《（浙江專用）2021版新高考數學一輪復習 第十章 計數原理與古典概率 7 第7講 n次獨立重復試驗與二項分布高效演練分層突破》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2021版新高考數學一輪復習 第十章 計數原理與古典概率 7 第7講 n次獨立重復試驗與二項分布高效演練分層突破（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第7講　n次獨立重復試驗與二項分布 [基礎題組練] 1．(2020·東北四市高考模擬)將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，事件“至少有一次正面向上”的概率為P，則n的最小值為(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析：選A.由題意得P＝1－≥，則≤，所以n≥4，故n的最小值為4. 2．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數是3”為事件B，則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C.依題意，得P(A)＝，P(B)＝，且事件A，B相互獨立，則事件A，B中至少有一個發(fā)

2、生的概率為1－P(·)＝1－P()·P()＝1－×＝，故選C. 3．(2020·紹興調研)設隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，則P(Y≥2)的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.因為隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以Y～B，則P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝. 4．(2020·杭州七校聯考)如果X～B，則使P(X＝k)取最大值的k值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．3或4 解析：選D.觀察選項，采用特殊值法． 因為P(X＝

3、3)＝C， P(X＝4)＝C， P(X＝5)＝C， 經比較，P(X＝3)＝P(X＝4)＞P(X＝5)， 故使P(X＝k)取最大值時k＝3或4. 5．某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2棵．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且每棵大樹是否成活互不影響，則移栽的4棵大樹中至少有1棵成活的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選D.設Ak表示第k棵甲種大樹成活，k＝1，2；Bl表示第l棵乙種大樹成活，l＝1，2，則A1，A2，B1，B2相互獨立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝，則至少有1棵大樹成活的概率為1－P(···)＝1－P()·P

4、()·P()·P()＝1－×＝. 6.如圖所示的電路有a，b，c三個開關，每個開關開和關的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為________． 解析：設“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則甲燈亮應為事件AC，且A，，C之間彼此獨立，P(A)＝P()＝P(C)＝. 所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝. 答案： 7．某機械研究所對新研發(fā)的某批次機械元件進行壽命追蹤調查，隨機抽查的200個機械元件情況如下： 使用時 間/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 個數 10 40 80 50 20 若

5、以頻率為概率，現從該批次機械元件中隨機抽取3個，則至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為____________． 解析：由表可知元件使用壽命在30天以上的頻率為＝，則所求概率為C×＋＝. 答案： 8．某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18，19，20層?？?，若該電梯在底層有5個乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率都為，用X表示5位乘客在第20層下電梯的人數，則P(X＝4)＝________． 解析：考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復試驗，故X～B，即有P(X＝k)＝C×，k＝0，1，2，3，4，5. 故P(X＝4)＝C×＝. 答案： 9

6、．小王在某社交網絡的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個． (1)若小王發(fā)放5元的紅包2個，求甲恰得1個的概率； (2)若小王發(fā)放3個紅包，其中5元的2個，10元的1個．記乙所得紅包的總錢數為X，求X的分布列． 解：(1)設“甲恰得1個紅包”為事件A， 則P(A)＝C××＝. (2)X的所有可能取值為0，5，10，15，20. P(X＝0)＝＝， P(X＝5)＝C××＝， P(X＝10)＝×＋×＝， P(X＝15)＝C××＝， P(X＝20)＝＝. X的分布列為 X 0 5 10 15 20 P 10.已知某種動物服用

7、某種藥物一次后當天出現A癥狀的概率為.某小組為了研究連續(xù)服用該藥物后出現A癥狀的情況，進行了藥物試驗．試驗設計為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個用藥周期．假設每次用藥后當天是否出現A癥狀與上次用藥無關． (1)若出現A癥狀，則立即停止試驗，求試驗至多持續(xù)一個用藥周期的概率； (2)若在一個用藥周期內出現3次或4次A癥狀，則在這個用藥周期結束后終止試驗．若試驗至多持續(xù)兩個周期，設藥物試驗持續(xù)的用藥周期為η，求η的分布列． 解：(1)法一：記試驗持續(xù)i天為事件Ai，i＝1，2，3，4，試驗至多持續(xù)一個周期為事件B， 易知P(A1)＝，P(A2)＝×，P(A3)＝×，P(A4)＝×， 則P

8、(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝. 法二：記試驗至多持續(xù)一個周期為事件B，則為試驗持續(xù)超過一個周期， 易知P()＝＝， 所以P(B)＝1－＝. (2)隨機變量η的所有可能取值為1，2， P(η＝1)＝C·＋＝， P(η＝2)＝1－＝， 所以η的分布列為 η 1 2 P [綜合題組練] 1．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎． (1

9、)求顧客抽獎1次能獲獎的概率； (2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X，求X的分布列． 解：(1)記事件A1＝{從甲箱中摸出的1個球是紅球}， A2＝{從乙箱中摸出的1個球是紅球}， B1＝{顧客抽獎1次獲一等獎}，B2＝{顧客抽獎1次獲二等獎}，C＝{顧客抽獎1次能獲獎}． 由題意知A1與A2相互獨立，A1與A2互斥，B1與B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2. 因為P(A1)＝＝，P(A2)＝＝， 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝， P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2) ＝P(

10、A1)P()＋P()P(A2) ＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2) ＝×＋×＝. 故所求概率為P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝. (2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗，由(1)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以X～B. 于是P(X＝0)＝C＝， P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝C＝， P(X＝3)＝C＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 2.(2020·杭州學軍中學高三月考)某校課改實行選修走班制，現有甲，乙，丙，丁四位學生準備選修物理，化學，生物三個科目．每位學生只選修一個科

11、目，且選修其中任何一個科目是等可能的． (1)求恰有2人選修物理的概率； (2)求學生選修科目個數ξ的分布列． 解：(1)這是等可能性事件的概率計算問題． 法一：所有可能的選修方式有34種， 恰有2人選修物理的方式C·22種， 從而恰有2人選修物理的概率為＝. 法二：設每位學生選修為一次試驗，這是4次獨立重復試驗． 記“選修物理”為事件A，則P(A)＝，從而， 由獨立重復試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人選修物理的概率為P＝C＝. (2)ξ的所有可能值為1，2，3， P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝； P(ξ＝3)＝＝； 綜上知，ξ的分布列為 ξ

12、1 2 3 P 3.現有4個人去參加春節(jié)聯歡活動，該活動有甲、乙兩個項目可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個項目聯歡，擲出點數為1或2的人去參加甲項目聯歡，擲出點數大于2的人去參加乙項目聯歡． (1)求這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯歡的概率； (2)求這4個人中去參加甲項目聯歡的人數大于去參加乙項目聯歡的人數的概率； (3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙項目聯歡的人數，記ξ＝|X－Y|，求隨機變量ξ的分布列． 解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲項目聯歡的概率為，去參加乙項目聯歡的概率為. 設“這4個人

13、中恰有i人去參加甲項目聯歡”為事件Ai(i＝0，1，2，3，4)， 則P(Ai)＝C·. (1)這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯歡的概率P(A2)＝C＝. (2)設“這4個人中去參加甲項目聯歡的人數大于去參加乙項目聯歡的人數”為事件B，則B＝A3∪A4. 故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C＋C＝. 所以，這4個人中去參加甲項目聯歡的人數大于去參加乙項目聯歡的人數的概率為. (3)ξ的所有可能取值為0，2，4. P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 2 4 P

14、 4.某次飛鏢比賽中，規(guī)定每人至多發(fā)射三鏢．在M處每射中一鏢得3分，在N處每射中一鏢得2分，如果前兩次得分之和超過3分即停止發(fā)射，否則發(fā)射第三鏢．某選手在M處的命中率q1＝0.25，在N處的命中率為q2.該選手選擇先在M處發(fā)射一鏢，以后都在N處發(fā)射，用X表示該選手比賽結束后所得的總分，其分布列為 X 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 (1)求隨機變量X的分布列； (2)試比較該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率與選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率的大?。? 解：(1)設該選手在M處射中為事件A，在N處射中為事件B，則事件

15、A，B相互獨立，且P(A)＝0.25，P()＝0.75，P(B)＝q2，P()＝1－q2. 根據分布列知：當X＝0時， P( )＝P()P()P()＝0.75(1－q2)2＝0.03， 所以1－q2＝0.2，q2＝0.8. 當X＝2時，P1＝P( B＋ B)＝P()P(B)P()＋P()P()P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝0.24， 當X＝3時，P2＝P(A)＝P(A)P()P()＝0.25(1－q2)2＝0.01，當X＝4時， P3＝P(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.75q＝0.48， 當X＝5時，P4＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB) ＝P(A)P()P(B)＋P(A)P(B) ＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 (2)該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為0.48＋0.24＝0.72. 該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為 P(BB＋BB＋BB)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB) ＝2(1－q2)q＋q＝0.896. 所以該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率大． 9