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課時25圓的基本概念及性質(zhì),第六單元圓,中考對接,1.[2017衡陽]如圖25-1,點(diǎn)A,B,C都在☉O上,且點(diǎn)C在弦AB所對的優(yōu)弧上,如果∠AOB=64,那么∠ACB的度數(shù)是()A.26B.30C.32D.64,C,2.[2018張家界]如圖25-2,P是☉O的直徑AB延長線上一點(diǎn),且AB=4,點(diǎn)M為上一個動點(diǎn)(不與A,B重合),射線PM與☉O交于點(diǎn)N(不與M重合).(1)當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時,△MAB的面積最大,并求岀這個最大值.(2)求證:△PAN∽△PMB.,3.[2018湘潭]如圖25-3,AB是以O(shè)為圓心的半圓的直徑,半徑CO⊥AO,點(diǎn)M是上的動點(diǎn),且不與點(diǎn)A,C,B重合,直線AM交直線OC于點(diǎn)D,連接OM與CM.(1)若半圓的半徑為10.①當(dāng)∠AOM=60時,求DM的長;②當(dāng)AM=12時,求DM的長.(2)探究:在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中,∠DMC的大小是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.,3.[2018湘潭]如圖25-3,AB是以O(shè)為圓心的半圓的直徑,半徑CO⊥AO,點(diǎn)M是上的動點(diǎn),且不與點(diǎn)A,C,B重合,直線AM交直線OC于點(diǎn)D,連接OM與CM.(2)探究:在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中,∠DMC的大小是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.,4.[2017永州]如圖25-4,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,點(diǎn)D是的中點(diǎn),點(diǎn)E是上的一點(diǎn),若∠CED=40,則∠ADC=.5.[2016婁底]如圖25-5,四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形,已知∠C=∠D,則AB與CD的位置關(guān)系是.,100,AB∥CD,6.[2017長沙]如圖25-6,AB為☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,已知CD=6,EB=1,則☉O的半徑為.7.[2015長沙]如圖25-7,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C是☉O上的一點(diǎn),若BC=6,AB=10,OD⊥BC于點(diǎn)D,則OD的長為.,5,4,8.[2017永州]小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃鏡打碎了,需要配制一塊同樣大小的玻璃鏡,工人師傅在一塊如圖25-8的玻璃鏡殘片的邊緣描出了點(diǎn)A,B,C,給出三角形ABC,則這塊玻璃鏡的圓心是()A.AB,AC邊上的中線的交點(diǎn)B.AB,AC邊上的垂直平分線的交點(diǎn)C.AB,AC邊上的高所在直線的交點(diǎn)D.∠BAC與∠ABC的平分線的交點(diǎn),B,考點(diǎn)自查,線段,圓心,內(nèi),上,外,圓既是軸對稱圖形,又是對稱圖形.圓有無數(shù)條對稱軸,對稱中心只有一個,即為圓心,圓還是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,具有旋轉(zhuǎn)不變性.,中心,弦,一半,相等,相等,直角,直徑,平分弦,垂直平分線,易錯警示,【失分點(diǎn)】1.對弦、弧、直徑、半圓等概念理解不清;2.計算角度或求線段長度時,如果圖形不確定,那么需要分類討論;3.不能運(yùn)用圓心角、圓周角的關(guān)系解決問題.,1.下列說法錯誤的是()A.直徑相等的兩個圓是等圓B.長度相等的兩條弧是等弧C.圓中最長的弦是直徑D.一條弦把圓分成兩條弧,這兩條弧可能是等弧,B,【答案】C【解析】∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90.∵∠ABC=∠ADC=35,∴∠CAB=55.故選C.,2.[2018鹽城]如圖25-9,AB為☉O的直徑,CD為☉O的弦,∠ADC=35,則∠CAB的度數(shù)為()A.35B.45C.55D.65,圖25-9,3.[2018孝感]已知圓O的半徑為10cm,AB,CD是☉O的兩條弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,則弦AB和CD之間的距離是cm.,例1[2017鹽城]如圖25-10,將☉O沿弦AB折疊,點(diǎn)C在上,點(diǎn)D在上,若∠ACB=70,則∠ADB=.圖25-10,110,[方法模型]運(yùn)用圓心角、弧、弦的關(guān)系時要注意“在同圓或等圓中”的條件,只有在這個條件下,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.,拓展1[2018畢節(jié)]如圖25-11,AB是☉O的直徑,C,D為半圓的三等分點(diǎn),CE⊥AB于點(diǎn)E,則∠ACE的度數(shù)為.圖25-11,相等,例2[2016株洲節(jié)選]如圖25-13,AB是半徑為1的圓O的直徑,C是圓上一點(diǎn),D是BC延長線上一點(diǎn),過點(diǎn)D的直線交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,且△AEF為等邊三角形.求證:△DFB是等腰三角形.圖25-13,證明:∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90.∵△AEF為等邊三角形,∴∠CAB=∠EFA=60,∴∠B=30.∵∠EFA=∠B+∠FDB,∴∠B=∠FDB=30,∴DF=FB,∴△DFB是等腰三角形.,[方法模型]運(yùn)用直徑所對的圓周角是90時,沒有直徑或圓周角時可通過作直線或連線構(gòu)造出直徑或圓周角.,拓展1[2018菏澤]如圖25-14,在☉O中,OC⊥AB,∠ADC=32,則∠OBA的度數(shù)是()圖25-14A.64B.58C.32D.26,【答案】D【解析】∵OC⊥AB,∴弧AC=弧BC.∵∠ADC是弧AC所對的圓周角,∠BOC是弧BC所對的圓心角,∴∠BOC=2∠ADC=64,∴∠OBA=90-∠BOC=90-64=26.故選D.,【答案】15【解析】∵OA=OB,OA=AB,∴OA=OB=AB,即△OAB是等邊三角形,∴∠AOB=60.∵OC⊥OB,∴∠COB=90,∴∠COA=90-60=30,∴∠ABC=15.,拓展4[2018宜昌]如圖25-17,在△ABC中,AB=AC.以AB為直徑的半圓交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.延長AE至點(diǎn)F,使EF=AE,連接FB,FC.(1)求證:四邊形ABFC是菱形.(2)若AD=7,BE=2,求半圓和菱形ABFC的面積.,解:(1)證明:∵AB為半圓的直徑,∴∠AEB=90.∵AB=AC,∴CE=BE.又∵EF=AE,∴四邊形ABFC是平行四邊形.又∵AB=AC(或∠AEB=90),∴平行四邊形ABFC是菱形.,拓展4[2018宜昌]如圖25-17,在△ABC中,AB=AC.以AB為直徑的半圓交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.延長AE至點(diǎn)F,使EF=AE,連接FB,FC.(2)若AD=7,BE=2,求半圓和菱形ABFC的面積.,例3如圖25-18,已知點(diǎn)O是∠EPF的平分線上的一點(diǎn),以O(shè)為圓心的圓和角的兩邊分別交于點(diǎn)A,B和C,D.求證:(1)∠OBA=∠OCD;(2)AB=CD.,證明:(1)如圖,過點(diǎn)O分別作OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分別為M,N.又∵∠EPO=∠FPO,∴OM=ON.在Rt△OMB和Rt△ONC中,OB=OC,OM=ON,∴Rt△OMB≌Rt△ONC(HL),∴∠OBA=∠OCD.,(2)∵Rt△OBM≌Rt△OCN,∴BM=CN.∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=2BM,CD=2CN,∴AB=CD.,[方法模型]垂徑定理的運(yùn)用主要是通過作過圓心的垂線構(gòu)造直角三角形,然后利用勾股定理求解.,C,拓展3[2018樂山]《九章算術(shù)》是我國古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著,代表了東方數(shù)學(xué)的最高成就.它的算法體系至今仍在推動著計算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用.書中記載:“今有圓材埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?”譯為:“今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸這木材,鋸口深1寸(ED=1寸),鋸道長1尺(AB=1尺=10寸),問:這塊圓柱形木材的直徑是多少?”如圖25-21所示,請根據(jù)所學(xué)知識計算:圓柱形木材的直徑AC是()A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸,【答案】C【解析】設(shè)☉O的半徑為r.在Rt△ADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,則有r2=52+(r-1)2,解得r=13,∴☉O的直徑AC為26寸.故選C.,例4[2018南京]如圖25-22,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),連接DE.過點(diǎn)A作AF⊥DE,垂足為F.☉O經(jīng)過點(diǎn)C,D,F,與AD相交于點(diǎn)G.(1)求證:△AFG∽△DFC.(2)若正方形ABCD的邊長為4,AE=1,求☉O的半徑.,解:(1)證明:在正方形ABCD中,∠ADC=90,∴∠CDF+∠ADF=90.∵AF⊥DE,∴∠AFD=90.∴∠GAF+∠ADF=90.∴∠GAF=∠CDF.∵四邊形GFCD是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠FCD+∠DGF=180.又∵∠FGA+∠DGF=180,∴∠FGA=∠FCD.∴△AFG∽△DFC.,例4[2018南京]如圖25-22,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),連接DE.過點(diǎn)A作AF⊥DE,垂足為F.☉O經(jīng)過點(diǎn)C,D,F,與AD相交于點(diǎn)G.(2)若正方形ABCD的邊長為4,AE=1,求☉O的半徑.,[方法模型]圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)主要應(yīng)用是:(1)轉(zhuǎn)移角的位置,從圓內(nèi)移到圓外;(2)根據(jù)互補(bǔ)求角.,拓展1[2018蘇州]如圖25-23,AB是半圓的直徑,O為圓心,C是半圓上的點(diǎn),D是弧AC上的點(diǎn).若∠BOC=40,則∠D的度數(shù)為()圖25-23A.100B.110C.120D.130,【答案】B【解析】∵OC=OB,∠BOC=40,∴∠OBC=70,∴∠D=180-70=110.故選B.,拓展2[2018揚(yáng)州]如圖25-24,已知☉O的半徑為2,△ABC內(nèi)接于☉O,∠ACB=135,則AB=.圖25-24,例5[2018安徽]如圖25-26,☉O為銳角三角形ABC的外接圓,半徑為5.(1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線,并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)若(1)中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3,求弦CE的長.,例5[2018安徽]如圖25-26,☉O為銳角三角形ABC的外接圓,半徑為5.(2)若(1)中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3,求弦CE的長.,[方法模型]三角形的外接圓一般綜合三角形的外心(外接圓的圓心)、圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)等基本知識,其目的是綜合直角三角形或相似三角形的知識,以便求角度及線段的長.,拓展2[2017臺州]如圖25-27,已知等腰直角三角形ABC,點(diǎn)P是斜邊BC上一點(diǎn)(不與B,C重合),PE是△ABP的外接圓☉O的直徑.(1)求證:△APE是等腰直角三角形.(2)若☉O的直徑為2,求PC2+PB2的值.,解:(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,BC是斜邊,∴∠C=∠ABC=45,∴∠PEA=∠ABC=45.又∵PE是☉O的直徑,∴∠PAE=90,∴∠APE=∠PEA=45,∴△APE是等腰直角三角形.(2)∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=AB,同理AP=AE.又∵∠CAB=∠PAE=90,∴∠CAP=∠BAE,∴△CPA≌△BEA,∴CP=BE.在Rt△BPE中,∠PBE=90,PE=2,∴BE2+PB2=PE2,∴PC2+PB2=PE2=4.,