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空間幾何體的表面積和體積 一．課標(biāo)要求： 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。 二．命題走向 近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時也要學(xué)會運(yùn)用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。 由于本講公式多反映在考題上，預(yù)測2009年高考有以下特色： （1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式； （2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計(jì)算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計(jì)算問題； 三．要點(diǎn)精講 1．多面體的面積和體積公式 名稱 側(cè)面積(S側(cè)) 全面積(S全) 體 積(V) 棱 柱 棱柱 直截面周長l S側(cè)+2S底 S底h=S直截面h 直棱柱 ch S底h 棱 錐 棱錐 各側(cè)面積之和 S側(cè)+S底 S底h 正棱錐 ch′ 棱 臺 棱臺 各側(cè)面面積之和 S側(cè)+S上底+S下底 h(S上底+S下底+) 正棱臺 (c+c′)h′ 表中S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長。 2．旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式 名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球 S側(cè) 2πrl πrl π(r1+r2)l S全 2πr(l+r) πr(l+r) π(r1+r2)l+π(r21+r22) 4πR2 V πr2h(即πr2l) πr2h πh(r21+r1r2+r22) πR3 表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺 上、下底面半徑，R表示半徑。 四．典例解析 題型1：柱體的體積和表面積 例1．一個長方體全面積是20cm2，所有棱長的和是24cm，求長方體的對角線長. 解：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm 依題意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16 即l2=16 所以l=4(cm)。 點(diǎn)評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。 例2．如圖1所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。 （1）求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上； （2）求這個平行六面體的體積。 圖1 圖2 解析：（1）如圖2，連結(jié)A1O，則A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A1M，A1N。由三垂線定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD?！摺螦1AM=∠A1AN， ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N， 從而OM=ON。 ∴點(diǎn)O在∠BAD的平分線上。 （2）∵AM=AA1cos=3= ∴AO==。 又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12 – AO2=9－=， ∴A1O=，平行六面體的體積為。 題型2：柱體的表面積、體積綜合問題 例3．一個長方體共一頂點(diǎn)的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（ ） A．2 B．3 C．6 D． 解析：設(shè)長方體共一頂點(diǎn)的三邊長分別為a=1，b＝，c＝，則對角線l的長為l=；答案D。 點(diǎn)評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素—棱長。 例4．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1∶V2= ____ _。 解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2＝Sh。 ∵E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)， ∴S△AEF=S, V1=h(S+S+)=Sh V2=Sh-V1=Sh， ∴V1∶V2=7∶5。 點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。 題型3：錐體的體積和表面積 P A B C D O E 例5． （2008山東卷6） 右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是D (A)9π　　　　　　?。˙）10π (C)11π (D)12π （2008江西卷10） 連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦、的長度分別等于、，、分別為、的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動，有下列四個命題： ①弦、可能相交于點(diǎn) ②弦、可能相交于點(diǎn) ③的最大值為5 ④的最小值為1 其中真命題的個數(shù)為C A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 （2008湖北卷3） 用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為B A. B. C. D. 點(diǎn)評：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。 例6．（2008北京，19）． （本小題滿分12分） A B C M P D 如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，． （Ⅰ）設(shè)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面； （Ⅱ）求四棱錐的體積． （Ⅰ）證明：在中， 由于，，， A B C M P D O 所以． 故． 又平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 又平面， 故平面平面． （Ⅱ）解：過作交于， 由于平面平面， 所以平面． 因此為四棱錐的高， 又是邊長為4的等邊三角形． 因此． 在底面四邊形中，，， 所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為， 此即為梯形的高， 所以四邊形的面積為． 故． 點(diǎn)評：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。 題型4：錐體體積、表面積綜合問題 例7．ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離？ 解：如圖，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。 設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD＝，EF，CO＝。 。 而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。 由，得 點(diǎn)評：該問題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運(yùn)算。 例8．（2007江西理，12） 如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ） A．S1S2 C．S1=S2 D．S1，S2的大小關(guān)系不能確定 解：連OA、OB、OC、OD， 則VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC， 而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故選C 點(diǎn)評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系。 題型5：棱臺的體積、面積及其綜合問題 例9．（2008四川理，19） ． （本小題滿分12分） 如圖，面ABEF⊥面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90，BC∥AD，BE∥AF，G、H分別是FA、FD的中點(diǎn)。 (Ⅰ)證明：四邊形BCHG是平行四邊形； (Ⅱ)C、D、E、F四點(diǎn)是否共面？為什么？ (Ⅲ)設(shè)AB=BE，證明：平面ADE⊥平面CDE. G H F E D C B A )解法一： (Ⅰ)由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA,FH=HD. 所以GH ， 又BC ,故GH BC. 所以四邊形BCHG是平行四邊形. (Ⅱ)C、D、F、E四點(diǎn)共面.理由如下： 由BE ,G是FA的中點(diǎn)知，BE GF，所以EF∥BG. 由(Ⅰ)知BG∥GH，故FH共面.又點(diǎn)D在直線FH上. 所以C、D、F、E四點(diǎn)共面. (Ⅲ)連結(jié)EG，由AB=BE，BE AG及∠BAG=90知ABEG是正方形. 故BG⊥EA.由題設(shè)知，F(xiàn)A、AD、AB兩兩垂直，故AD⊥平面FABE， 因此EA是ED在平面FABE內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，BG⊥ED. 又ED∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE. 由(Ⅰ)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.由(Ⅱ)知F平面CDE.故CH平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE. 解法二： 由題設(shè)知，F(xiàn)A、AB、AD兩兩互相垂直. 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. (Ⅰ)設(shè)AB=a,BC=b,BE=c，則由題設(shè)得 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c). 所以， 于是 又點(diǎn)G不在直線BC上. 所以四邊形BCHG是平行四邊形. (Ⅱ)C、D、F、E四點(diǎn)共面.理由如下： 由題設(shè)知，F(xiàn)(0,0,2c)，所以 (Ⅲ)由AB=BE，得c=a，所以 又 即 CH⊥AE,CH⊥AD, 又 AD∩AE =A,所以CH⊥平面ADE, 故由CH平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE. 點(diǎn)評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算公式與可精確計(jì)算體積的辛普生公式之間計(jì)算誤差的問題，是極具實(shí)際意義的問題?？疾榱丝忌^續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。 例10．（1）（2008四川理，8） 設(shè)是球心的半徑上的兩點(diǎn)，且，分別過作垂線于的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：( D ) （Ａ）　?。ǎ拢　。ǎ茫　。ǎ模? 【解】：設(shè)分別過作垂線于的面截球得三個圓的半徑為，球半徑為，則： ∴ ∴這三個圓的面積之比為： 故選D 【點(diǎn)評】：此題重點(diǎn)考察球中截面圓半徑，球半徑之間的關(guān)系； 【突破】：畫圖數(shù)形結(jié)合，提高空間想象能力，利用勾股定理； 例11．（2008四川文，12） 若三棱柱的一個側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個側(cè)面都是有一個內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于( B ) （Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ） 【解】：如圖在三棱柱中，設(shè)， 由條件有，作于點(diǎn)， 則 ∴ ∴ ∴ 故選B 【點(diǎn)評】：此題重點(diǎn)考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時考察空間想象能力； 【突破】：具有較強(qiáng)的空間想象能力，準(zhǔn)確地畫出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定理并能準(zhǔn)確應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵； 例12．如圖9—9，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則= 。 解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR2r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有πr3=πR2r。故。答案為。 點(diǎn)評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識以及計(jì)算能力和分析、解決問題的能力。 圖 題型7：圓錐的體積、表面積及綜合問題 例13．已知過球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。 解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為， 則， 在中，， ∴， ∴， ∴。 點(diǎn)評： 正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。 例14．如圖所示，球面上有四個點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個球的表面積。 解析：如圖，設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。 在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC內(nèi)的射影即是△ABC的中心O′。 由正弦定理，得 =2r,∴r=a。 又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC， ∴P、O、O′共線，球的半徑R=。又PO′===a， ∴OO′=R － a=d=,(R－a)2=R2 – (a)2，解得R=a, ∴S球=4πR2=3πa2。 點(diǎn)評：本題也可用補(bǔ)形法求解。將P—ABC補(bǔ)成一個正方體，由對稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對角線，易得球半徑R=a,下略。 題型9：球的面積、體積綜合問題 例15．（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的表面積。 （2）正四面體ABCD的棱長為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個面和球O都相切的一個小球，求球O1的體積。 解：（1）設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長為， 則作軸截面如圖，，， 又∵，∴， ∴，∴， ∴ （2）如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O1與平面ACD切于點(diǎn)H 由題設(shè) ∵　△AOF∽△AEG ∴　，得 ∵　△AO1H∽△AOF ∴ ，得 ∴　 點(diǎn)評：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。 題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問題 例19．（1）我國首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長度等于多少？（地球半徑大約為） （2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，，求球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離。 解：（1）如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑， ∴， 設(shè)是北緯的緯線長， ∵， ∴ 答：北緯緯線長約等于． （2）解：設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的截面為⊙， 設(shè)球心為，連結(jié)，則平面， ∵， ∴， 所以，球心到截面距離為． 例16．在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離。 解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，， ∴，∴， ∴，∴， ∴中，， 所以，兩點(diǎn)的球面距離等于． 點(diǎn)評：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面距離。 （2008廣東文18） （本小題滿分14分） 如圖5所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，。 （1）求線段PD的長； （2）若，求三棱錐P-ABC的體積。 【解析】（1） BD是圓的直徑 又 , , ; (2 ) 在中， 又 底面ABCD 三棱錐的體積為 . 五．思維總結(jié) 1．正四面體的性質(zhì) 設(shè)正四面體的棱長為a，則這個正四面體的 (1)全面積：S全=a2； (2)體積：V=a3； (3)對棱中點(diǎn)連線段的長：d=a； (4)內(nèi)切球半徑：r=a； (5)外接球半徑 R=a； (6)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個面的距離之和為定值(等于正四面體的高)。 2．直角四面體的性質(zhì) 有一個三面角的各個面角都是直角的四面體叫做直角四面體.直角四面 體有下列性質(zhì)： 如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90，OA=a,OB=b,OC=c。 則：①不含直角的底面ABC是銳角三角形； ②直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③體積 V=abc； ④底面△ABC=； ⑤S2△ABC=S△BHCS△ABC； ⑥S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC ⑦=++; ⑧外切球半徑 R=； ⑨內(nèi)切球半徑 r= 3．圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角. ①如圖，圓錐的頂角為β，母線與下底面所成角為α，母線為l，高為h，底面半徑為r，則 sinα=cos = ， α+=90 cosα=sin = . ②圓臺 如圖，圓臺母線與下底面所成角為α，母線為l，高為h，上、下底面半徑分別為r ′、r，則h=lsinα，r-r′=lcosα。 ③球的截面 用一個平面去截一個球，截面是圓面. (1)過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓； (2)球心與截面圓圓心的連線垂直于截面； (3)球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關(guān)系： r=. 4．經(jīng)度、緯度： 經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個大圓； 緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓； 經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。 緯度：某地的緯度就是指過這點(diǎn)的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。 5. 兩點(diǎn)的球面距離： 球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離 兩點(diǎn)的球面距離公式：（其中R為球半徑，為A,B所對應(yīng)的球心角的弧度數(shù)）