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數(shù)學(xué)分析（中）題庫(kù) 一 選擇填空 （每小題4分，共分） 10. 設(shè)函數(shù)在可積且平方可積，則的Fourier級(jí)數(shù)_______________收斂于. 11. 下列集合是連通緊集的是___________. A B C . D . 3. 函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)在點(diǎn)x=2處收斂于__________________________________________ 4. =__________________________. 5. 的Fourier正弦級(jí)數(shù)在收斂于____________; 6. 若冪級(jí)數(shù)在區(qū)間X上收斂，則下列結(jié)論不一定正確的是A 它的和函數(shù)在X上連續(xù); B 它在X上內(nèi)閉一致收斂； C 在X上收斂；D 在X上收斂 7. 函數(shù)在點(diǎn)(1,2,1)處沿方向______________的方向?qū)?shù)取最大值, 最大值為_(kāi)_________________________. 8. 函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)在點(diǎn)x=2處收斂于____________________________. 9. 若無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)________, 級(jí)數(shù)___________. (A)收斂 (B)發(fā)散 (C)不能確定. 10. 若收斂，則級(jí)數(shù)______；級(jí)數(shù)_____. A一定收斂 B一定發(fā)散 C不能確定 11. 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，則下列一定正確的是___________. A的Fourier級(jí)數(shù)點(diǎn)態(tài)收斂于. B的Fourier級(jí)數(shù)平方收斂于. C的Fourier級(jí)數(shù)一致收斂于. D的Fourier級(jí)數(shù)在 上可逐項(xiàng)積分并收斂于. 12. 集合是緊集當(dāng)且僅當(dāng)________________________________. 13. 函數(shù)在點(diǎn)(1,2)處沿方向______________的方向?qū)?shù)取最大值, 最大值為_(kāi)_________________________. 14. 空間曲線在點(diǎn)處的切向量為_(kāi)_________. 15. 函數(shù)在點(diǎn)(1,1)處沿方向______________的方向?qū)?shù)取最大值, 最大值為_(kāi)_________________________. 16. 集合是緊集當(dāng)且僅當(dāng)_________________________ 17. 中點(diǎn)列是基本點(diǎn)列當(dāng)且僅當(dāng)______________________ _________________________________________________________. 18. 空間曲線在點(diǎn)（1，1，2）處的切線方程為_(kāi)____________________________________________________________. 19. 多元函數(shù)在一點(diǎn)的各性質(zhì)之間的關(guān)系為 (A) 連續(xù); (B)可微; (C)可偏導(dǎo)；(D)在某鄰域上偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(diǎn)連續(xù). 14. 判斷 (1) f(x)在區(qū)間上可積且平方可積，則f(x)的Fourier級(jí)數(shù)平方收斂于f(x).（ ） (2) f(x)在區(qū)間上連續(xù)，則f(x)的Fourier級(jí)數(shù)收斂于f(x)（ ）. (3) 發(fā)散（ ） (4)（ ） （5） （6） 二 解答題（每小題10分，共分） 1 求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和。 2 求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和。 3 計(jì)算 ，并求級(jí)數(shù)的和 4 求冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的值。 5 計(jì)算 6 7 求函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式和收斂域. 8 確定函數(shù)之定義域，并利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性說(shuō)明它的連續(xù)性及可微性. 9 求的收斂域及和函數(shù) ，并求級(jí)數(shù)的和 10 求的收斂域及和函數(shù)，并計(jì)算. 11 求的Fourier級(jí)數(shù)及其在上的和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和。 12 求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和。 13 確定函數(shù)的定義域及其在定義域上的連續(xù)性和可微性。 14 確定函數(shù)的收斂域及其在收斂域上的一致收斂性（包括內(nèi)閉一致收斂性） 15 確定下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域D, 并討論其在D上的一致收斂性（包括內(nèi)閉一致收斂性）以及它們的和函數(shù)在D上的可積性、連續(xù)性和可導(dǎo)性（20分） 16 判斷下列各題的斂散性（包括絕對(duì)收斂和條件收斂性） 17 判斷反常積分 的斂散性。 18 判斷反常積分 的斂散性（包括發(fā)散、絕對(duì)收斂與條件收斂） 19 設(shè), 試問(wèn) (i)a，b為何值時(shí)f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù)? (ii) f(x)在(-,+)內(nèi)是否可導(dǎo)? 20 在上的一致收斂性 21 討論函數(shù)在點(diǎn)（0，0）的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性和可微性。 22 討論函數(shù)在點(diǎn)（0，0）的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性和可微性。 23 求函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)及其和函數(shù). 24 是常數(shù))的Fourier級(jí)數(shù)及其和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和。 25 求的Fourier余弦級(jí)數(shù)，并用Parseval等式求級(jí)數(shù)的和。 26 的Fourier變換F(f). 27 設(shè)F是可微函數(shù)，是由所確定的隱函數(shù)，計(jì)算 28 設(shè)F是可微函數(shù)，是由所確定的隱函數(shù)，求 29 設(shè)是由方程所確定的函數(shù)，求 30 設(shè)由方程組，確定，求. 三. 應(yīng)用類(lèi) 1. 設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且不全為零，求空間曲線在坐標(biāo)面上投影曲線的切線方程。 2. 求曲面在第一卦限的切平面，使得該切平面與三個(gè)坐標(biāo)平面圍成的四面體體積最小。 3. 求曲面在第一卦限的切平面，使得該切平面與三個(gè)坐標(biāo)平面圍成的四面體體積最小。 4. 求曲面的切平面，使得該切平面與點(diǎn)（2，2，2）距離最短。 5. 求曲面與xoy坐標(biāo)平面的最近距離。 6. 在曲面上求一點(diǎn)，該點(diǎn)處的切平面平行于平面，并求此切平面和 法線方程. 7. 求由方程所確定的隱函數(shù)的極值。 8. 求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值。 9. 求函數(shù)在上的最大值和最小值. 10. 四. 證明類(lèi)(每題6分，共分) 1 若函數(shù) 在點(diǎn)連續(xù)且，則 有 . 2 若集合D中存在數(shù)列{xn}，使得，則級(jí)數(shù)在D上非一致收斂。 3 設(shè), 其中f為連續(xù)函數(shù). 證明: 在任何閉區(qū)間上一致收斂。 4 若級(jí)數(shù)在D上一致收斂，則序列在D上一致收斂于0. 5 若函數(shù)在點(diǎn)存在二重極限，則 上 有界。 6 已知{nun(x)}在區(qū)域D上一致有界, 則在區(qū)域D上絕對(duì)一致收斂。 7 已知函數(shù)序列{un(x)}關(guān)于n單調(diào)且在區(qū)域D上一致收斂于0, 則在區(qū)域D上一致收斂。 8 若無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂。 9 如果， 則。 10 若函數(shù)在上連續(xù), 且級(jí)數(shù)在上一致收斂，則級(jí)數(shù)在上一致收斂. 11 設(shè)是具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的n次齊次函數(shù)（即：對(duì)于任意實(shí)數(shù)t和x, y, z，有），且gradF, 則曲面=0上所有切平面過(guò)原點(diǎn)。 12 f(x)在區(qū)間上可積且平方可積，證明Bessel不等式: 13. 設(shè)在上可導(dǎo)且在上可積，為的傅里葉系數(shù). 證明： . 14. 已知存在正整數(shù)N，使得, 且，則在D上一致收斂于。 15. 設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且. 證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 16. 證明中有限覆蓋定理. 17. 證明中閉區(qū)域套定理. 11