《導(dǎo)數(shù)與積分》單元復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)說課教案
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1、把握考點(diǎn),層層遞進(jìn),實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)突破 ——淺談一輪復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)與積分》教學(xué)設(shè)計(jì) 在中學(xué)數(shù)學(xué)的新課程中,導(dǎo)數(shù)單元作為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)重要的銜接點(diǎn),顯得格外引人矚目. 導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵豐富了對函數(shù)等問題的研究方法,已經(jīng)成為近幾年全國各地高考數(shù)學(xué)的一大熱點(diǎn). 另外,導(dǎo)數(shù)又具有很強(qiáng)的知識交匯功能,因此在高考中導(dǎo)數(shù)與積分是一個極其重要的內(nèi)容,導(dǎo)數(shù)與積分的復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)之一. 下面,我將從以下三個部分來談?wù)剬?dǎo)數(shù)與積分的復(fù)習(xí). 一、緊扣《說明》要求與考題規(guī)律,以把握考點(diǎn)定教學(xué)應(yīng)對策略 1.《考試說明》的要求 (1)導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 ①了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景. ②通
2、過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. (2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 ①根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)(C為常數(shù)),,,,,的導(dǎo)數(shù). ②能利用下面給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù). (3)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 ①了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次). ②了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件; 會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次);會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次). (4)生活中的優(yōu)化問題
3、 會用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題. (5)定積分與微積分基本定理 ①了解定積分的實(shí)際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念. ②了解微積分基本定理的含義. 從上述不難發(fā)現(xiàn):《考試說明》對導(dǎo)數(shù)的考查,主要以切線方程、函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值為主. 2. 全國卷與湖北卷的聯(lián)系與區(qū)別 全國卷和湖北卷在導(dǎo)數(shù)考查的整體思路上是一樣的:在考查基礎(chǔ)知識的同時,都注重對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查. 導(dǎo)數(shù)的綜合題均作為高考壓軸題的形式出現(xiàn). 全國卷和湖北卷在導(dǎo)數(shù)考查的具體安排上有很區(qū)別: ①以2015年全國卷與湖北卷《考試說明》的對比分析可以發(fā)現(xiàn),全國卷對導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用的
4、考查層次比湖北卷高. ②從近三年高考試卷的內(nèi)容來看,全國卷特別注重對含參函數(shù)的單調(diào)性或圖象的研究,難度較大,而湖北卷僅在解答題三個小問題中的第(1)小問出現(xiàn),主要利用導(dǎo)數(shù)研究不含參函數(shù)的單調(diào)性或最值,為后面的問題作鋪墊;湖北卷注重對積分的考查,而全國卷對此幾乎沒有涉及;全國卷對曲線切線的考查比較頻繁,而湖北卷很少涉及. 考點(diǎn) 全國卷 湖北卷 導(dǎo)數(shù) 能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù); 能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次); 會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次);會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值
5、(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次); 會用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題. 理解求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù); 掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性; 掌握函數(shù)的極值、最值; 理解利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題. 定積分 了解定積分的實(shí)際背景; 了解定積分的基本思想; 了解定積分的概念; 了解微積分基本定理的含義. 了解定積分的概念; 了解定積分基本定理; 了解定積分的簡單應(yīng)用. 3. 近三年全國卷考試特點(diǎn)與命題規(guī)律 (1)試題分布:近三年全國數(shù)學(xué)理科卷Ⅰ中導(dǎo)數(shù)試題分布表: 年份 題號 題型 分值 考查內(nèi)容 2013年 16 填空題 5分 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值. 21 解
6、答題 12分 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線切線問題, 利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性并解決不等式問題. 2014年 11 選擇題 5分 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象解決含參函數(shù)零點(diǎn)問題. 21 解答題 12分 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線切線問題, 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值并證明不等式. 2015年 12 選擇題 5分 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象并解決不等式的有解問題 21 解答題 12分 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線切線問題, 利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的圖象并討論函數(shù)零點(diǎn)個數(shù). (2)試題特點(diǎn): ①從導(dǎo)數(shù)在高考中的地位來看, 幾乎每年一道大題和一道小題, 分值17分
7、,約占11.3%,并且試題難度較大. ②從考查的內(nèi)容來看,考查的熱點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明不等式、研究函數(shù)的圖象,研究函數(shù)的零點(diǎn),或利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題. 從全國卷《考試說明》對導(dǎo)數(shù)的要求以及近幾年全國卷的命題重點(diǎn)來看,無論是小題還是大題,導(dǎo)數(shù)與不等式等知識的交匯與綜合往往作為高考卷的把關(guān)題或壓軸題,一般有較大難度,但是我們對這類題進(jìn)行分析后不難發(fā)現(xiàn),在這類試題中,導(dǎo)數(shù)只不過是一種工具,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)(特別是含參函數(shù))的單調(diào)性、極值、最值、圖象的工具,真正的難點(diǎn)是將這類試題中的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、圖象的問題. 所以函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、
8、圖象的問題是導(dǎo)數(shù)與積分單元復(fù)習(xí)中的重點(diǎn),導(dǎo)數(shù)與不等式、方程等知識的綜合是復(fù)習(xí)中的難點(diǎn). 二、緊繞復(fù)習(xí)計(jì)劃與教學(xué)目標(biāo),以層層遞進(jìn)促課堂教學(xué)高效 1. 教材分析 “導(dǎo)數(shù)與積分”是高中數(shù)學(xué)人教A版教材選修2-2第一章的內(nèi)容,是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn),題型既有靈活多變的客觀性試題,又有具有一定能力要求的主觀性試題,這要求在復(fù)習(xí)時要掌握基本題型的解法,樹立利用導(dǎo)數(shù)處理問題的意識. 2. 學(xué)情分析 高三學(xué)生已經(jīng)具備分析理解常見函數(shù)的性質(zhì)的能力,同時也有通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn). 但在具體問題上,學(xué)生可能比較模糊,還沒有形成解題規(guī)律和處理技巧. 3.教學(xué)目標(biāo) (1) 知識與技能:利
9、用導(dǎo)數(shù)的幾何意義;利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值;解決方程有解及不等式恒成立問題 (2)過程與方法:能夠利用函數(shù)性質(zhì)作圖象,反過來利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)如交點(diǎn)情況,能合理利用數(shù)形結(jié)合解題;學(xué)會利用熟悉的問答過渡到陌生的問題. 4.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性,極值,最值;難點(diǎn)是方程有解及不等式恒成立問題. 5. 教學(xué)計(jì)劃 第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與積分單元分成四個部分,按照層層遞進(jìn)方式,具體安排如下: 第一部分:導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義(1課時), 是本單元的基礎(chǔ)內(nèi)容,高考的熱點(diǎn),但不是難點(diǎn).這部分要求學(xué)生熟練使用求導(dǎo)四則運(yùn)算,能準(zhǔn)確地求出
10、基本函數(shù)和簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),熟練掌握求曲線的切線方程方法的一般步驟. 第二部分:定積分與微積分基本定理(1課時),是本單元的基礎(chǔ)內(nèi)容. 這部分要求學(xué)生了解計(jì)算簡單定積分的一般方法和步驟,了解定積分與曲邊梯形的面積的關(guān)系,了解用微積分基本定理求曲邊梯形的面積或求變速運(yùn)動的路程. 第三部分:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值(2課時),是本單元的重點(diǎn)內(nèi)容. 這部分內(nèi)容要求學(xué)生熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)(特別是含參函數(shù))的單調(diào)性、極值、最值與圖象的一般方法和步驟,掌握對參數(shù)分類討論的技巧. 第四部分:導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及與方程、不等式的綜合(2課時),是本單元的難點(diǎn)內(nèi)容. 這部分內(nèi)容要求學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)
11、與不等式、方程、實(shí)際問題、參數(shù)討論等知識的內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生對常見問題的等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的意識. 5.教學(xué)設(shè)計(jì) 以第三部分《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值》的教學(xué)設(shè)計(jì)為例來闡述“一題多問、 由易到難、層層遞進(jìn)的模式”提高課堂教學(xué)效果. 教學(xué)目的:讓學(xué)生熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)(特別是含參函數(shù))的單調(diào)性、極值、最值以及畫函數(shù)圖象的基本方法、處理技巧. 為了達(dá)到這個教學(xué)目的,我本部分的例題的選擇及其意圖如下: 例1. 已知函數(shù). (1)求的單調(diào)區(qū)間; (2)求的極值; (3)求在區(qū)間上的最大值與最小值. 設(shè)計(jì)意圖:例1主要考查
12、不含參數(shù)的函數(shù)的的單調(diào)性、極值、最值等基礎(chǔ)知識,選 自人教A版數(shù)學(xué)選修2-2第31頁習(xí)題1.3A組第2題第(4)小題. 該題由學(xué)生演板、互 相糾錯,老師補(bǔ)充完善完成,讓學(xué)生加強(qiáng)對求函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的一般方法步驟的掌握,并理解極值與最值的關(guān)系,也為例2問題的處理提供了方法步驟上的參考. 例2.已知函數(shù). (1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求a的的取值范圍; (2)求的單調(diào)區(qū)間與極值; (3)求在上的最大值. 設(shè)計(jì)意圖:例2主要考查含參函數(shù)的的單調(diào)性、極值、最值等基礎(chǔ)知識,問題(1)是函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的變形運(yùn)用,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力,并加深對函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的認(rèn)識
13、;讓學(xué)生認(rèn)識到,問題(2)(3),雖然在例1的基礎(chǔ)上高了一個層次,但是解方法和步驟的整體框架相同,不同的是需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論. 在解答過程中,要讓學(xué)生理解為什么要分類討論,學(xué)會怎樣進(jìn)行分類討論,總結(jié)解題規(guī)律:討論函數(shù)的單調(diào)性就討論含參不等式(或)的解集的情況,求最值的過程就是在討論函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)上比較極值與端點(diǎn)值的大小的過程. 該題是本節(jié)的重點(diǎn)也是難點(diǎn),由老師引導(dǎo)協(xié)助學(xué)生共同完成. 例3.已知函數(shù). (1)當(dāng)時,畫出的大致圖像; (2)討論零點(diǎn)的個數(shù); (3)(備用)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),,討論零點(diǎn)的個數(shù). 設(shè)計(jì)意圖:例3主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性與
14、極值畫出函數(shù)的大致圖象,是在例2的基礎(chǔ)上又上升了一個層次. 該題讓學(xué)生獨(dú)立完成利用導(dǎo)數(shù)研究所給函數(shù)的單調(diào)性、極值的部分. 問題(1)中的函數(shù)不含有參數(shù),問題(2)中的函數(shù)含有參數(shù),既是分別對例1、例2的解題規(guī)律的加強(qiáng)鞏固,又為下一步畫圖象或討論零點(diǎn)個數(shù)做好準(zhǔn)備工作. 問題(3)是今年全國卷21題,主要讓學(xué)生體會本節(jié)內(nèi)容是高考綜合試題的核心,認(rèn)識到掌握了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、圖象的規(guī)律與方法,與導(dǎo)數(shù)有關(guān)綜合試題也就迎刃而解了,減小學(xué)生對高考中導(dǎo)數(shù)壓軸題的畏懼心理. 利用幾何畫板,動態(tài)演示,直觀的感覺參數(shù)的變化對函數(shù)的圖象的影響,幫助學(xué)生更好地理解參數(shù)討論的關(guān)鍵點(diǎn),使探究落到實(shí)處
15、. 以上三個例題針對性強(qiáng),抓住以利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值以及畫函數(shù)圖象為核心內(nèi)容,突出訓(xùn)練,總結(jié)規(guī)律,提煉通法,從而提高學(xué)生的解題能力. 每個例題的三個小問題之間以及三個例題之間均采用了一題多問、由易到難、層層遞進(jìn)的模式.在前一小問題的基礎(chǔ)上處理下一小問題,在前一個例題的層次上處理下一個例題,既總結(jié)了解題方法,又弄清了它們之間的聯(lián)系;既抓住了重點(diǎn),又節(jié)約了時間;既解決了難點(diǎn),又樹立了學(xué)生的信心. 為下一部分導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用打下很好的基礎(chǔ). 三、緊抓常見題型與解題方法,以難點(diǎn)突破助學(xué)生提升能力 題型1:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的
16、切線(可已知切線方程或切點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)的值) 例1.設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求a, b. (2014年全國卷Ⅰ理第21題第1問) 解題方法:必須明確切點(diǎn)的“三重身份”,切點(diǎn)在曲線上,切點(diǎn)在切線上,切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)的值為切線斜率. 題型2:利用微積分基本定理求曲邊梯形的面積 例2. 求由曲線與直線,,所圍成平面圖形的面積. (人教A版數(shù)學(xué)選修2-2第60頁習(xí)題1.7B組第3題.) 解題方法:正確畫出題目中所表示的圖形區(qū)域,由哪些曲邊梯形組成,曲邊梯形在x軸的上方還是下方. 題型3:求單調(diào)區(qū)間、極值或最值(或已知單調(diào)區(qū)間、極值或最值求參數(shù)范圍) 例3.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2
17、012年全國卷理第21題第1問) (2)求函數(shù)的極值; (3)求函數(shù)的最值. 解題方法:若求函數(shù)②單調(diào)區(qū)間只需解不等式(或),若已知單調(diào)性求參數(shù)范圍可轉(zhuǎn)化為(或)在給定區(qū)間上恒成立問題. 求極值問題只需討論方程的根的情況及在每個根的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)情況,已知函數(shù)極值求參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化為討論方程根的分布問題. 求函數(shù)最值問題首先求函數(shù)極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值,再將極值和端點(diǎn)值比較選出最大值和最小值. 難點(diǎn):符號判斷的技巧 ①結(jié)合的根(有時需要觀察出來)與單調(diào)性來確定符號. 如本例中,; ②用放縮法確定的符號,如本例中. 注:當(dāng)時,,,,. 題型4:證明函數(shù)不等式 例4
18、. 證明:.(2014年全國卷Ⅰ理第21題第2問) 解題方法:證明函數(shù)不等式一般思路是構(gòu)造新的函數(shù)并求導(dǎo)判斷其單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值(通常是最值)進(jìn)行證明. 難點(diǎn):若構(gòu)造一個函數(shù)求最值非常麻煩,可以將不等式適當(dāng)變形,構(gòu)造兩個函數(shù),轉(zhuǎn)化其中一個函數(shù)的最小值大于另一函數(shù)的最大值,如本例中將不等式變形為, 構(gòu)造兩個函數(shù),,,其中,. 題型5:方程有解(或方程解的個數(shù),函數(shù)有零點(diǎn),函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù))求參數(shù)范圍 例5. 若關(guān)于x的方程有解,求k的取值范圍. 解題方法:對于方程在某區(qū)間上根的個數(shù)一般利用構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性和極值,再根據(jù)單調(diào)性和極值畫出函數(shù)圖象利用圖象法求
19、解. 構(gòu)造函數(shù)時可以構(gòu)造一個函數(shù)也可以構(gòu)造一對函數(shù). 如本例中,若方程變形為,可以轉(zhuǎn)化為與x軸有交點(diǎn); 若方程變形為,也可以轉(zhuǎn)化為與直線有交點(diǎn); 若方程變形,還可轉(zhuǎn)化為與直線有交點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為相切問題. 題型6:不等式恒成立(或有解)求參數(shù)范圍 例6:若當(dāng), 且時,,求k的取值范圍. (2011年全國卷理第21題第2問) 解題方法:函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題一般思路為構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題. 構(gòu)造函數(shù)的方法一般有兩種,一種是將不等式變形構(gòu)造含參數(shù)的函數(shù),另一種是分離參數(shù)構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù),對于第一種構(gòu)造的函數(shù),需要利用逐段篩選討論法求解,有時可取未知數(shù)的特殊值來縮小參數(shù)的范圍
20、,減少討論的情況. 難點(diǎn):構(gòu)造函數(shù)有講究:將不等式適當(dāng)變形,構(gòu)造便于研究單調(diào)性的函數(shù) 若不等式變形為,可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)得 ,單調(diào)性不容易研究; 若不等式變形為,可構(gòu)造函數(shù). 可取一些求知數(shù)x的值代入去縮小參數(shù)k的范圍,如取,得 ,接下來只需要在的范圍內(nèi)去討論的單調(diào)性. 四.且行且思,對導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)思考 1.把握高考動態(tài),夯實(shí)基礎(chǔ)知識: 緊扣教材,準(zhǔn)確把握概念、法則,夯實(shí)學(xué)生解題的規(guī)范性;總結(jié)高考規(guī)律,明確考點(diǎn)要求,抓主線,攻重點(diǎn),求突破. 2.總結(jié)解題規(guī)律,熟悉常見轉(zhuǎn)化 總結(jié)解題規(guī)律是找到一類題的解題方法、答題規(guī)律,從而提高解題效率;熟悉常見轉(zhuǎn)化,就能把不熟悉的問題
21、轉(zhuǎn)化為比較熟悉的問題,從而運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗(yàn)解決新問題. 3.滲透思想方法,注重知識交匯 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,在教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,能提高教學(xué)效果,更能提高學(xué)生構(gòu)造函數(shù)能力、畫圖、看圖、用圖能力等解題能力. 注意導(dǎo)數(shù)知識與其它章節(jié)的聯(lián)系,對于知識的交匯問題,重點(diǎn)放在邏輯思維、推理能力的培養(yǎng)上,盡量減少繁雜運(yùn)算. 4.針對學(xué)生水平,落實(shí)查缺補(bǔ)漏 對于學(xué)生導(dǎo)數(shù)內(nèi)容掌握欠缺的方面,教師要加以提醒、點(diǎn)撥,使學(xué)生的思考能走向深入;對于學(xué)生出現(xiàn)的錯誤,教師應(yīng)及時糾正,并幫助學(xué)生分析錯誤的原因,從而達(dá)到易錯不錯,錯過不再錯的目的. 總之,一輪復(fù)習(xí)是高考備考的關(guān)鍵. 把握考點(diǎn),才能有的放矢; 層層遞進(jìn),才能個個擊破; 突破難點(diǎn),才能沖刺高分. 8
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