《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 第28講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示練習(xí) 文（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 第28講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示練習(xí) 文（含解析）新人教A版（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第28講　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 夯實基礎(chǔ)　【p66】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．了解平面向量的基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示． 2．會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算，理解用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件． 【基礎(chǔ)檢測】 1．下列關(guān)于基底的說法正確的是(　　) ①平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的． A．① B．② C．①③ D．②③ 【解析】零向量與任意向量共線，故零向量不能作為基底中的向量，故②錯，①③正確． 【答案】C

2、 2．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若(a＋b)∥(4b－2a)，則實數(shù)x的值是(　　) A．－2 B．3 C. D．2 【解析】因為a＝(1，1)，b＝(2，x)， 所以a＋b＝(3，1＋x)，4b－2a＝(6，4x－2)． 因為(a＋b)∥(4b－2a)， 所以3(4x－2)－6(1＋x)＝0，解得x＝2.故選D. 【答案】D 3．已知x、y是實數(shù)，向量a，b不共線，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，則x＝________，y＝________． 【解析】由已知得? 【答案】　 4．已知點A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，則平行四邊形AB

3、CD的頂點D的坐標(biāo)為________． 【解析】設(shè)D(x，y)，∵＝， ∴(－1，2)＝(－1－x，－2－y)，∴D(0，－4)． 【答案】(0，－4) 【知識要點】 1．平面向量基本定理 如果e1和e2是一個平面內(nèi)的兩個__不共線__向量，那么對于該平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2．平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj.

4、這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫作向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，把a＝(x，y)叫作向量的坐標(biāo)表示，|a|＝叫作向量a的長度(模)． 3．平面向量坐標(biāo)運算 向量的 加減法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__． 實數(shù)與向量 的積 若a＝(x1，y1)，λ∈R，則λa＝__(λx1，λy1)__． 向量的坐標(biāo) 若起點A(x1，y1)，終點B(x2，y2)，則＝ __(x2－x1，y2－y1)__. 4.兩向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)a

5、＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－y1x2＝0. 典 例 剖 析　【p66】 考點1　向量基本定理及應(yīng)用 (1)在下列向量組中，不能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是(　　) A．e1＝(0，1)，e2＝(1，－6) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－1) C．e1＝(3，－5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝ 【解析】選項A.0×≠1×1，可以作為基底向量． 選項B.×≠2×5，可以作為基底向量． 選項C.3×10≠×6，可以作為基底向量． 選項D.2×＝×，不可以作為基底向量．故選D. 【答案】D (2)已知點

6、O是△ABC內(nèi)的一點，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，設(shè)＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，試用b和c表示a. 【解析】以O(shè)為原點，OC，OB所在的直線為x軸和y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系． 由OA＝2，∠AOx＝120°，所以A(2cos 120°，2sin 120°)， 即A(－1，)，易求B(0，－1)，C(3，0)， 設(shè)＝λ1＋λ2，即(－1，)＝λ1(0，－1)＋λ2(3，0)， 解得∴a＝－b－c. 【小結(jié)】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算． (2)用向量基本定理解決問題的一般

7、思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決． 考點2　向量共線的坐標(biāo)表示及應(yīng)用 (1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點D的坐標(biāo)為________． 【解析】∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB， ∴＝2. 設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)， 則＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)， ＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)， ∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點D的坐標(biāo)為(2，4)． 【答案】(2，4)

8、 (2)已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，則AC與OB(O為坐標(biāo)原點)的交點P的坐標(biāo)為________． 【解析】法一：由O，P，B三點共線，可設(shè)＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4，4λ)． 又＝－＝(－2，6)， 由與共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝， 所以＝＝(3，3)，所以點P的坐標(biāo)為(3，3)． 法二：設(shè)點P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4，4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng). 又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且與共線， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3， 所以點P的坐標(biāo)為(3，3)． 【答案】(3

9、，3) 【小結(jié)】平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略． (1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便． (2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． 考點3　平面向量坐標(biāo)表示與幾何問題 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的上運動．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大

10、值． 【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則A(1，0)，B. 設(shè)∠AOC＝α，則C(cos α，sin α)， 由＝x＋y，得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin， 又α∈， 所以當(dāng)α＝時，x＋y取得最大值2. 【能力提升】 (1)已知＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)(其中a>0，b>0，O是坐標(biāo)原點)，若A、B、C三點共線，則＋的最小值為________． 【解析】＝－＝， ＝－＝， 因為A、B、C三點共線，所以∥， 即2－＝0，所以2a＋b＝1，

11、 所以＋＝ ＝4＋＋ ≥4＋2＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號． 【答案】8 (2)設(shè)兩個向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ、m、α為實數(shù)，若a＝2b，則的取值范圍是(　　) A．[－6，1] B．[4，8] C．[－1，1] D．[－1，6] 【解析】由a＝2b， 知 ∴ 又cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2， ∴－2≤cos2α＋2sin α≤2， ∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2， ∴≤m≤2. ∴＝＝2－∈[－6，1]． 【答案】A 方 法 總 結(jié)　【p67】 1．向量的坐標(biāo)表示

12、主要依據(jù)平面向量的基本定理，平面向量實數(shù)對(x，y)，任何一個平面向量都有唯一的坐標(biāo)表示，但是每一個坐標(biāo)所表示的向量卻不一定唯一．也就是說，向量的坐標(biāo)表示和向量不是一一對應(yīng)的關(guān)系，但和起點為原點的向量是一一對應(yīng)的關(guān)系，即實數(shù)對(x，y)一一對應(yīng),←―→)點A(x，y)． 2．已知向量的始點和終點坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)時，一定要搞清方向，用對應(yīng)的終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo)．本講易忽略點有二：一是易將向量的終點坐標(biāo)誤認為是向量坐標(biāo)；二是向量共線的坐標(biāo)表示易與向量垂直的坐標(biāo)表示混淆． 3．向量的坐標(biāo)表示，實際上是向量的代數(shù)表示，在引入向量的坐標(biāo)表示后，可以使向量運算完全代數(shù)化，把關(guān)于向量的代數(shù)運算與數(shù)量的代數(shù)運算聯(lián)系起來，從而把數(shù)與形緊密結(jié)合起來，這樣很多幾何問題，特別像共線、共點等較難問題的證明，就轉(zhuǎn)化為熟知的數(shù)量運算，也為運用向量坐標(biāo)運算的有關(guān)知識解決一些物理問題提供了一種有效方法． 走 進 高 考　　【p67】 1．(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________． 【解析】2a＋b＝2(1，2)＋(2，－2)＝(4，2)，又∵c∥(2a＋b)，故有4×λ－2×1＝0，∴λ＝. 【答案】 - 6 -