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引言,第三章一元函數(shù)積分學,積分學分為不定積分與定積分兩部分．不定積分是作為函數(shù)導數(shù)的反問題提出的，而定積分是作為微分的無限求和引進的，兩者概念不相同，但在計算上卻有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系．,本章主要研究不定積分和定積分的概念、性質(zhì)及基本積分方法，并揭示二者的聯(lián)系，從而著重論證微積分學核心定理（牛頓萊布尼茨式),解決定積分的計算問題，同時研究定積分在幾何、物理及醫(yī)學等方面的應用，最后簡單研究廣義積分．,本章主要內(nèi)容：第一節(jié)不定積分第二節(jié)不定積分的計算第三節(jié)定積分第四節(jié)定積分的計算第五節(jié)廣義積分,,3.1.1不定積分的概念,3.1.2不定積分的基本公式和運算法則,第一節(jié)不定積分,在小學和中學我們學過逆運算：如：加法的逆運算為減法乘法的逆運算為除法指數(shù)的逆運算為對數(shù),3.1.1不定積分的概念,問題提出,微分法:,積分法:,互逆運算,,定義1若在某一區(qū)間上，F(xiàn)′(x)＝f(x)，則在這個區(qū)間上，函數(shù)F（x）叫做函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)（primitivefunction）,一個函數(shù)的原函數(shù)并不是唯一的，而是有無窮多個．比如，(sinx)′＝cosx所以sinx是cosx的一個原函數(shù)，,而sinx＋C（C可以取任意多的常數(shù)）是cosx的無窮多個原函數(shù)．,一般的，若F′(x)＝f(x),F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則等式[F(x)+C]′＝F′(x)＝f(x)成立（其中C為任意常數(shù)），從而一簇曲線方程F(x)＋C是f(x)無窮多個原函數(shù)．,問題提出,如果一個函數(shù)f(x)在一個區(qū)間有一個原函數(shù)F(x)，那么f(x)就有無窮多個原函數(shù)存在，無窮多個原函數(shù)是否都有一致的表達式F(x)＋C呢？,定理1:若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)都可以表示成F(x)＋C（C為任意常數(shù)）．,思考：如何證明？,YES,定義2：若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)F(x)＋C稱為f(x)的不定積分（indefiniteintegral）,記為∫f（x）dx＝F（x）＋C,例1求函數(shù)f(x)＝３x２的不定積分,例2求函數(shù)f(x)＝１/x的不定積分,由于函數(shù)f(x)的不定積分F(x)＋C中含有任意常數(shù)C，因此對于每一個給定的C，都有一個確定的原函數(shù)，在幾何上，相應地就有一條確定的曲線，稱為f(x)的積分曲線．因為C可以取任意值，因此不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，即F(x)＋C．,二、不定積分的幾何意義,因為F′(x)＝f(x)，這說明，在積分曲線簇的每一條曲線中，對應于同一個橫坐標x＝x０點處有相同的斜率f(x０)，所以對應于這些點處，它們的切線互相平行，任意兩條曲線的縱坐標之間相差一個常數(shù)．因此，積分曲線簇y＝F(x)＋C中每一條曲線都可以由曲線y＝F(x)沿y軸方向上、下移動而得到,二、不定積分的幾何意義,二、不定積分的幾何意義,,,,,,,,,,,,,例3求經(jīng)過點（１，３），且其切線的斜率為２x的曲線方程．,3.1.2不定積分的基本公式和運算法則,一、不定積分的基本公式,由不定積分的定義可知，不定積分就是微分運算的逆運算．因此，有一個導數(shù)或微分公式，就對應地有一個不定積分公式．,基本積分表,(k為常數(shù)),例求,解:原式=,例求,解:原式=,關于不定積分，還有如下等式成立：１［∫f(x)dx］′＝f(x)或d∫f(x)dx＝f(x)dx,∫F′(x)dx＝F(x)＋C或∫dF(x)＝F(x)＋C,二、不定積分的運算法則,１不為零的常數(shù)因子，可移動到積分號前∫af(x)dx＝a∫f(x)dx（a≠０）,２兩個函數(shù)的代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和∫[f(x)g(x)］dx＝f(x)dx∫g(x)dx,例4求,解：原式=,例5求,解：原式,例6求,解：原式=,例7求,解：原式=,本節(jié)給出了不定積分的定義、幾何意義和基本公式及運算法則。,3.1節(jié)課堂練習,3.1節(jié)課堂思考,３.２不定積分的計算利用基本積分公式及不定積分的性質(zhì)直接計算不定積分，有時很困難，因此，需要引進一些方法和技巧。下面介紹不定積分的兩大積分方法:換元積分法與分部積分法,３.２不定積分的計算,3.2.1換元積分法,3.2.4*積分表的使用,3.2.3*有理函數(shù)積分簡介,3.2.2分部積分法,3.2.1換元積分法一、第一類換元積分法（湊微分法）有一些不定積分，將積分變量進行一定的變換后，積分表達式由于引進中間變量而變?yōu)樾碌男问?，而新的積分表達式和新的積分變量可直接由基本積分公式求出不定積分來.,例如,想到基本積分公式,若令u＝４x，把４x看成一個整體（新的積分變量），這個積分可利用基本積分公式算出來,又如,,第一類換元法,則有換元公式,例8求,解：原式=,推廣：,解：,例9求,解：原式=,例10求,解：原式=,例11求,解：原式=,類似可得,二、第二類換元積分法第一類換元積分法是利用湊微分的方法，把一個較復雜的積分化成便于利用基本積分公式的形式，但是，有時不易找出湊微分式，卻可以設法作一個代換x＝φ(t)，而積分∫f(x)dx＝∫f［φ(t)］φ′(t)dt可用基本積分公式求解,定理2設f(x)連續(xù)，x＝φ(t)是單調(diào)可導的連續(xù)函數(shù)，且其導數(shù)φ′(t)≠０，x＝φ(t)的反函數(shù)t＝φ-1(x)存在且可導，并且∫f[φ(t)]φ′(t)dt＝F(t)＋C則∫f(x)dx＝F[φ-1(x)]＋C,,例12求,解:令,則,∴原式,,,,,例13.求,解:令,則,∴原式,,,,,例14.求,解:,令,則,∴原式,,,,,令,于是,,,小結(jié):,被積函數(shù)含有,時,,或,可采用三角代換消去根式,例15求,解：設,，則,從而原式,小結(jié)：當被積函數(shù)含有時，只需做代換，就可將根號去掉．不定積分就變成容易的積分了。,上述第二類換元積分均是利用變換去掉被積函數(shù)中的根式，把積分轉(zhuǎn)化成容易積分．,3.2.2分部積分法（integrationbyparts）如果u＝u(x)與v＝v(x)都有連續(xù)的導數(shù)，則由函數(shù)乘積的微分公式d(uv)＝vdu＋udv移項得udv＝d(uv)－vdu從而∫udv＝uv－∫vdu或∫udv＝uv－∫vu′dx這個公式叫作分部積分公式，當積分∫udv不易計算，而積分∫vdu比較容易計算時，就可以使用這個公式．,例16.求,解:令,則,∴原式,在計算方法熟練后，分部積分法的替換過程可以省略,例17求不定積分,解：原式,例18.求,解:原式,移項整理可得,例19.求,解：原式,例20.求,解:原式=,思考：如何求,例21.求,解:令,則,原式,,令,總結(jié):分部積分法主要解決被積函數(shù)是兩類不同類型的函數(shù)乘積形式的一類積分問題，例如這些形式：∫P(x)eaxdx∫P(x)lnmxdx∫P(x)cosmxdx∫P(x)sinmxdx∫sinmxeaxdx……其中m為正整數(shù)，a為常數(shù)，P（x）為多項式正確選取u(x)，v(x)，會使不定積分∫v(x)du(x)＝∫v(x)u′(x)dx變得更加簡單易求。,3.2.3*有理函數(shù)積分簡介有理函數(shù)總可以寫成兩個多項式的比,其中n為正整數(shù)，m為非負整數(shù)，a０≠０，b０≠０，設分子與分母之間沒有公因子，當n＞m時，叫做真分式；當m≥n時，叫做假分式，假分式可以用除法把它化為一個多項式與一個真分式之和．,多項式可以很容易地逐項積分，因此只需要討論真分式的積分，一般來講，先將真分式化成部分分式，部分分式的積分較容易，真分式的積分就會計算了．,例22將分解成部分分式,解：由于真分式,可設,右邊通分，再與左邊比較分子可得,從而,解得故,例23將分解成部分分式,右邊通分，再與左邊比較分子可得,從而,解：設,因此,例24求,解：由例22結(jié)果,例25求,解：由例23結(jié)果,從而,例26求,解：設,用待定系數(shù)法得：,從而,3.2.4*積分表的使用一般的積分表都是按照被積函數(shù)的類型進行分類的，所以求不定積分時，首先找出被積函數(shù)所屬的類型，然后在積分表中查出相應的公式．有時，還需要經(jīng)過適當?shù)淖儞Q，把被積函數(shù)化成積分表中所列出的形式，然后查．積分表可看附錄Ⅰ,解：被積函數(shù)含a＋bx，與附錄Ⅰ公式２７相同，其中a＝２，b＝５，于是,例27求,解：被積函數(shù)含有a＋bx＋x2與附錄Ⅰ公式45相同，其中a＝3，b＝２，c＝１，b2－4ac＝４－４３１＝－８＜０，于是,例28求,說明：積分運算與微分運算還有一個很不相同的地方，即任何一個初等函數(shù)的導數(shù)都可以根據(jù)基本導數(shù)公式和微分運算法可求出來，并且仍然是初等函數(shù)．但是，有許多初等函數(shù)卻“積不出來”，即這些函數(shù)的原函數(shù)存在，但這個原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，例如,積分計算困難嗎？想知道有什么數(shù)學軟件可以算積分嗎？上網(wǎng)查查看。,,3.2節(jié)練習,令,則原式,再利用例16做做看,3.2節(jié)思考:,怎么回事？,所以1=0,