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第八章數(shù)學思想方法8.4轉(zhuǎn)化思想,中考數(shù)學(浙江專用),1.(2015山西,5,3分)我們解一元二次方程3x2-6x=0時,可以運用因式分解法,將此方程化為3x(x-2)=0,從而得到兩個一元一次方程3x=0或x-2=0,進而得到原方程的解為x1=0,x2=2.這種解法體現(xiàn)的數(shù)學思想是()A.轉(zhuǎn)化思想B.函數(shù)思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.公理化思想,好題精練,答案A將高次方程問題轉(zhuǎn)化為低次方程問題求解,將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題求解,將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題求解,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,故選A.,2.如圖,在大長方形ABCD中,放入六個相同的小長方形,則圖中陰影部分面積為()A.16B.44C.93D.140,答案B設小長方形的寬和長分別為x,y則由圖形得解得則陰影部分面積為1410-628=140-96=44.,3.設m2+m-1=0,則代數(shù)式m3+2m2+2017的值為()A.2016B.2017C.2018D.2020,答案C∵m2+m-1=0,∴m2+m=1,則m3+2m2+2017=m(m2+m)+m2+2017=m2+m+2017=1+2017=2018.,4.如圖,△ABC經(jīng)過平移后得到△ABC,若四邊形ACDA的面積為6cm2,則陰影部分的面積為cm2.,答案6,解析由平移性質(zhì)可得,△ABC的面積等于△ABC的面積,∴陰影部分的面積等于四邊形ACDA的面積,為6cm2.,5.如圖是一個三級臺階,它的每一級的長、寬、高分別為55寸、10寸和6寸,A和B是這個臺階的兩個相對端點,A點處有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物,則它所走的最短路線的長度是寸.,答案73,解析將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,展開后變?yōu)殚L方形,根據(jù)題意得,∠C=90,BC=3(10+6)=48,∴AB===73.,6.(2014浙江舟山,15)三個同學對問題“若方程組的解是求方程組的解.”提出各自的想法.甲說:“這個題目好像條件不夠,不能求解”;乙說:“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律,可以試試”;丙說:“能不能把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以5,通過換元的方法來解決.”參考他們的討論,你認為這個題目的解應該是.,答案,解析將原方程組變形為則∴,7.(2018陜西,25,12分)問題提出(1)如圖①,在△ABC中,∠A=120,AB=AC=5,則△ABC的外接圓半徑R的值為.問題探究(2)如圖②,☉O的半徑為13,弦AB=24,M是AB的中點,P是☉O上一動點,求PM的最大值.問題解決(3)如圖③所示,AB、AC、是某新區(qū)的三條規(guī)劃路,其中,AB=6km,AC=3km,∠BAC=60,所對的圓心角為60.新區(qū)管委會想在路邊建物資總站點P,在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F,也就是,分別在、線段AB和AC上選取點P、E、F.由于總站工作人員每天都要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸,因此,要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、EF和FP.為了快捷、環(huán)保和節(jié)約成本,要使得線段PE、EF、FP之和最短,試求PE+EF+FP的最小值.(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計),解析(1)5(2分)詳解:如圖,設O是△ABC的外接圓的圓心,∴OA=OB=OC,又AB=AC,∴△AOB≌△AOC,∴∠BAO=∠CAO,∵∠BAC=120,∴∠BAO=60,∴△ABO是等邊三角形,∴AB=OA=OB=5.即△ABC的外接圓半徑R的值為5.(2)如圖,連接MO,并延長與☉O相交于點P,連接OA,OP.,∵M是弦AB的中點,∴OM⊥AB,AM=AB=12.在Rt△AOM中,OM==5.(4分)∵PM≤OM+OP=OM+OP=MP=18,∴當點P運動到P時,PM取得最大值,為18.(5分)(3)如圖,設P為上任意一點,分別作點P關于直線AB、AC的對稱點P1、P2,連接P1P2,分別與AB、AC相交于點E、F,連接PE,PF,,∴△PEF的周長=P1E+EF+P2F=P1P2,對于點P及分別在AB、AC上的任意點E、F,有△PEF的周長≥△PEF的周長=P1P2.即△PEF周長的最小值為P1P2的長.(7分)連接AP1,AP,AP2,則AP1=AP=AP2,∠P1AB=∠PAB,∠P2AC=∠PAC,∴∠P1AP2=2∠BAC=120,∴P1P2=AP1=AP.(8分)∴要使P1P2最短,只要AP最短即可.設O為所在圓的圓心,連接OB、OC、OP、OA,且OA與相交于點P,則AP+PO≥AO.∴AP≥AP.(9分)連接BC,易證△ACB為直角三角形,且∠ABC=30,∠ACB=90,∴BC=ACtan60=3km.∵∠BOC=60,OB=OC,∴BO=BC=3km,∠OBC=60,∠ABO=∠ABC+∠OBC=90.,在Rt△ABO中,AO===3km.(11分)∴AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km.∴P1P2的最小值為AP=(3-9)km.∴PE+EF+FP的最小值為(3-9)km.(12分),思路分析(1)設O是△ABC的外接圓的圓心,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)和圓的半徑相等可證△ABO是等邊三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)當PM⊥AB時,PM有最大值,根據(jù)垂徑定理可得AM=AB=12,再根據(jù)勾股定理求得OM=5,進而由PM≤OM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3)分別以AB、AC所在的直線為對稱軸,作出P關于AB的對稱點為P1,關于AC的對稱點為P2,易得△PEF的周長為P1P2的長,根據(jù)P1P2=AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA與交于點P,此時使得線段PE、EF、FP之和最短,然后先判定△ABC為直角三角形,求出BC的長,在Rt△ABO中由勾股定理求出AO的長,進而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值.,難點分析本題難點在于第(3)問如何確定P點的位置及何時PE+EF+FP取得最小值.讀懂題目信息也就明確了可以利用軸對稱確定最短路線問題,同時結(jié)合圓半徑和線段OA的長度求出AP的最小值.,