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福州大學(xué) -大學(xué)物理習(xí)題解答 1 第 6 章 幾何光學(xué)習(xí)題解答 6-1 一束光在某種透明介質(zhì)中的波長為 nm400 ，傳播速度為 sm/1000.2 8? （ 1）試確 定該介質(zhì)對這一光束的折射率；（ 2）同一束光在空氣中的波長為多少？ 解：（ 1） 5.1?? vcn （ 2） nm6000 ?? ?? n 6-2 物體 S 處在兩個互相垂直的平面鏡的角平分線上，可以看到鏡中有幾個像 ？ 解： 如圖 所示 ， 可以看到 3 個像 。 6-3 人眼 E 垂直通過厚度為 d 、折射率為 n 的透明平板觀察物體 P ，求像 P 與 P 之間 的距離。 解： 如圖所示， 物體 P 發(fā)出的光線經(jīng)平板的兩個平面折射。 第一次折射 成像于 P1 物距 APp ?1 像距 nAPp ?1 第二次折射 成像于 P 物距 dnAPp ??2 像距 )(1 2 dnAPnp ?? P 與 P 之間的距離 dndn A PndAP )11()(1)( ????? 1P d A BPP 習(xí) 題 6-3 解 圖 S 1S2S 3S 習(xí) 題 6-2 解 圖 福州大學(xué) -大學(xué)物理習(xí)題解答 2 6-4 的容器底放一平面鏡，人在水面上看自己的像，設(shè)人眼高出水面 h1=5cm，鏡在水面 下深 h2=-8cm。問人眼與像之距離為多少？ 解： 人眼經(jīng)三次成像，水的折射率 3/4?n 。 第 一次成像 ，水面折射 cm511 ??hp ，像距為 11 nhp? ； 第二次成像，平面反射 212 hpp ?? ， 22 pp ? ； 第三次成像，又是水面折射 223 hpp ?? ， npp / 33 ? 。 代入已知數(shù)據(jù)，得 cm173 ?p ，最后像在水面下方 cm17 ，與眼睛距離 cm22 。 6-5 光導(dǎo)纖維是利用全反射傳導(dǎo)光信號的裝置。纖維內(nèi)芯材料的折射率 n1=1.3，外層材 料的折射率 n2=1.2。試求入射角 i 在什么范圍內(nèi)的光線才可在纖維內(nèi)傳遞。 解：用 ? 表示光導(dǎo)纖維內(nèi)芯和外層材料之間的臨界角，則有 1 2sin nn?? 要把光線限制在光導(dǎo)纖維內(nèi)傳播， 圖示的 ? 應(yīng)滿 足 ??? 。如圖，由幾何關(guān)系可知 or 90??? 。 根據(jù)折射定律 1sinsin nri ? 將已知代入，求得： oi 30? 6-6 凹面鏡的曲率半徑為 150cm，要想獲得放大三倍的像，物體應(yīng)放在什么位置？如果 是凸面鏡則又如何？ 解：對凹面鏡來說，兩種情況下可以成放大三倍的像 （ 1） pp 3? ，由 1502311 ?? pp ，得 cm100?p ，實(shí)物成放大實(shí)像。 （ 2） pp 3 ?? ，由 1 5 02311 ??? pp ，得 cm50?p ，實(shí)物成放大虛像。 對凸面鏡來說，兩種情況下可以成放大三倍的像 i r ? 1n 2n 習(xí) 題 6-5 解 圖 福州大學(xué) -大學(xué)物理習(xí)題解答 3 （ 1） pp 3? ，由 1502311 ??? pp ，得 cm100??p ，虛物成放大虛像。 （ 2） pp 3 ?? ，由 1502311 ???? pp ，得 cm50??p ，虛物成放大實(shí)像。 6-7 在水平放置的凹面鏡中盛少許水（水的折射率 34 ，深度不計(jì)），一物點(diǎn) P 置于凹 面鏡正上方，在與鏡相距 cm54 和 cm36 處可分別得到實(shí)像。求凹面鏡曲率半徑及物點(diǎn)與鏡 的距離。 解： 兩個實(shí)像 分別 是經(jīng) 有 水部分成的像和 經(jīng) 沒水部分成 的像 。由于 凹 面鏡中 只有 少許水 ，可以認(rèn)為本題屬于近軸光 成像問題。設(shè)凹面鏡曲率半徑為 r ，凹面鏡的焦距為 2/r 。 下面計(jì)算有水部分的焦距。 讓平行光線沿主光軸入射凹面鏡，光線經(jīng)水面折射、凹 面鏡反向和第二次水面折射后，最后成像位置就是有水部分 的焦點(diǎn)。第一次水面折射時 ??1p ， ??1p ；凹面鏡反 向時 ??2p ，由凹面鏡成像公式，可求得 2/2 rp ? ；第二次水面折射時 2/3 rp ? ，由 平面折射公式，可得 8/33 rp ? 。得出有水部分的焦距為 8/3r 。 設(shè)物點(diǎn)與凹面鏡的距離為 p ， 由題意可列出兩個成像式子 rp 383611 ?? rp 25411 ?? 聯(lián)立以上二式，求得 cm108?p ， cm72?r 。 6-8 有一放在空氣中的玻璃棒，折射率 1.5?n ，中心軸線長 cm45?L ，一端是半徑為 cm101 ?R 的凸球面。要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠(yuǎn)鏡（使主軸上無窮遠(yuǎn)處 物體成像于主軸上無窮遠(yuǎn)處的望遠(yuǎn)系統(tǒng)），取中心軸線為主光軸，玻璃棒另一端應(yīng)磨成什么 樣的球面？ 解：要求主光軸上無窮遠(yuǎn)處物體發(fā)出的光線經(jīng)玻璃棒的兩個端面折射后成像于無窮 遠(yuǎn)。 題 6-7 解圖 福州大學(xué) -大學(xué)物理習(xí)題解答 4 第一次成像 ??1p ， 11?n ， 5.12?n ， cm101 ?R 代入球面折射公式，得 cm301 ?p 第二次成像 cm152 ?p ， 5.12?n ， 12?n ， ??2p 代入球面折射公式，得 cm52 ??R 棒的另一端應(yīng)磨成半徑為 cm5 的向外凸的球面。 6-9 一臺幻燈機(jī)，鏡頭焦距是 30cm，用它放映時，像的最大放大倍數(shù)是 100 倍，鏡頭可 移動的范圍是 5.7cm。問此幻燈機(jī)最小放大倍數(shù)為多少？這時需要將鏡頭與屏幕間的距離如 何改變？改變多少？ 要再算一遍計(jì)算結(jié)果 解：由放大率公式和透鏡成像公式，得 fpp 111 11 ?? ， 100 1 1max ?? ppm ， 代入數(shù)據(jù)得 ： cm3.301 ?p ， cm3031 ?p 由 fpp 117.51 21 ??? ， 7.51 2min ?? p pm ， 得 ： 5min?m ， cm1802 ?p 這時鏡頭與屏幕間的距離最小，須將屏幕移近 cm123 21 ??pp 6-10 凸透鏡焦距為 cm8 ，在它 的前方 cm16 處有一小線狀物，在它的后方 cm10 共軸放 置一個焦距為 cm3 的凹透鏡，計(jì)算像的位置及放大率。 解：物體發(fā)出的光線經(jīng)兩次成像。 第一次成像 cm161?p ， cm81?f ，可求出 cm161 ?p ， -1??? 111 / ppm ，成等大 倒立 實(shí) 像 ，像在凸透鏡右方 cm16 處，在凹透鏡右方 cm6 處，該像是凹透鏡的虛物 。 第二次成像 cm62 ??p ， cm32 ??f ， 可求出 cm62 ??p ， -1??? 222 / ppm ，成 等大倒立虛像，像在凹透鏡左方 cm6 處。 總的放大率 1?? 21mmm ，對整個系統(tǒng)來說，像與物等大正立。 6-11 在焦距為 cm15 的凸透鏡左方 cm30 處放一物體，在透鏡右側(cè)放一垂直于主軸的平面鏡， 試求平面鏡在什么位置，才能使物體通過此系統(tǒng)所成的像距離透鏡 cm30 ？ 福州大學(xué) -大學(xué)物理習(xí)題解答 5 解： 物體要經(jīng)該系統(tǒng)三次成像 ，如圖設(shè)三個像分別為 321 ,, PPP ，透鏡與平面鏡間距離 為 d 。 經(jīng)透鏡第一次成像，由 cm15?f ， cm301?p ，得出： cm301 ?p 第二次經(jīng)平面鏡成像 12 pdp ?? ， dppp ???? 122 第三次成像為透鏡第二次成像 2 123 pdpdp ???? ， 452 )15(30 ???? d d 3p 如果最終所成的像為實(shí)像， cm3 30?p ，得 cm30?d ；如果最終所成的像為虛像， cm3 30 ??p ，得 cm20?d 。 6-11 某同學(xué)按下面的方法測定凹透鏡的焦距：首先讓凸透鏡和凹透鏡共軸放置，在凸 透鏡前面（在主軸上）放一小物，小物發(fā)出的先經(jīng)凸透鏡再經(jīng)凹透鏡成像，移動屏幕到凹透 鏡后面 cm20 的 1S 處，屏上有清晰像?，F(xiàn)將凹透鏡撤去，將屏幕往凸透鏡移動 cm5 至 2S ， 屏上重新有清晰像。求凹透鏡的焦距。 解：實(shí)物發(fā)出的光經(jīng)過凹透鏡成虛像，測凹 透鏡的焦距要用虛物成實(shí)像。對本題的凹透鏡來 說，虛物在 2S 處， cm15??p ，實(shí)像在 1S ， cm20?p 。由 透 鏡 成 像 公 式 ， 可 求 得 ： cm60??f 。 6-11 設(shè)有兩薄凸透鏡，其焦距都為 cm10 ，相距 cm15 ，用作圖法和 計(jì)算法找出該光學(xué) 系統(tǒng)物像等大且同方向的物和像的位置。 1S2S 習(xí) 題 6-12 解 圖 P 1P 2P 3P 習(xí) 題 6-11 解 圖 福州大學(xué) -大學(xué)物理習(xí)題解答 6 解：由于光學(xué)系統(tǒng)的物像等大且同方向，所以該系統(tǒng)具有對稱性。 作一條過第一個透鏡光心的光線 A ，該光線 經(jīng)第二個透鏡折射，折射光線為 A ?？紤] 到對稱性，如果有一條與 A 對稱的光線 B 入射該系統(tǒng)，其折射光線 B 必與 A 。如圖所示， 由光線 A 與光線 B 的延長線的交點(diǎn)畫出虛物，由光線 A 與光線 B 的反向延長線的交點(diǎn)畫 出虛像。 由于系統(tǒng)的對稱性， 物體發(fā)出的光線經(jīng)第一個透鏡 成像的 像距 一定 為 cm5.7?p ，對 第一個透鏡列成像公式，可求出 cm30??p 。 那么 ， 對整個 光學(xué)系統(tǒng) 來說， 虛物成 虛像， 物距 cm30??p ，像距 cm30 ??p 。 6-14 人的眼睛是一個變焦距系統(tǒng)，有一個視力正常的人在看遙遠(yuǎn)的星球時像距為 1.5cm， 那么此人眼睛焦距的變化范圍是多少？ 解：看遙遠(yuǎn)星球時， ??1p ，此時 cm5.111 ?? pf 。當(dāng)人看 cm102 ?p 處的物體時， 像距還是 cm5.12 ?p ，此時的 cm3.12 ?f 。所以此人眼睛焦距的變化范圍是 cm-cm 5.13.1 。 6-15 一個放大鏡，明視距離是 30cm 的人使用時放大率是 6，那么當(dāng)正常人使用時放大 率為多少？ 解： 由題意， 對該遠(yuǎn)視眼人而言， cm301 ??p ， cm51?p ，代透鏡成像公式，得放大 鏡焦距 cm6?f 。對正常人而言， cm252 ??p ，可算出對應(yīng)的物距 cm84.42 ?p ，放大率 1F2F 2F1F A A B B 習(xí) 題 6-13 解 圖 福州大學(xué) -大學(xué)物理習(xí)題解答 7 16.5/ 222 ?? ppm 。 6-16 一觀劇望遠(yuǎn)鏡物鏡焦距為 12cm，目鏡焦距為 -4cm，當(dāng)觀察 7.2m 處的物體時，最 后的像成于目鏡前 20cm 處，求兩鏡間距。 解：對物鏡， m2.71?p ， cm121?f ，則 cm2.121 ?p 對目鏡而言， cm202 ??p ， cm42 ??f ，則 cm52 ??p 物鏡成的像是目鏡的虛物，兩鏡間距為 cm2.7 21 ?? pp 。 6-17 已知顯微鏡物鏡的焦距為 mm21?f ，目鏡的焦距為 mm202 ?f , 光學(xué) 筒 長為 mm153?? ，最后像離目鏡的距離為明視距離 mm250?d 。試求：（ 1）被觀測物離物鏡的 距離；（ 2）顯微鏡的視角放大率。 解： （ 1） 對目鏡 mm2502 ??p ， mm202 ?f ，利用透鏡成像公式，求得 mm52.182 ?p 對物鏡 15 6. 5m m 2211 ?????? pffp ， mm21 ?f ，利用透鏡成像公式，求得 2.026mm1 ?p 。被觀測物離物鏡的距離應(yīng)為 2.026mm 。 （ 2）顯微鏡的視角放大率 M=物鏡的橫向放大率 1m 目鏡的視角放大率 2M 9 6 5 2 2 1 121 ???? fpppMmM 6-18 裝在門上的門鏡是由一個凹透鏡和一凸透鏡組成的，其功能是人在室外看不清室 內(nèi)的情況，而在室內(nèi)的人卻能清楚地看見室外的情況。有一種門鏡的凹透鏡焦距為 cm0.1 ， 凸透鏡的焦距為 cm5.3 ，兩透鏡之間的距離為 cm1.2 ，我們以上述數(shù)據(jù)為例來分析門鏡為什 么具有這樣的功能。 解：人能不能看清一個物體（或一個物體的像）取決于兩 個因素：一是物 體（或像）是否在人眼的明視距離內(nèi)；二是有 沒有足夠的光能進(jìn)入人眼。 室內(nèi)室外 室內(nèi)室外 習(xí) 題 6-18 解 圖 福州大學(xué) -大學(xué)物理習(xí)題解答 8 通過門鏡在室外看室內(nèi)物體時， 設(shè)室內(nèi)物體到門的距離為 cm100 。 對凸透鏡來說 cm1001 ?p ， cm5.31?f ，可求得 cm63.31 ?p ，成實(shí)像 。 對凹透鏡來說， 實(shí)像是它的虛物， cm53.12 ??p ， cm0.12 ??f ，求得 cm89.22 ??p 。 說明室內(nèi)物體發(fā)出的光經(jīng)過門鏡后在門內(nèi)側(cè)成一虛像 ，像距相當(dāng)小 。 人眼如果靠近門鏡 觀察， 人眼與虛像間 的距離比明視距離小很多， 無法看清。如果人退離門鏡觀察，則虛像能 夠進(jìn)入眼睛的光線太少，同樣無法看清。 通過門鏡在室內(nèi)看室外物體時，設(shè)室外物體到門的距離為 cm100 。 對凹透鏡來說 cm1001 ?p ， cm0.11 ??f ，可求得 cm99.01 ??p ，成虛像。 對凸透鏡來說，虛像是它的實(shí)物， cm09.32 ?p ， cm5.32 ?f ，求得 cm4.262 ??p 。 說明室外物體發(fā)出的光經(jīng)過門鏡后在門外側(cè)成一虛像，像距略大于明視距離。如果人眼 貼在門鏡上看，可以看清門外物體。