《2023屆高考一輪復習導與練 (必修第一冊) 第四章第4節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質 講義》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2023屆高考一輪復習導與練 (必修第一冊) 第四章第4節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質 講義（21頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第4節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質 1.能畫出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象,了解三角函數(shù)的周期性. 2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(如單調性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等),理解正切函數(shù)在區(qū)間(-π2,π2)內的單調性. 1.用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖 正弦函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π]圖象的五個關鍵點是(0,0),(π2,1), (π,0),(3π2,-1),(2π,0). 余弦函數(shù)y=cos x,x∈[0,2π]圖象的五個關鍵點是(0,1),(π2,0), (π,-1),(3π2,0),(2π,1).

2、 2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 定義域 R R {x|x≠kπ+π2, k∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 單調性 遞增區(qū)間:[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z), 遞減區(qū)間:[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z) 遞增區(qū)間: [2kπ-π,2kπ] (k∈Z), 遞減區(qū)間: [2kπ,2kπ+π] (k∈Z) 遞增區(qū)間: (π-π2,kπ+π2)(k∈Z) 奇偶 性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱性 對稱中心 (kπ,0

3、)(k∈Z) 對稱中心 (kπ+π2,0) (k∈Z) 對稱中心 (kπ2,0)(k∈Z) 對稱軸 x=kπ+π2 (k∈Z) 對稱軸 x=kπ(k∈Z) 周期性 2π 2π π 1.對稱性與周期 (1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是14個周期. (2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期. 2.要注意求函數(shù)y=Asin(ωx+)的單調區(qū)間時A和ω的符號,盡量化成ω>0,避免出現(xiàn)增減區(qū)間混淆的情況. 3.對于y=tan x不能認為其在定義域上為增函數(shù),而是在每個區(qū)間(kπ

4、-π2,kπ+π2)(k∈Z)內為增函數(shù). 1.若函數(shù)y=2sin 2x+1的最小正周期為T,最大值為A,則(　A　) A.T=π,A=3 B.T=2π,A=3 C.T=π,A=2 D.T=2π,A=2 解析:最小正周期T=2π2=π,最大值A=2+1=3.故選A. 2.下列函數(shù)中最小正周期為π且圖象關于直線x=π3對稱的是(　B　) A.y=2sin(2x+π3) B.y=2sin(2x-π6) C.y=2sin(x2+π3) D.y=2sin(2x-π3) 解析:函數(shù)y=2sin(2x-π6)的周期T=2π2=π, 又sin(2×π3-π6)=1,所以函數(shù)y=2sin

5、(2x-π6)的圖象關于直線x=π3對稱.故選B. 3.(多選題)已知函數(shù)f(x)=sin(x-π2)(x∈R),則下列結論正確的是(　ABC　) A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2π B.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上是增函數(shù) C.函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=0對稱 D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 解析:由題意,可得f(x)=-cos x, 對于選項A,T=2π1=2π,所以選項A正確; 對于選項B,y=cos x在[0,π2]上是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上是增函數(shù),所以選項B正確; 對于選項C,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),所以函數(shù)是

6、偶函數(shù),所以其圖象關于直線x=0對稱,所以選項C正確,選項D錯誤.故選ABC. 4.(必修第一冊P207練習T5改編)函數(shù)y=cos(π4-2x)的單調遞減區(qū)間為　　　　.? 解析:由y=cos(π4-2x)=cos(2x-π4), 得2kπ≤2x-π4≤2kπ+π(k∈Z), 解得kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k∈Z), 所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z). 答案:[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z) 5.已知函數(shù)f(x)=2asin(2x+π6)+a+b(a<0)的定義域為[0,π2],值域為[-5,1],則a+b=　　　　.? 解析:因為x∈

7、[0,π2],所以2x+π6∈[π6,7π6], 所以sin(2x+π6)∈[-12,1]. 因為a<0,所以f(x)∈[3a+b,b]. 因為函數(shù)的值域為[-5,1],所以3a+b=-5,b=1,所以a=-2,所以a+b=-1. 答案:-1 三角函數(shù)的定義域、值域 1.函數(shù)f(x)=-2tan(2x+π6)定義域是(　D　) A.{xx≠π6} B.{xx≠-π12} C.{xx≠kπ+π6,k∈Z} D.{xx≠kπ2+π6,k∈Z} 解析:由2x+π6≠π2+kπ,k∈Z,得x≠π6+kπ2,k∈Z.故選D. 2.函數(shù)y=2sin(πx6-π3)(0≤x≤9

8、)的最大值與最小值之和為(　A　) A.2-3 B.0 C.-1 D.-1-3 解析:因為0≤x≤9,所以-π3≤πx6-π3≤7π6, 所以sin(πx6-π3)∈[-32,1]. 所以y∈[-3,2],所以ymax+ymin=2-3.故選A. 3.函數(shù)y=sinx-cosx的定義域為　　　　.? 解析:法一　要使函數(shù)有意義,必須使sin x-cos x≥0.在同一平面直角坐標系中畫出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的圖象,如圖所示. 在[0,2π]內,滿足sin x=cos x的x的值為π4,5π4,再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π,所以函數(shù)y=sinx-

9、cosx的定義域為{x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z}. 法二　sin x-cos x=2sin(x-π4)≥0,將x-π4視為一個整體,由正弦函數(shù)y=sin x的圖象和性質可知2kπ≤x-π4≤π+2kπ,k∈Z,解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z.所以函數(shù)y=sinx-cosx的定義域為{x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z}. 答案:{x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z} 4.函數(shù)y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的值域為　　　　.? 解析:設t=sin x-cos x, 則t2=sin2x+cos2x-2sin

10、xcos x, 即sin xcos x=1-t22,且-1≤t≤2. 所以y=-t22+t+12=-12(t-1)2+1. 當t=1時,ymax=1;當t=-1時,ymin=-1. 所以函數(shù)的值域為[-1,1]. 答案:[-1,1] 1.求三角函數(shù)的定義域實際上就是解簡單的三角不等式,常借助于三角函數(shù)圖象來求解. 2.求三角函數(shù)的值域(最值)的常見題型及求解策略: (1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+)+k的形式,再求最值(值域); (2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),可先設sin x=t,化為關于t的二次函數(shù)

11、求值域(最值); (3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函數(shù),可先設t=sin x±cos x,化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值). 三角函數(shù)的單調性 (1)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是減函數(shù),則a的最大值是(　　) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)函數(shù)f(x)=sin(-2x+π3)的單調遞減區(qū)間為　　　　.? 解析:(1)f(x)=cos x-sin x=2cos(x+π4), 由題意得a>0,故-a+π4<π4, 因為f(x)=2cos(x+π4)在[-a,a]上是減函數(shù), 所以-a+

12、π4≥0,a+π4≤π,a>0,解得00,ω>0)的單調區(qū)間時,要視“ωx+”為一

13、個整體,通過解不等式求解.但如果ω<0,可借助誘導公式將ω化為正數(shù),防止把單調性弄錯. (2)已知三角函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調區(qū)間,然后利用集合間的關系求解. [針對訓練] 1.函數(shù)f(x)=tan(2x-π3)的單調遞增區(qū)間是(　　) A.[kπ2-π12,kπ2+5π12](k∈Z) B.(kπ2-π12,kπ2+5π12)(k∈Z) C.(kπ+π6,kπ+2π3)(k∈Z) D.[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z) 解析:由kπ-π2<2x-π3

14、n(2x-π3)的單調遞增區(qū)間為 (kπ2-π12,kπ2+5π12)(k∈Z).故選B. 2.若函數(shù)f(x)=7sin(x+π10)在區(qū)間[π2,a]上單調,則實數(shù)a的最大值為　　　　.? 解析:因為x∈[π2,a],所以(x+π10)∈[π2+π10,a+π10],注意到π2+π10在y= sin x的單調遞減區(qū)間[π2,3π2]內,所以a+π10≤3π2,所以a≤7π5,所以a的最大值為7π5. 答案:7π5 三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性 　三角函數(shù)的周期性與奇偶性 下列函數(shù)中,最小正周期為π且圖象關于原點對稱的函數(shù)是　　　　.(填序號)? ①y=cos(2x+

15、π2);②y=sin(2x+π2);③y=sin 2x+cos 2x;④y=sin x+cos x. 解析:y=cos(2x+π2)=-sin 2x,最小正周期T=2π2=π,且為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,故①正確; y=sin(2x+π2)=cos 2x,最小正周期為π,且為偶函數(shù),其圖象關于y軸對稱,故②不正確; ③,④均為非奇非偶函數(shù),其圖象不關于原點對稱,故③,④不正確. 答案:① (1)若f(x)=Asin(ωx+)(A,ω≠0),則 ①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是=π2+kπ(k∈Z); ②f(x)為奇函數(shù)的充要條件是=kπ(k∈Z). (2)函數(shù)y=Asin

16、(ωx+)與y=Acos(ωx+)的最小正周期T=2π|ω|,y=Atan(ωx+)的最小正周期T=π|ω|. 　三角函數(shù)圖象的對稱性 (1)已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的一條對稱軸為直線x=π3,一個對稱中心為點(π12,0),則ω有(　　) A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 (2)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期為4π,則該函數(shù)的圖象(　　) A.關于點(π3,0)對稱 B.關于點(5π3,0)對稱 C.關于直線x=π3對稱 D.關于直線x=5π3對稱 解析:(1)因為函數(shù)的中心到對稱軸的最短距離是T

17、4,兩條對稱軸間的最短距離是T2,所以,對稱中心(π12,0)到對稱軸x=π3間的距離用周期可表示為π3-π12≥T4,又因為T=2πω,所以2πω4≤π4,所以ω≥2,所以ω有最小值2.故選A. (2)因為函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期為4π,而T=2πω=4π,所以ω=12, 即f(x)=2sin(x2+π6). 令x2+π6=π2+kπ(k∈Z),解得x=2π3+2kπ(k∈Z), 故f(x)的對稱軸為直線x=2π3+2kπ(k∈Z). 令x2+π6=kπ(k∈Z),解得x=-π3+2kπ(k∈Z), 故f(x)的對稱中心為(-π3+2kπ,0)(

18、k∈Z),對比選項可知B正確.故 選B. (1)對于可化為f(x)=Asin(ωx+)形式的函數(shù),如果求f(x)的對稱軸,只需令ωx+=π2+kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的對稱中心的橫坐標,只需令ωx+=kπ(k∈Z),求x即可. (2)對于可化為f(x)=Acos(ωx+)形式的函數(shù),如果求f(x)的對稱軸,只需令ωx+=kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的對稱中心的橫坐標,只需令ωx+=π2+kπ(k∈Z),求x即可. [針對訓練] 1.在函數(shù)①y=cos |2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x+π6),④y=tan(2x-π4)中,最小正周期

19、為π的所有函數(shù)為(　　) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 解析:①y=cos |2x|=cos 2x,最小正周期為π; ②由函數(shù)圖象知y=|cos x|的最小正周期為π; ③y=cos(2x+π6)的最小正周期T=2π2=π; ④y=tan(2x-π4)的最小正周期T=π2.故選A. 2.若函數(shù)f(x)=asin ωx+bcos ωx(0<ω<5,ab≠0)的圖象的一條對稱軸方程是x=π4ω,函數(shù)f′(x)的圖象的一個對稱中心是(π8,0),則f(x)的最小正周期是　　　　.? 解析:由題設可知,有f(π4ω)=±a2+b2, 即22(a+b)=±a2+b2,由

20、此得到a=b. 又f′(π8)=0,所以aω(cosωπ8-sinωπ8)=0, 從而tan ωπ8=1,ωπ8=kπ+π4,k∈Z, 即ω=8k+2,k∈Z, 而0<ω<5,所以ω=2,于是f(x)=a(sin 2x+cos 2x) =2asin(2x+π4),故f(x)的最小正周期是π. 答案:π 函數(shù)f(x)=3sin(2x-π6)在區(qū)間[0,π2]上的值域為(　　) A.[-32,32] B.[-32,3] C.[-332,332] D.[-332,3] 解析:因為x∈[0,π2], 所以2x-π6∈[-π6,5π6], 所以sin(2x-π6)∈[-1

21、2,1], 所以3sin(2x-π6)∈[-32,3], 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上的值域是[-32,3].故選B. 函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos(π2-x)的最大值為(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:因為f(x)=cos 2x+6cos(π2-x)=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+ 6sin x=-2(sin x-32)2+112, 又sin x∈[-1,1],所以當sin x=1時,f(x)取得最大值5.故選B. 函數(shù)y=lg(sin 2x)+9-x2的定義域為　　　　.? 解析:由sin2x>0,9-x2≥0,得kπ

22、

23、合運用練 應用創(chuàng)新練 三角函數(shù)的定義域與值域 1,2, 12 三角函數(shù)的單調性 4,5,8 三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性 3,6,7,9 10,11,13 16 綜合問題 14,15 1.函數(shù)y=tan(π4-x)的定義域是(　D　) A.{xx≠π4} B.{xx≠-π4} C.{xx≠kπ+π4,k∈Z} D.{xx≠kπ+3π4,k∈Z} 解析:y=tan(π4-x)=-tan(x-π4),由x-π4≠π2+kπ,k∈Z,得x≠kπ+3π4,k∈Z.故選D. 2.若函數(shù)f(x)=cos(ωx-π3) (ω>0)的最小正周期

24、為π2,則f(x)在[0,π4]上的值域為(　B　) A.[-32,12] B.[-12,1] C.[-32,1] D.[ 12,1] 解析:因為T=2πω=π2,所以ω=4, f(x)=cos(4x-π3). 因為x∈[0,π4],所以4x-π3∈[-π3,2π3], 所以-12≤f(x)=cos(4x-π3)≤1, 所以f(x)∈[-12,1].故選B. 3.(多選題)已知函數(shù)f(x)=32sin 2x-12cos 2x,則下列判斷正確的是(　AC　) A.關于直線x=π3對稱 B.關于直線x=π6對稱 C.關于點(π12,0)對稱 D.關于點(π3,0)對稱 解

25、析:f(x)=32sin 2x-12cos 2x=sin(2x-π6),則f(π3)=sin(2×π3-π6)= sin π2=1,即函數(shù)關于直線x=π3對稱,故A正確,D錯誤;f(π6)=sin(2× π6-π6)=sin π6=12,則函數(shù)不關于直線x=π6對稱,故B錯誤;f(π12)=sin(2× π12-π6)=0,即f(x)關于點(π12,0)對稱,故C正確.故選AC. 4.函數(shù)y=2sin(π6-2x) (x∈[0,π])的單調遞增區(qū)間是(　C　) A.[0,π3] B.[ π12,7π12] C.[ π3,5π6] D.[ 5π6,π] 解析:因為y=2sin(π6

26、-2x)=-2sin(2x-π6),由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ,k∈Z,即函數(shù)在R上的單調遞增區(qū)間為[π3+kπ,5π6+kπ],k∈Z,所以函數(shù)在[0,π]上的單調遞增區(qū)間為[π3,5π6].故選C. 5.函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)的圖象向右平移π12個單位長度得到函數(shù)y=g(x)的圖象,并且函數(shù)g(x)在區(qū)間[π6,π3]上單調遞增,在區(qū)間[π3,π2]上單調遞減,則實數(shù)ω的值為(　C　) A.74 B.32 C.2 D.54 解析:因為將函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)的圖象向右平移π12個單位長度得到函數(shù)y=

27、g(x)的圖象,所以g(x)=sin ω(x-π12),又函數(shù)g(x)在區(qū)間[π6,π3]上單調遞增,在區(qū)間[π3,π2]上單調遞減,所以g(π3)=sin ωπ4=1且2πω≥π3,所以ω=8k+2(k∈Z),0<ω≤6, 所以ω=2.故選C. 6.設函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)在[-π,π]上的圖象大致如圖,則f(x)的最小正周期為(　C　) A.10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2 解析:由圖可得,函數(shù)圖象過點(-4π9,0), 將它代入函數(shù)f(x)可得cos(-4π9·ω+π6)=0, 又(-4π9,0)是函數(shù)f(x)圖象與x軸負半軸的第一個交點,所以-4π

28、9·ω+π6=-π2,解得ω=32, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2πω=2π32=4π3.故選C. 7.已知函數(shù)f(x)=sin x+acos x的圖象關于直線x=5π3對稱,則實數(shù)a的值為　　　　.? 解析:由x=5π3是f(x)圖象的對稱軸, 可得f(0)=f(10π3),即sin 0+acos 0=sin 10π3+acos 10π3,解得a=-33. 答案:-33 8.若函數(shù)f(x)=sin ωx(0<ω<2)在區(qū)間[0,π3]上單調遞增,在區(qū)間[π3,π2]上單調遞減,則ω等于　　　　.? 解析:根據(jù)題意知f(x)在x=π3處取得最大值1, 所以sin ωπ3

29、=1,所以ωπ3=2kπ+π2,k∈Z, 即ω=6k+32,k∈Z. 又0<ω<2,所以k=0時,ω=32. 答案:32 9.請寫出一個函數(shù)f(x)=　　　　,使之同時具有如下性質:? ①?x∈R,f(x)=f(4-x),②?x∈R,f(x+4)=f(x). 解析:f(x)關于直線x=2對稱,周期為4,可取f(x)=cos π2x. 答案:cos π2x(答案不唯一) 10.設函數(shù)f(x)=cos(ωx+π3)-1(ω>0),將f(x)圖象上的所有點的橫坐標向右平移π3個單位長度,縱坐標不變,所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為(-π4,-1),則ω的最小值為(　B　) A.27

30、 B.107 C.127 D.227 解析:因為函數(shù)f(x)=cos(ωx+π3)-1(ω>0),將f(x)圖象上的所有點的橫坐標向右平移π3個單位長度,縱坐標不變, 可得函數(shù)y=cos(ωx-ωπ3+π3)-1的圖象, 所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為(-π4,-1),則cos[ω·(-π4)-ωπ3+π3]-1= -1,所以cos[ω·(-π4)-ωπ3+π3]=0,即ω·(-π4)-ωπ3+π3=kπ+π2,即ω=-127k-27,k∈Z,所以ω的最小值為107.故選B. 11 函數(shù)f(x)=Asin(2x+)(||≤π,A>0)的部分圖象如圖所示,則f(x)(　B　)

31、 A.在(-5π12,π12)上是減函數(shù) B.在(-5π12,π12)上是增函數(shù) C.在(π3,5π6)上是減函數(shù) D.在(π3,5π6)上是增函數(shù) 解析:由圖象可知A=2,函數(shù)的圖象過點(π3,0),所以有2sin(2·π3+)= 0?2·π3+=kπ(k∈Z)?=kπ-2π3(k∈Z). 因為||≤π,所以=π3或=-2π3,當=-2π3時,f(x)=2sin(2x-2π3),此時f(0)<0,不符合題意,所以=π3.所以f(x)=2sin(2x+π3). 當x∈(-5π12,π12)時,2x+π3∈(-π2,π2), 所以f(x)單調遞增; 當x∈(π3,5π6)時,2

32、x+π3∈(π,2π), 函數(shù)f(x)不具有單調性.故選B. 12.已知函數(shù)f(x)=2sin x+sin 2x,則f(x)的最小值是　　　　.? 解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x+1)(cos x-12),所以當cos x<12時,函數(shù)f(x)單調遞減,當cos x>12時,函數(shù)f(x)單調遞增,從而得到函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為[2kπ-5π3,2kπ-π3] (k∈Z),函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為[2kπ-π3,2kπ+π3] (k∈Z),所以當x=2kπ-π3,k∈Z時,函數(shù)f(x)取得最小值,此時sin x=-3

33、2,sin 2x=-32,所以f(x)min=2×(-32)-32=-332. 答案:-332 13.關于函數(shù)f(x)=sin x+1sinx有如下四個命題: ①f(x)的圖象關于y軸對稱; ②f(x)的圖象關于原點對稱; ③f(x)的圖象關于直線x=π2對稱; ④f(x)的最小值為2,屬于真命題的序號是　　　　.? 解析:對于命題①,f(π6)=12+2=52,f(-π6)=-12-2=-52,則f(-π6)≠f(π6), 所以,函數(shù)f(x)的圖象不關于y軸對稱,命題①錯誤; 對于命題②,函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠kπ,k∈Z},定義域關于原點對稱, f(-x)=s

34、in(-x)+1sin(-x)=-sin x-1sinx=-(sin x+1sinx)=-f(x), 所以,函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱,命題②正確; 對于命題③,因為f(π2-x)=sin(π2-x)+1sin(π2-x)=cos x+1cosx, f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)=cos x+1cosx,則f(π2-x)=f(π2+x), 所以,函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=π2對稱,命題③正確; 對于命題④,當-π

35、2x+π4). (1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程; (2)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間; (3)當x∈[π4,3π4]時,求函數(shù)f(x)的最大值和最小值. 解:(1)令2x+π4=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π8,k∈Z. 所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程是x=kπ2+π8,k∈Z. (2)令2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z, 得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z. 故函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為[kπ-3π8,kπ+π8],k∈Z. (3)當x∈[π4,3π4]時,3π4≤2x+π4≤7π4, 所以-1≤sin(2x+π4)≤22, 所以-2≤

36、f(x)≤1, 所以當x∈[π4,3π4]時,函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為-2. 15.設函數(shù)f(x)=2sin(2ωx-π6)+m的圖象關于直線x=π對稱,其中0<ω<12. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)若函數(shù)y=f(x)的圖象過點(π,0),求函數(shù)f(x)在[0,3π2]上的值域. 解:(1)由直線x=π是y=f(x)圖象的一條對稱軸,可得sin(2ωπ-π6) =±1, 所以2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z), 即ω=k2+13(k∈Z). 又0<ω<12,所以ω=13, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為3π. (2)由(1)知f(x)=2sin(

37、23x-π6)+m, 因為f(π)=0,所以2sin(2π3-π6)+m=0, 所以m=-2,所以f(x)=2sin(23x-π6)-2, 當0≤x≤3π2時,-π6≤23x-π6≤5π6, 可得-12≤sin(23x-π6)≤1. 所以-3≤f(x)≤0, 故函數(shù)f(x)在[0,3π2]上的值域為[-3,0]. 16.設定義在R上的函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0,-π12<<π2),給出以下四個論斷:①f(x)的最小正周期為π;②f(x)在區(qū)間(-π6,0)上是增函數(shù);③f(x)的圖象關于點(π3,0)對稱;④f(x)的圖象關于直線x=π12對稱.以其中兩個論斷作為

38、條件,另兩個論斷作為結論,寫出你認為正確的一個命題(寫成“p?q”的形式)　 　　　.(用到的論斷都用序號表示)? 解析:若f(x)的最小正周期為π,則ω=2,函數(shù)f(x)=sin(2x+).同時若f(x)的圖象關于直線x=π12對稱,則sin(2×π12+)=±1,又-π12<<π2,所以2×π12+=π2,所以=π3,此時f(x)=sin(2x+π3),②③成立,故①④?②③.若f(x)的最小正周期為π,則ω=2,函數(shù)f(x)=sin(2x+),同時若f(x)的圖象關于點(π3,0)對稱,則2×π3+=kπ,k∈Z,又-π12<<π2,所以=π3,此時f(x)=sin(2x+π3),②④成立,故①③?②④. 答案:①④?②③或①③?②④