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§5.3 假設(shè)檢驗概述目錄,,,,,§5.3.1 假設(shè)檢驗問題,§5.3.2 參數(shù)假設(shè)檢驗的思想方法,§5.3.3 參數(shù)假設(shè)檢驗的一般步驟,,,,§5.3.4 檢驗的顯著性水平與兩類錯誤,§5.3.5 檢驗的 p 值,§5.3.6 多參數(shù)與非參數(shù)假設(shè)檢驗問題,§5.3 假設(shè)檢驗概述,,統(tǒng)計推斷的另一個主要內(nèi)容是（統(tǒng)計）假設(shè)檢驗，本節(jié)主要介紹參數(shù)假設(shè)檢驗的基本概念和基本思想方法。,例5.3.1 某廠規(guī)定，產(chǎn)品的次品率不超過 1%才能出廠，現(xiàn)有200 件產(chǎn)品準(zhǔn)備出廠，從中隨機抽取 5 件，發(fā)現(xiàn)有次品，試問能否允許這批產(chǎn)品出廠？,,§5.3.1 假設(shè)檢驗問題,為了說明什么是假設(shè)檢驗問題，先看幾個實際例子。,設(shè)這批產(chǎn)品的次品率為 p，問題就是要回答 “ p≤1% ” 是否成立。,例5.3.2 某工廠宣稱已采取大力措施治理廢水污染，根據(jù)經(jīng)驗，廢水中所含某種有毒物質(zhì)的濃度 X（單位:mg/kg）服從正態(tài)分布?，F(xiàn)環(huán)保部門抽測了9個水樣，算得樣本平均值為 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 s = 2.4 ， 以往該廠廢水中有毒物質(zhì)的平均濃度為18.2，試問有毒物質(zhì)的平均濃度有無顯著變化？,,X ~ N( μ,σ2) ，其中μ,σ2均未知，直觀上看，有毒物質(zhì)的平均濃度有所降低，但這種差異也有可能是抽樣的隨機性造成的。問題是要判定有毒物質(zhì)的平均濃度是否還是18.2 mg/kg。,例5.3.3 隨機抽測了60名2015年 1 月出生的嬰兒的體重，希望確定嬰兒的體重 X 是否服從正態(tài)分布。,,問題是要判定 X ~ N( μ,σ2) 是否成立？,上述各例所述問題的共同點是：對總體分布的參數(shù)或總體分布的類型提出假設(shè)，希望通過抽得的樣本信息對“假設(shè)是否成立”進行推斷。這類問題稱為假設(shè)檢驗問題。,,在假設(shè)檢驗問題中，通常把待檢驗的假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè)，記為 H0 ，與之對應(yīng)的假設(shè)則稱為備擇假設(shè)，記為 H1 。在統(tǒng)計學(xué)中這兩個假設(shè)統(tǒng)稱為統(tǒng)計假設(shè)，簡稱假設(shè)。統(tǒng)計假設(shè)通常記為 H0 vs H1。,比如，例5.3.1、例5.3.2和例5.3.3的統(tǒng)計假設(shè)分別為：,例5.3.1 某廠規(guī)定，產(chǎn)品的次品率不超過 1%才能出廠，現(xiàn)有200 件產(chǎn)品準(zhǔn)備出廠，從中隨機抽取 5 件，發(fā)現(xiàn)有次品，試問能否允許這批產(chǎn)品出廠？,,設(shè)這批產(chǎn)品的次品率為 p，問題就是要回答 “ p≤1 %” 是否成立。,統(tǒng)計假設(shè)為 H0：p≤1% vs H1：p＞1%,例5.3.2 某工廠宣稱已采取大力措施治理廢水污染，根據(jù)經(jīng)驗，廢水中所含某種有毒物質(zhì)的濃度 X（單位:mg/kg）服從正態(tài)分布?，F(xiàn)環(huán)保部門抽測了9個水樣，算得樣本平均值為 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 s = 2.4 ， 以往該廠廢水中有毒物質(zhì)的平均濃度為18.2，試問有毒物質(zhì)的平均濃度有無顯著變化？,,X ~ N( μ,σ2) ，其中μ,σ2均未知，直觀上看，有毒物質(zhì)的平均濃度有所降低，但這種差異也有可能是抽樣的隨機性造成的。問題是要判定有毒物質(zhì)的平均濃度是否還是18.2 mg/kg。,統(tǒng)計假設(shè)為 H0：μ = 18.2 vs H1：μ≠18.2,例5.3.3 隨機抽測了60名2015年 1 月出生的嬰兒的體重，希望確定嬰兒的體重 X 是否服從正態(tài)分布。,,問題是要判定 X ~ N( μ,σ2) 是否成立？,統(tǒng)計假設(shè)為 H0：X ~ N( μ,σ2) vs H1：X 不服從正態(tài)分布。,,在假設(shè)檢驗問題中，若總體的分布類型是已知的，未知的只是其中的一個或幾個參數(shù)，統(tǒng)計假設(shè)只與這些未知參數(shù)有關(guān)，我們稱為參數(shù)假設(shè)，相應(yīng)的檢驗稱為參數(shù)假設(shè)檢驗。若總體的分布類型未知，統(tǒng)計假設(shè)是總體分布的類型或某些特征，我們稱此類假設(shè)為非參數(shù)假設(shè)，相應(yīng)的檢驗稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗。,進一步地，在參數(shù)假設(shè)檢驗問題中，總體中可能有多個未知的參數(shù)，有時只對其中某一個參數(shù)提出假設(shè)并進行檢驗，有時需要對多個參數(shù)一起提出一個假設(shè)并進行檢驗，根據(jù)這一區(qū)別，我們可將參數(shù)假設(shè)檢驗細分為單參數(shù)假設(shè)檢驗與多參數(shù)假設(shè)檢驗。,例5.3.1 和例5.3.2 都是參數(shù)假設(shè)檢驗問題，而例 5.3.3 就是一個非參數(shù)假設(shè)檢驗問題。下面重點討論單參數(shù)假設(shè)檢驗問題。,,§5.3.2 參數(shù)假設(shè)檢驗的思想方法,例5.3.1（續(xù)） 某廠規(guī)定，產(chǎn)品的次品率不超過 1%才能出廠，現(xiàn)有 200 件產(chǎn)品準(zhǔn)備出廠，從中隨機抽取 5 件，發(fā)現(xiàn)有次品，試問能否允許這批產(chǎn)品出廠？,解 統(tǒng)計假設(shè)為 H0：p≤1% vs H1：p＞1%,仍用上面的例子來說明假設(shè)檢驗的基本思想方法：,若統(tǒng)計假設(shè) H0成立（即 p≤1 %），則事件A = “任取 5 件中有次品”發(fā)生的概率為,也就是說，如果H0成立，則任取 5 件中有次品的概率很小，現(xiàn)在這種“罕見”的情況發(fā)生了，其根源是假設(shè)了H0成立，因此我們有理由拒絕此假設(shè)，并作出這批產(chǎn)品不能出廠的決定。,上述思路可歸結(jié)為：若假設(shè)H0：p≤1 %成立，看看會推出什么結(jié)果。,若假設(shè) H0 ：μ = μ0= 18.2 成立（即假設(shè)有毒物質(zhì)的濃度無顯著變化），看看會推出什么結(jié)果？,例5.3.2（續(xù)） 某工廠宣稱已采取大力措施治理廢水污染，根據(jù)經(jīng)驗，廢水中所含某種有毒物質(zhì)的濃度 X（單位: mg /kg）服從正態(tài)分布?，F(xiàn)環(huán)保部門抽測了 9 個水樣，算得樣本平均值為 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 s = 2.4 ， 以往該廠廢水中有毒物質(zhì)的平均濃度為 18.2 ， 試問有毒物質(zhì)的平均濃度有無顯著變化？,,解 統(tǒng)計假設(shè)為 H0：μ = 18.2 vs H1：μ≠18.2,設(shè)(X1, X2, … , Xn )為正態(tài)總體的一個樣本， ( x1, x2, … , xn) 是相應(yīng)的樣本觀察值。樣本均值 是未知參數(shù) μ 的無偏估計量， 為相應(yīng)的估計值。我們也許想到用 μ 的估計值 代替μ 來檢驗H0，但由于樣本的隨機性造成的估計誤差使得 幾乎不會真正等于 μ ，所以即使 H0：μ = μ0 為真，由于估計誤差的存在， 也不會真正等于μ0。因而我們不能簡單地根據(jù)是否有 來判斷H0：μ = μ0 是否成立。,,但是，如果H0：μ = μ0 為真，那么 會以很大的概率落在 μ0 附近的一定范圍內(nèi)，而遠離μ0 的概率會很小。 即，只要 d 足夠的大，則 會很小。如果 在一次觀察中出現(xiàn)了，根據(jù)小概率原理（認(rèn)為小概率事件在一次試驗中不會發(fā)生），我們自然有充足的理由否定H0：μ = μ0 ；相反，如果 不成立，則沒有充足的理由否定H0： μ = μ0，也稱不能拒絕假設(shè)H0。,上面的論述事實上提供了解決例5.3.2的方法，具體解決步驟后面再作詳細論述。,從上面的討論可以看出，要實施檢驗（是否拒絕假設(shè) H0 ），首先要確定小概率的大小，這一小概率在假設(shè)檢驗中稱為檢驗的顯著性水平，通常記作α。它是根據(jù)具體問題而需要事先確定的一個很小的正數(shù)，比如0.01, 0.05, 0.10等。其次，對給定的顯著性水平α ，還需要確定一個由樣本所描述的概率不超過顯著性水平α的小概率事件，這一小概率事件對應(yīng)的樣本取值區(qū)域通常稱為假設(shè)檢驗的拒絕域，簡稱拒絕域。最后看樣本觀察值是否落入拒絕域，若樣本觀察值落入拒絕域便可以拒絕H0 ；否則，就不能拒絕H0。,,§5.3.3 參數(shù)假設(shè)檢驗的一般步驟,參數(shù)假設(shè)檢驗的一般步驟可歸納為： 第一步：提出統(tǒng)計假設(shè) H0 vs H1 ； 第二步：選取θ 的一個較優(yōu)的點估計 ，并根據(jù) 給出拒絕域的形式（在 H0 成立前提下）； 第三步：圍繞 構(gòu)建樞軸量并確定其分布； 第四步：對給定的顯著性水平α，確定拒絕域 C 使得 P ( ( X1, X2, … , Xn )∈C | H0)≤α； 第五步：如果( x1, x2, … , xn )∈C ，則在顯著性水平α下拒絕 H0；否則，則不能拒絕 H0。,,§5.3.4 檢驗的顯著性水平與兩類錯誤,在假設(shè)檢驗問題中，由樣本提供的信息來推斷是否 “拒絕假設(shè)H0” 時，用了“小概率原理” ，但小概率事件并非不可能事件，如果零假設(shè)H0 本為真，但因樣本值落入拒絕域而作出了拒絕，這便犯了棄真錯誤，通常稱為第一類錯誤；相反，如果零假設(shè)H0本不成立，卻因樣本值沒有落入拒絕域而作出了不能拒絕，這便犯了納偽錯誤，通常稱為第二類錯誤。,根據(jù)檢驗法則知，當(dāng) H0 成立時，拒絕 H0 的概率小于等于顯著性水平α，這表明犯第一類錯誤的概率至多為α ，從而說明檢驗的顯著性水平α是用以控制犯第一類錯誤的概率的。由此可能會產(chǎn)生一種錯覺，以為只要把顯著性水平α取得越小，假設(shè)檢驗的準(zhǔn)確程度就會越高。事實上不然，因為顯著性水平α只是用來控制犯第一類錯誤的概率，而在假設(shè)檢驗中還存在著犯第二類錯誤的可能性。一般來說，當(dāng)樣本容量 n 給定時，在降低顯著性水平α的同時，拒絕域往往也在變小，從而會增大犯第二類錯誤的可能性。通常的做法是事先給定顯著性水平α來控制犯第一類錯誤的概率，再通過選取較好的檢驗方法盡可能地減少犯第二類錯誤的概率（比如，拒絕域盡可能取大些）。,,§5.3.5 檢驗的 p 值,可以看出，顯著性水平α越小，則相應(yīng)的拒絕域就越小；當(dāng)顯著性水平α取得足夠小時，可以使得樣本值不落在相應(yīng)的拒絕域中，從而在此顯著性水平α下不能拒絕假設(shè)H0。當(dāng)顯著性水平α由上述足夠小的值不斷增大時，相應(yīng)的拒絕域也就越來越大，當(dāng)顯著性水平α大到一定程度時，便可以使得樣本值落入相應(yīng)的拒絕域中，從而在此顯著性水平α下可以拒絕假設(shè)H0。,也就是說，對于一個確定的樣本值，存在一個實數(shù) p（0 ＜ p ＜1），在顯著性水平等于 p 下可以拒絕假設(shè)H0 ，而在小于 p的顯著性水平下不能拒絕假設(shè)H0?？梢?， p 是使得依據(jù)給定樣本值作出“拒絕假設(shè)H0”的最小的顯著性水平，稱之為檢驗的 p 值。,多數(shù)統(tǒng)計軟件都提供 p 值的輸出結(jié)果，人們就不必針對每個顯著性水平α查相應(yīng)分布的下側(cè)分位數(shù)，只要直接比較α與 p 值即可。,,§5.3.6 多參數(shù)與非參數(shù)假設(shè)檢驗問題,前面對單參數(shù)假設(shè)檢驗問題作了比較詳盡的討論，其解決問題的基本思想方法也適用于多參數(shù)假設(shè)檢驗或非參數(shù)假設(shè)檢驗問題，只是在具體細節(jié)上作適當(dāng)調(diào)整即可。為此，僅說明兩點： ⑴ 對于多參數(shù)假設(shè)檢驗問題，需尋求一個包含所有待檢驗參數(shù)的樞軸量，并使之服從或漸近地服從一個已知的確定分布； ⑵非參數(shù)假設(shè)檢驗問題可以近似地化為一個多參數(shù)假設(shè)檢驗問題來解決。,