f′(x)＝－， ∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)的斜率k＝f′(1)＝1－m， 函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)4y－x＋1＝0垂直， 又因?yàn)橹本€(xiàn)4y－x＋1＝0的斜率為. ∴(1－m)＝－1， ∴1－m＝－4，∴m＝5. (2)依題意可得不等式ln x＋≥1在x≥1時(shí)恒成立， 即m≥x－xln x在x≥1

24、時(shí)恒成立． 設(shè)g(x)＝x－xln x(x≥1)． 則g′(x)＝1－ln x－1＝－ln x≤0， 所以函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)， ∴g(x)≤g(1)＝1－1·ln 1＝1. ∴m≥1. B組題 1．已知直線(xiàn)l：x－ty－2＝0(t≠0)與函數(shù)f(x)＝(x>0)的圖象相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(　　) A．2± B．2±2 C．2 D．1＋ 【解析】由f(x)＝(x>0)可得f′(x)＝， 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)(m>0)， 則解得m＝2±. 【答案】A 2．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，則稱(chēng)x0是f

25、(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”，則下列函數(shù)中有“巧值點(diǎn)”的是________． ①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x；⑤f(x)＝. 【解析】①f′(x)＝2x，x2＝2x得x＝0或x＝2，有“巧值點(diǎn)”；②f′(x)＝－e－x，e－x＝－e－x無(wú)解，無(wú)“巧值點(diǎn)”；③f′(x)＝，方程ln x＝有解，有“巧值點(diǎn)”；④f′(x)＝，方程tan x＝無(wú)解，無(wú)“巧值點(diǎn)”；⑤，方程f′(x)＝－，方程＝－有解，x＝－1，有“巧值點(diǎn)”． 【答案】①③⑤ 3．已知函數(shù)f(x)，x∈(0，＋∞)的導(dǎo)函數(shù)為f′，且滿(mǎn)足xf′－2f＝x3ex，f(1)＝e－1，則f(

26、x)在處的切線(xiàn)方程為_(kāi)___________． 【解析】∵xf′－2f＝x3ex，∴＝ex. 令g＝，則g′＝＝ex， ∴g＝＝ex＋c(c為常數(shù))， ∴f＝x2， 又f＝e＋c＝e－1，∴c＝－1. ∴f＝x2， ∴f′＝2x＋x2ex＝ex－2x， ∴f′＝8e2－4. 又f＝4， ∴所求切線(xiàn)方程為y－4＝，即y＝x－12e2＋4. 【答案】y＝x－12e2＋4 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝xln x－ax2＋(b－1)x，g(x)＝ex－ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)求g(x)在(1，0)處的切線(xiàn)方程； (2)當(dāng)b＝0時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍

27、； (3)若y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)與x軸平行，且函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)在x∈(1，＋∞)時(shí)，其圖象上每一點(diǎn)處切線(xiàn)的傾斜角均為銳角，求a的取值范圍． 【解析】(1)由題得g′(x)＝ex－e，∴k＝g′(1)＝e－e＝0， 所以切線(xiàn)方程為y＝0. (2)當(dāng)b＝0時(shí)，f(x)＝xln x－ax2－x，f′(x)＝ln x－2ax， 所以f(x)＝xln x－ax2－x有兩個(gè)極值點(diǎn)就是方程ln x－2ax＝0有兩個(gè)解， 即y＝2a與m(x)＝的圖象的交點(diǎn)有兩個(gè)． ∵m′(x)＝，當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，m′(x)>0，m(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，m′

28、(x)<0，m(x)單調(diào)遞減．m(x)有極大值，又因?yàn)閤∈(0，1]時(shí)，m(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，0＜m(x)＜. 當(dāng)a∈時(shí)，y＝2a與m(x)＝的圖象的交點(diǎn)有0個(gè)； 當(dāng)a∈(－∞，0]或a＝時(shí)，y＝2a與m(x)＝的圖象的交點(diǎn)有1個(gè)； 當(dāng)a∈時(shí)，y＝2a與m(x)＝的圖象的交點(diǎn)有2個(gè)； 綜上a∈. (3)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)與x軸平行， 所以f′(1)＝0且f(1)≠0，因?yàn)閒′(x)＝ln x－2ax＋b， 所以b＝2a且a≠1； h(x)＝xln x－ax2＋(b－1)x＋ex－ex在x∈(1，＋∞)時(shí)，其圖象的每一點(diǎn)處的切線(xiàn)的傾斜角均為

29、銳角， 即當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)＝f′(x)＋g′(x)＞0恒成立， 即ln x＋ex－2ax＋2a－e>0， 令t(x)＝ln x＋ex－2ax＋2a－e，∴t′(x)＝＋ex－2a， 設(shè)φ(x)＝＋ex－2a，φ′(x)＝ex－， 因?yàn)閤>1，所以ex>e，＜1，∴φ′(x)＞0， ∴φ(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增，即t′(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增， ∴t′(x)＞t′(1)＝1＋e－2a， 當(dāng)a≤且a≠1時(shí)，t′(x)≥0， 所以t(x)＝ln x＋ex－2ax＋2a－e在(1，＋∞)單調(diào)遞增， ∴t(x)>t(1)＝0成立； 當(dāng)a>時(shí)，因?yàn)閠′(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增，所以t′(1)＝1＋e－2a<0，t′(ln 2a)＝＋2a－2a>0， 所以存在x0∈(1，ln 2a)有t′(x0)＝0， 當(dāng)x∈(1，x0)時(shí)，t′(x)<0，t(x)單調(diào)遞減，所以有t(x0)0不恒成立； 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1)∪. 19