《2020屆高考數(shù)學一輪復習 單元檢測五 平面向量與復數(shù)(提升卷)單元檢測 理(含解析) 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020屆高考數(shù)學一輪復習 單元檢測五 平面向量與復數(shù)(提升卷)單元檢測 理(含解析) 新人教A版(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、單元檢測五 平面向量與復數(shù)(提升卷)
考生注意:
1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共4頁.
2.答卷前,考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應位置上.
3.本次考試時間100分鐘,滿分130分.
4.請在密封線內(nèi)作答,保持試卷清潔完整.
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.若復數(shù)z滿足iz=3+4i,則|z|等于( )
A.1B.2C.D.5
答案 D
解析 因為z==-(3+4i)i=4-3i,
所以|z|==5
2、.
2.若z1=(1+i)2,z2=1-i,則等于( )
A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i
答案 B
解析 ∵z1=(1+i)2=2i,z2=1-i,
∴====-1+i.
3.設平面向量m=(-1,2),n=(2,b),若m∥n,則|m+n|等于( )
A.B.C.D.3
答案 A
解析 由m∥n,m=(-1,2),n=(2,b),得b=-4,
故n=(2,-4),所以m+n=(1,-2),故|m+n|=,故選A.
4.如圖所示,向量=a,=b,=c,點A,B,C在一條直線上,且=-4,則( )
A.c=a+b B.c=a-b
C.c=-a+2
3、b D.c=-a+b
答案 D
解析 c=+=+=+(-)=-=b-a.故選D.
5.設向量a=(x,1),b=(1,-),且a⊥b,則向量a-b與b的夾角為( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 因為a⊥b,所以x-=0,解得x=,所以a=(,1),a-b=(0,4),則cos〈a-b,b〉===-,所以向量a-b與b的夾角為,故選D.
6.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=a1+a2019,且A,B,C三點共線(O為該直線外一點),則S2019等于( )
A.2019B.2020C.D.1010
答案 C
解析 A,B,C三點共線,且=a1+a2019,則
4、a1+a2019=1,所以S2019=(a1+a2019)=,故選C.
7.設a,b是非零向量,則“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 B
解析 由a·b=|a||b|,得cos〈a,b〉=1,所以a∥b;反之,a∥b不能推得cos〈a,b〉=1,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要條件,故選B.
8.如圖,在△ABC中,AB=AC=3,cos∠BAC=,=2,則·的值為( )
A.2B.-2C.3D.-3
答案 B
解析 ·=(+)·=·=·=·(-)=-|
5、|2+·+||2
=-6+1+3=-2,故選B.
9.已知a=(2,cosx),b=(sinx,-1),當x=θ時,函數(shù)f(x)=a·b取得最大值,則sin等于( )
A.B.C.-D.-
答案 D
解析 f(x)=a·b=2sinx-cosx=sin(x-φ),其中sinφ=,cosφ=,θ-φ=2kπ+,k∈Z,解得θ=2kπ++φ,k∈Z,所以sinθ=cosφ=,cosθ=-sinφ=-,所以sin2θ=2sinθcosθ=-,cos2θ=1-2sin2θ=-,所以sin=(sin2θ+cos2θ)=-,故選D.
10.如圖,在△ABC中,D是BC的中點,E,F(xiàn)是AD上的
6、兩個三等分點,·=2,·=-1,則·等于( )
A.5 B.6
C.7 D.8
答案 C
解析 ·=2-2=42-2=2,·=2-2=-1,所以2=1,2=2,因此·=2-2=92-2=7,故選C.
11.(2018·西寧檢測)定義:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ為向量a與b的夾角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,則|a×b|等于( )
A.6 B.-8或8
C.-8 D.8
答案 D
解析 cosθ===-,且θ∈[0,π],則sinθ=,則|a×b|=|a|·|b|sinθ=10×=8,故選D.
12.在△ABC中,=2,過點M的直線分別交射線
7、AB,AC于不同的兩點P,Q,若=m,=n,則mn+m的最小值為( )
A.6B.2C.6D.2
答案 D
解析 由已知易得,=+,
∴=+.
又M,P,Q三點共線,
∴+=1,
∴m=,易知3n-1>0.
mn+m=m(n+1)=·(n+1)
=≥2,
當且僅當m=n=1時取等號.
∴mn+m的最小值為2.
第Ⅱ卷(非選擇題 共70分)
二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)
13.若復數(shù)(a+i)2在復平面內(nèi)對應的點在y軸負半軸上,則實數(shù)a的值是________.
答案 -1
解析 因為復數(shù)(a+i)2=(a2-1)+2ai
8、,
所以其在復平面內(nèi)對應的點的坐標是(a2-1,2a).
又因為該點在y軸負半軸上,
所以有解得a=-1.
14.(2018·石家莊檢測)已知若對任意一個單位向量e,滿足(a+b)·e≤2成立,則a·b的最大值是________.
答案 1
解析 (a+b)·e=|a+b|·|e|cos〈a+b,e〉≤|a+b|≤2,
當且僅當a+b,e同向共線時取等號,設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則(x1+x2)2+(y1+y2)2≤4,a·b=x1x2+y1y2≤+≤×4=1,當且僅當x1=x2,y1=y(tǒng)2時取等號,故a·b的最大值是1.
15.歐拉在1748年給出了著名公式
9、eiθ=cosθ+isinθ(歐拉公式)是數(shù)學中最卓越的公式之一,其中,底數(shù)e=2.71828…,根據(jù)歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ,任何一個復數(shù)z=r(cosθ+isinθ),都可以表示成z=reiθ的形式,我們把這種形式叫做復數(shù)的指數(shù)形式,若復數(shù)z1=,z2=,則復數(shù)z=在復平面內(nèi)對應的點在第________象限.
答案 四
解析 因為z1==2
=1+i,z2==cos+isin=i,
所以z====-i.
復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z(,-1),點Z在第四象限.
16.已知點O為△ABC內(nèi)一點,且滿足++4=0.設△OBC與△ABC的面積分別為S1,S2,則=____
10、__.
答案
解析 設E為AB的中點,連接OE,延長OC到D,使OD=4OC,因為點O為△ABC內(nèi)一點,且滿足++4=0,所以++=0,則點O是△ABD的重心,則E,O,C,D共線,OD∶OE=2∶1,所以OC∶OE=1∶2,則CE∶OE=3∶2,則S1=S△BCE=S△ABC,所以=.
三、解答題(本題共4小題,共50分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(12分)在平面直角坐標系xOy中,點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長;
(2)在平面內(nèi)一點D滿足=-t,若△ACD為直角三角形,且A
11、為直角,試求實數(shù)t的值.
解 (1)由題意得=(3,5),=(-1,1),
故+=(2,6),-=(4,4),
所以|+|=2,|-|=4,
故所求對角線的長分別為2,4.
(2)由題設知=-t=(3+2t,5+t),
故D(3+2t,5+t),
則=(2t+4,t+7).
由△ACD為直角三角形,且A=,
得·=0,
即(2t+4,t+7)·(-1,1)=0,解得t=3.
所以滿足題意的實數(shù)t的值為3.
18.(12分)已知a=(3,-2),b=(2,1),O為坐標原點.
(1)若ma+b與a-2b的夾角為鈍角,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)設=a,=b,求△OAB
12、的面積.
解 (1)∵a=(3,-2),b=(2,1),
∴ma+b=(3m+2,-2m+1),a-2b=(-1,-4),
令(ma+b)·(a-2b)<0,
即-3m-2+8m-4<0,解得m<,
∵當m=-時,ma+b=-a+b,
a-2b與ma+b方向相反,夾角為平角,不合題意.
∴m≠-,
∴若ma+b與a-2b的夾角為鈍角,m的取值范圍為∪.
(2)設∠AOB=θ,△OAB面積為S,
則S=|a|·|b|sinθ,
∵sin2θ=1-cos2θ=1-2,
∴4S2=|a|2|b|2·sin2θ
=|a|2|b|2-(a·b)2
=65-16=49.
∴S
13、=.
19.(13分)如圖,在△OAB中,點P為線段AB上的一個動點(不包含端點),且滿足=λ.
(1)若λ=,用向量,表示;
(2)若||=4,||=3,且∠AOB=60°,求·取值范圍.
解 (1)∵=,∴-=(-),
∴=+,即=+.
(2)∵·=||·||·cos60°=6,=λ(λ>0),
∴-=λ(-),(1+λ)=+λ,
∴=+.
∵=-,
∴·=·(-)
=-2+2+·
===3-.
∵λ>0,∴3-∈(-10,3).
∴·的取值范圍是(-10,3).
20.(13分)已知向量m=,n=,記f(x)=m·n.
(1)若f(x)=1,求cos的
14、值;
(2)在銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC,求f(2A)的取值范圍.
解 (1)f(x)=m·n=sincos+cos2
=sin+cos+
=sin+.
由f(x)=1,得sin=,
所以cos=1-2sin2=.
(2)因為(2a-c)cosB=bcosC,
由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,
所以2sinAcosB=sin(B+C).
因為A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,
所以cosB=.
又0