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第四章,微分法:,積分法:,互逆運算,不定積分,,1,,二、 基本積分表,三、不定積分的性質(zhì),一、 原函數(shù)與不定積分的概念,第一節(jié),不定積分的概念與性質(zhì),第四章,2,一、 原函數(shù)與不定積分的概念,引例: 一個質(zhì)量為 m 的質(zhì)點,,下沿直線運動 ,,因此問題轉(zhuǎn)化為:,已知,求,在變力,試求質(zhì)點的運動速度,根據(jù)牛頓第二定律,,加速度,定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個函數(shù) F (x) 及 f (x),滿足,在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù) .,則稱 F (x) 為f (x),如引例中,,的原函數(shù)有,3,,問題:,1. 在什么條件下, 一個函數(shù)的原函數(shù)存在 ?,2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函數(shù) .,(下章證明),初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),,初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù),4,定理 2.,原函數(shù)都在函數(shù)族,( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .,證: 1),又知,故,它屬于函數(shù)族,即,5,定義 2.,在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為,上的不定積分,,其中,— 積分號;,— 被積函數(shù);,— 被積表達(dá)式.,— 積分變量;,(P185),若,則,( C 為任意常數(shù) ),C 稱為積分常數(shù), 不可丟 !,例如,,記作,6,不定積分的幾何意義:,的原函數(shù)的圖形稱為,的圖形,,的所有積分曲線組成,的平行曲線族.,,,,,,,,,,,,的積分曲線 .,7,例1. 設(shè)曲線通過點(1, 2),,且其上任一點處的切線,斜率等于該點橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程.,解:,所求曲線過點 (1, 2) ,,故有,因此所求曲線為,,8,例2. 質(zhì)點在距地面,處以初速,力, 求它的運動規(guī)律.,解: 取質(zhì)點運動軌跡為坐標(biāo)軸, 原點在地面, 指向朝上 ,,,,質(zhì)點拋出時刻為,此時質(zhì)點位置為,初速為,設(shè)時刻 t 質(zhì)點所在位置為,則,(運動速度),(加速度),,垂直上拋 ,,不計阻,9,先求,由,知,再求,于是所求運動規(guī)律為,由,,知,故,10,二、 基本積分表 (P188),從不定積分定義可知:,或,或,利用逆向思維,( k 為常數(shù)),,11,或,或,12,13,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,14,,三、不定積分的性質(zhì),推論: 若,則,15,例5. 求,解: 原式,16,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,17,例8. 求,解: 原式 =,,18,內(nèi)容小結(jié),1. 不定積分的概念,? 原函數(shù)與不定積分的定義,? 不定積分的性質(zhì),? 基本積分表 (見P188),2. 直接積分法:,利用恒等變形,,,及 基本積分公式進(jìn)行積分 .,常用恒等變形方法,分項積分,加項減項,利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,,積分性質(zhì),19,思考與練習(xí),1. 證明,2. 若,(P193題7),提示:,20,3. 若,是,的原函數(shù) , 則,提示: 已知,21,4. 若,的導(dǎo)函數(shù)為,則,的一個原函數(shù),是 ( ) .,提示: 已知,求,即,B,?,?,或由題意,其原函數(shù)為,22,5. 求下列積分:,提示:,23,6. 求不定積分,解：,24,7. 已知,求 A , B .,解: 等式兩邊對 x 求導(dǎo), 得,,25,作業(yè),P192 2 (5) , (12) , (14) , (20) , (23) , (25) , (26) ; 5 ; 6,第二節(jié),26,