《計量經(jīng)濟學---第三版-李子奈---課后習題--答案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《計量經(jīng)濟學---第三版-李子奈---課后習題--答案.doc（61頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

****************************************************************************************************************************************************** 第一章 緒論 （一）基本知識類題型 1-1． 什么是計量經(jīng)濟學？ 1-3． 計量經(jīng)濟學方法與一般經(jīng)濟數(shù)學方法有什么區(qū)別？ 它在經(jīng)濟學科體系中的作用和地位是什么？ 1-6．計量經(jīng)濟學的研究的對象和內(nèi)容是什么？計量經(jīng)濟學模型研究的經(jīng)濟關系有哪兩個基 本特征？ 1-7．試結合一個具體經(jīng)濟問題說明建立與應用計量經(jīng)濟學模型的主要步驟。 1-9．計量經(jīng)濟學模型主要有哪些應用領域？各自的原理是什么？ 1-12．模型的檢驗包括幾個方面？其具體含義是什么？ 1-17．下列假想模型是否屬于揭示因果關系的計量經(jīng)濟學模型？為什么？ ⑴ St = 112.0 + 0.12Rt 其中 St 為第 t 年農(nóng)村居民儲蓄增加額（億元）、 Rt 為第 t 年城鎮(zhèn) 居民可支配收入總額（億元）。 ⑵ St -1 = 4432.0 + 0.30Rt 其中 St -1 為第（ t -1）年底農(nóng)村居民儲蓄余額（億元）、Rt 為 第 t 年農(nóng)村居民純收入總額（億元）。 1-18．指出下列假想模型中的錯誤，并說明理由： （1） RSt = 8300.0 - 0.24 RI t + 112.IVt 其中， RSt 為第 t 年社會消費品零售總額（億元）， RI t 為第 t 年居民收入總額（億元）（城鎮(zhèn)居民可支配收入總額與農(nóng)村居民純收入總額之和）， IVt 為第 t 年全社會固定資產(chǎn)投資總額 1 （億元）。 （2） Ct = 180 + 1.2Yt 其中， C 、Y 分別是城鎮(zhèn)居民消費支出和可支配收入。 （3） ln Yt = 1.15 + 1.62 ln Kt - 0.28ln Lt 其中， Y 、 K 、 L 分別是工業(yè)總產(chǎn)值、工業(yè)生產(chǎn)資金和職工人數(shù)。 1-19．下列假想的計量經(jīng)濟模型是否合理，為什么？ （1） GDP = a + bi GDPi + e 其中， GDPi (i = 1,2,3) 是第 i 產(chǎn)業(yè)的國內(nèi)生產(chǎn)總值。 （2） S1 = a + bS2 + e 其中， S1 、 S2 分別為農(nóng)村居民和城鎮(zhèn)居民年末儲蓄存款余額。 （3） Yt = a + b1 I t + b 2 Lt + e 其中， Y 、 I 、 L 分別為建筑業(yè)產(chǎn)值、建筑業(yè)固定資產(chǎn)投資和職工人數(shù)。 （4） Yt = a + bPt + e 其中， Y 、 P 分別為居民耐用消費品支出和耐用消費品物價指數(shù)。 （5）財政收入 = f (財政支出) + e （6）煤炭產(chǎn)量 = f (L, K, X1 , X 2 ) + e 其中， L 、 K 分別為煤炭工業(yè)職工人數(shù)和固定資產(chǎn)原值， X 1 、 X 2 分別為發(fā)電量和鋼鐵產(chǎn) 量。 1-20．模型參數(shù)對模型有什么意義？ 2 習題參考答案 第一章 緒論 1-1．什么是計量經(jīng)濟學？ 答：計量經(jīng)濟學是經(jīng)濟學的一個分支學科，是以揭示經(jīng)濟活動中客觀存在的數(shù)量關系為內(nèi)容 的分支學科，是由經(jīng)濟學、統(tǒng)計學和數(shù)學三者結合而成的交叉學科。 1-6．計量經(jīng)濟學的研究的對象和內(nèi)容是什么？計量經(jīng)濟學模型研究的經(jīng)濟關系有哪兩個基 本特征？ 3 答：計量經(jīng)濟學的研究對象是經(jīng)濟現(xiàn)象，是研究經(jīng)濟現(xiàn)象中的具體數(shù)量規(guī)律（或者說，計量 經(jīng)濟學是利用數(shù)學方法，根據(jù)統(tǒng)計測定的經(jīng)濟數(shù)據(jù)，對反映經(jīng)濟現(xiàn)象本質的經(jīng)濟數(shù)量關系進 行研究）。計量經(jīng)濟學的內(nèi)容大致包括兩個方面：一是方法論，即計量經(jīng)濟學方法或理論計 量經(jīng)濟學；二是應用，即應用計量經(jīng)濟學；無論是理論計量經(jīng)濟學還是應用計量經(jīng)濟學，都 包括理論、方法和數(shù)據(jù)三種要素。 計量經(jīng)濟學模型研究的經(jīng)濟關系有兩個基本特征：一是隨機關系；二是因果關系。 1-9．答：計量經(jīng)濟學模型主要有以下幾個方面的用途：①結構分析，即研究一個或幾個經(jīng) 濟變量發(fā)生變化及結構參數(shù)的變動對其他變量以至整個經(jīng)濟系統(tǒng)產(chǎn)生何種的影響；其原理是 彈性分析、乘數(shù)分析與比較靜力分析。②經(jīng)濟預測，即用其進行中短期經(jīng)濟的因果預測；其 原理是模擬歷史，從已經(jīng)發(fā)生的經(jīng)濟活動中找出變化規(guī)律；③政策評價，即利用計量經(jīng)濟模 型定量分析政策變量變化對經(jīng)濟系統(tǒng)運行的影響，是對不同政策執(zhí)行情況的“模擬仿真”。 ④檢驗與發(fā)展經(jīng)濟理論，即利用計量經(jīng)濟模型和實際統(tǒng)計資料實證分析某個理論假說的正確 與否；其原理是如果按照某種經(jīng)濟理論建立的計量經(jīng)濟模型可以很好地擬合實際觀察數(shù)據(jù)， 則意味著該理論是符合客觀事實的，否則則表明該理論不能說明客觀事實。 1-10．答： 5 第二章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：一元線性回歸模型 一、內(nèi)容提要 本章介紹了回歸分析的基本思想與基本方法。首先，本章從總體回歸模型與總體回歸 函數(shù)、樣本回歸模型與樣本回歸函數(shù)這兩組概念開始，建立了回歸分析的基本思想?？傮w回 歸函數(shù)是對總體變量間關系的定量表述，由總體回歸模型在若干基本假設下得到，但它只是 建立在理論之上，在現(xiàn)實中只能先從總體中抽取一個樣本，獲得樣本回歸函數(shù)，并用它對總 體回歸函數(shù)做出統(tǒng)計推斷。 本章的一個重點是如何獲取線性的樣本回歸函數(shù)，主要涉及到普通最小二乘法（OLS） 的學習與掌握。同時，也介紹了極大似然估計法（ML）以及矩估計法（MM）。 本章的另一個重點是對樣本回歸函數(shù)能否代表總體回歸函數(shù)進行統(tǒng)計推斷，即進行所 謂的統(tǒng)計檢驗。統(tǒng)計檢驗包括兩個方面，一是先檢驗樣本回歸函數(shù)與樣本點的“擬合優(yōu)度”， 第二是檢驗樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度。后者又包括兩個層次：第一，檢 驗解釋變量對被解釋變量是否存在著顯著的線性影響關系，通過變量的 t 檢驗完成；第二， 檢驗回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度，通過參數(shù)估計值的“區(qū)間檢驗”完成。 本章還有三方面的內(nèi)容不容忽視。其一，若干基本假設。樣本回歸函數(shù)參數(shù)的估計以 及對參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質的分析以及所進行的統(tǒng)計推斷都是建立在這些基本假設之上的。 其二，參數(shù)估計量統(tǒng)計性質的分析，包括小樣本性質與大樣本性質，尤其是無偏性、有效性 與一致性構成了對樣本估計量優(yōu)劣的最主要的衡量準則。Goss-markov 定理表明 OLS 估計量 是最佳線性無偏估計量。其三，運用樣本回歸函數(shù)進行預測，包括被解釋變量條件均值與個 值的預測，以及預測置信區(qū)間的計算及其變化特征。 二、典型例題分析 例 6．對于人均存款與人均收入之間的關系式 St = a + bYt + mt 使用美國 36 年的年度數(shù) 據(jù)得如下估計模型，括號內(nèi)為標準差： ?t 384.105 0.067 t S = + Y (151.105) (0.011) R2 ＝0.538 s? = 199.023 （1） b 的經(jīng)濟解釋是什么？ （2）a 和 b 的符號是什么？為什么？實際的符號與你的直覺一致嗎？如果有沖突的話， 你可以給出可能的原因嗎？ （3）對于擬合優(yōu)度你有什么看法嗎？ （4）檢驗是否每一個回歸系數(shù)都與零顯著不同（在 1%水平下）。同時對零假設和備擇假設、檢驗統(tǒng)計值、其分布和自由度以及拒絕零假設的標準進行陳述。你的結論是什么？ 解答： （1） b 為收入的邊際儲蓄傾向，表示人均收入每增加 1 美元時人均儲蓄的預期平均變 化量。 （2）由于收入為零時，家庭仍會有支出，可預期零收入時的平均儲蓄為負，因此a 符 號應為負。儲蓄是收入的一部分，且會隨著收入的增加而增加，因此預期 b 的符號為正。 實際的回歸式中， b 的符號為正，與預期的一致。但截距項為負，與預期不符。這可能與 由于模型的錯誤設定形造成的。如家庭的人口數(shù)可能影響家庭的儲蓄形為，省略該變量將對 截距項的估計產(chǎn)生影響；另一種可能就是線性設定可能不正確。 （3）擬合優(yōu)度刻畫解釋變量對被解釋變量變化的解釋能力。模型中 53.8%的擬合優(yōu)度， 表明收入的變化可以解釋儲蓄中 53.8 %的變動。 （4）檢驗單個參數(shù)采用 t 檢驗，零假設為參數(shù)為零，備擇假設為參數(shù)不為零。雙變量 情形下在零假設下 t 分布的自由度為 n-2=36-2=34。由 t 分布表知，雙側 1%下的臨界值位于 2.750 與 2.704 之間。斜率項計算的 t 值為 0.067/0.011=6.09，截距項計算的 t 值為 384.105/151.105=2.54?？梢娦甭薯椨嬎愕?t 值大于臨界值，截距項小于臨界值，因此拒絕 斜率項為零的假設，但不拒絕截距項為零的假設。 三、習題 6 （一）基本知識類題型 2-1．解釋下列概念： 1) 總體回歸函數(shù) 11) 最大似然法 2) 樣本回歸函數(shù) 12) 估計量的標準差 3) 隨機的總體回歸函數(shù) 13) 總離差平方和 4) 線性回歸模型 14) 回歸平方和 5) 隨機誤差項（ui）和殘差項（ei） 15) 殘差平方和 6) 條件期望 16) 協(xié)方差 7) 非條件期望 17) 擬合優(yōu)度檢驗 8) 回歸系數(shù)或回歸參數(shù) 18) t 檢驗 9) 回歸系數(shù)的估計量 19) F 檢驗 10) 最小平方法 2-2．判斷正誤并說明理由： 1) 隨機誤差項ui和殘差項ei是一回事 2) 總體回歸函數(shù)給出了對應于每一個自變量的因變量的值 3) 線性回歸模型意味著變量是線性的 4) 在線性回歸模型中，解釋變量是原因，被解釋變量是結果 5) 隨機變量的條件均值與非條件均值是一回事 2-3．回答下列問題： 1) 線性回歸模型有哪些基本假設？違背基本假設的計量經(jīng)濟學模型是否就不可估計？ 2) 總體方差與參數(shù)估計誤差的區(qū)別與聯(lián)系。 3) 隨機誤差項ui和殘差項ei的區(qū)別與聯(lián)系。 4) 根據(jù)最小二乘原理，所估計的模型已經(jīng)使得擬合誤差達到最小，為什么還要討論模型的擬合優(yōu)度問題？ 5) 為什么用決定系數(shù)R2評價擬合優(yōu)度，而不用殘差平方和作為評價標準？ 6) R2 檢驗與 F 檢驗的區(qū)別與聯(lián)系。 7) 回歸分析與相關分析的區(qū)別與聯(lián)系。 7 8) 最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么？說明它們有何區(qū)別？ 9) 為什么要進行解釋變量的顯著性檢驗？ 10) 是否任何兩個變量之間的關系，都可以用兩變量線性回歸模型進行分析？ 2-2．下列方程哪些是正確的？哪些是錯誤的？為什么？ ⑴ y t = a + b x t t = 1,2, , n ⑵ y t = a + b x t + mt t = 1,2, , n ⑶ y t + mt t = 1,2, , n = a + b x t ⑷ y = a + b x t + m t t = 1,2, , n t ⑸ y t = a + b x t t = 1,2, , n ⑹ y = a + b x t t = 1,2, , n t ⑺ y t = a + b x t + mt t = 1,2, , n ⑻ y = a + b x t + m t = 1,2, , n t t 其中帶“＾”者表示“估計值”。 （二）基本證明與問答類題型 2-4．對于一元線性回歸模型，試證明： （1） E( yi ) = a + bxi （2） D( yi ) = s 2 8 （3） Cov( yi , y j ) = 0 i j 2-12．線性回歸模型 y t = a + b x t + mt t = 1,2, , n 的 0 均值假設是否可以表示為 1 n mt = 0 ？為什么？ n t =1 （三）基本計算類題型 2-21．下面數(shù)據(jù)是對 X 和 Y 的觀察值得到的。 ∑Yi=1110； ∑Xi=1680； ∑XiYi=204200 ∑Xi2=315400； ∑Yi2=133300 假定滿足所有的古典線性回歸模型的假設，要求：（1）b1和b2？（2）b1和b2的標準差？（3） r2？（4）對B1、B2分別建立 95%的置信區(qū)間？利用置信區(qū)間法，你可以接受零假設：B2=0 嗎？ 四、習題參考答案 2-1．答： ⑴總體回歸函數(shù)是指在給定 X i 下的Y 的分布的總體均值與 X i 有函數(shù)關系。 ⑵樣本回歸函數(shù)指對應于某個給定的 X 的Y 值的一個樣本而建立的回歸函數(shù)。 ⑶ 隨機的總體回歸函數(shù)指含有隨機誤差項的總體回歸函數(shù)，形如： Yi = b1 + b2 X i + ui ⑷線性回歸模型指對參數(shù) b 為線性的回歸，即 b 只以它的 1 次方出現(xiàn)，對 X 可以是或 不是線性的。 ⑸隨機誤差項也稱誤差項，是一個隨機變量，針對總體回歸函數(shù)而言。 14 ⑹殘差項是一隨機變量，針對樣本回歸函數(shù)而言。 ⑺條件期望又稱條件均值，指 X 取特定 X i 值時的Y 的期望值。 ⑼回歸系數(shù)（或回歸參數(shù)）指 b1 、 b2 等未知但卻是固定的參數(shù)。 ⑽回歸系數(shù)的估計量指用 b1 、 b2 等表示的用已知樣本所提供的信息去估計出來的量。 ⒀估計量的標準差指度量一個變量變化大小的標準。 ⒁總離差平方和用 TSS 表示，用以度量被解釋變量的總變動。 ⒂回歸平方和用 ESS 表示，用以度量由解釋變量變化引起的被解釋變量的變化。 ⒃殘差平方和用 RSS 表示，用以度量實際值與擬合值之間的差異，是由除解釋變量以外的其他因素引起的。 ⒄協(xié)方差用 Cov（X，Y）表示，是用來度量 X、Y 二個變量同時變化的統(tǒng)計量。 2-2．答：錯；錯；錯；錯；錯。（理由見本章其他習題答案） 15 2-14．答：線性回歸模型： yt = a + b xt + mt 中的 0 均值假設 E(u 2 ) = 0 不可以表示為： 1 n mt = 0 ，因為前者表示取完所的可能的樣本組合后的平均狀態(tài)，而后者只是一個樣本的 n t =1 平均值。 20 第三章、經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：多元線性回歸模型 一、內(nèi)容提要 本章將一元回歸模型拓展到了多元回歸模型，其基本的建模思想與建模方法與一元的 情形相同。主要內(nèi)容仍然包括模型的基本假定、模型的估計、模型的檢驗以及模型在預測方 面的應用等方面。只不過為了多元建模的需要，在基本假設方面以及檢驗方面有所擴充。 本章仍重點介紹了多元線性回歸模型的基本假設、估計方法以及檢驗程序。與一元回 歸分析相比，多元回歸分析的基本假設中引入了多個解釋變量間不存在（完全）多重共線性 這一假設；在檢驗部分，一方面引入了修正的可決系數(shù)，另一方面引入了對多個解釋變量是 否對被解釋變量有顯著線性影響關系的聯(lián)合性 F 檢驗，并討論了 F 檢驗與擬合優(yōu)度檢驗的 內(nèi)在聯(lián)系。 本章的另一個重點是將線性回歸模型拓展到非線性回歸模型，主要學習非線性模型如 何轉化為線性回歸模型的常見類型與方法。這里需要注意各回歸參數(shù)的具體經(jīng)濟含義。 本章第三個學習重點是關于模型的約束性檢驗問題，包括參數(shù)的線性約束與非線性約 束檢驗。參數(shù)的線性約束檢驗包括對參數(shù)線性約束的檢驗、對模型增加或減少解釋變量的檢 驗以及參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗三方面的內(nèi)容，其中參數(shù)穩(wěn)定性檢驗又包括鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗與 鄒氏預測檢驗兩種類型的檢驗。檢驗都是以 F 檢驗為主要檢驗工具，以受約束模型與無約 束模型是否有顯著差異為檢驗基點。參數(shù)的非線性約束檢驗主要包括最大似然比檢驗、沃爾 德檢驗與拉格朗日乘數(shù)檢驗。它們?nèi)砸怨烙嫙o約束模型與受約束模型為基礎，但以最大似然 原理進行估計，且都適用于大樣本情形，都以約束條件個數(shù)為自由度的 c 2 分布為檢驗統(tǒng)計 量的分布特征。非線性約束檢驗中的拉格朗日乘數(shù)檢驗在后面的章節(jié)中多次使用。 二、典型例題分析 例 1．某地區(qū)通過一個樣本容量為 722 的調(diào)查數(shù)據(jù)得到勞動力受教育的一個回歸方程為 edu = 10.36 - 0.094sibs + 0.131medu + 0.210 fedu R2=0.214 式中，edu 為勞動力受教育年數(shù)，sibs 為該勞動力家庭中兄弟姐妹的個數(shù)，medu 與 fedu 分別為母親與父親受到教育的年數(shù)。問 （1）sibs 是否具有預期的影響？為什么？若 medu 與 fedu 保持不變，為了使預測的受教育水平減少一年，需要 sibs 增加多少？ （2）請對 medu 的系數(shù)給予適當?shù)慕忉尅? （3）如果兩個勞動力都沒有兄弟姐妹，但其中一個的父母受教育的年數(shù)為 12 年，另一個的父母受教育的年數(shù)為 16 年，則兩人受教育的年數(shù)預期相差多少？ 解答： （1）預期 sibs 對勞動者受教育的年數(shù)有影響。因此在收入及支出預算約束一定的條件下，子女越多的家庭，每個孩子接受教育的時間會越短。 根據(jù)多元回歸模型偏回歸系數(shù)的含義，sibs 前的參數(shù)估計值-0.094 表明，在其他條件不變的情況下，每增加 1 個兄弟姐妹，受教育年數(shù)會減少 0.094 年，因此，要減少 1 年受教育的時間，兄弟姐妹需增加 1/0.094=10.6 個。 （2）medu 的系數(shù)表示當兄弟姐妹數(shù)與父親受教育的年數(shù)保持不變時，母親每增加 1 年受教育的機會，其子女作為勞動者就會預期增加 0.131 年的教育機會。 （3）首先計算兩人受教育的年數(shù)分別為 10.36+0.13112+0.21012=14.452 10.36+0.13116+0.21016=15.816 因此，兩人的受教育年限的差別為 15.816-14.452=1.364 例 2．以企業(yè)研發(fā)支出（R&D）占銷售額的比重為被解釋變量（Y），以企業(yè)銷售額（X1）與利潤占銷售額的比重（X2）為解釋變量，一個有 32 容量的樣本企業(yè)的估計結果如下： Y = 0.472 + 0.32 log(X1 ) + 0.05X 2 (1.37) (0.22) (0.046) R2 = 0.099 其中括號中為系數(shù)估計值的標準差。 （1）解釋 log(X1)的系數(shù)。如果 X1 增加 10%，估計 Y 會變化多少個百分點？這在經(jīng)濟上是一個很大的影響嗎？ （2）針對 R&D 強度隨銷售額的增加而提高這一備擇假設，檢驗它不雖 X1 而變化的假設。分別在 5%和 10%的顯著性水平上進行這個檢驗。 （3）利潤占銷售額的比重 X2 對 R&D 強度 Y 是否在統(tǒng)計上有顯著的影響？ 解答： （1）log(x1)的系數(shù)表明在其他條件不變時，log(x1)變化 1 個單位，Y 變化的單位數(shù)，即DY=0.32Dlog(X1)0.32(DX1/X1)=0.32100%，換言之，當企業(yè)銷售 X1 增長 100%時，企業(yè)研發(fā)支出占銷售額的比重 Y 會增加 0.32 個百分點。由此，如果 X1 增加 10%，Y 會增加 0.032 個百分點。這在經(jīng)濟上不是一個較大的影響。 （2）針對備擇假設 H1： b1 > 0 ，檢驗原假設 H0： b1 = 0 。易知計算的 t 統(tǒng)計量的值 為 t=0.32/0.22=1.468。在 5%的顯著性水平下，自由度為 32-3=29 的 t 分布的臨界值為 1.699 （單側），計算的 t 值小于該臨界值，所以不拒絕原假設。意味著 R&D 強度不隨銷售額的增加而變化。在 10%的顯著性水平下，t 分布的臨界值為 1.311，計算的 t 值小于該值，拒絕原假設，意味著 R&D 強度隨銷售額的增加而增加。 （3）對 X2，參數(shù)估計值的 t 統(tǒng)計值為 0.05/0.46=1.087，它比在 10%的顯著性水平下的臨界值還小，因此可以認為它對 Y 在統(tǒng)計上沒有顯著的影響。 例 3．下表為有關經(jīng)批準的私人住房單位及其決定因素的 4 個模型的估計量和相關統(tǒng)計值（括號內(nèi)為 p-值）（如果某項為空，則意味著模型中沒有此變量）。數(shù)據(jù)為美國 40 個城市的數(shù)據(jù)。模型如下： hou sin g = b0 + b1density + b2 value + b3income + b4 popchang + b5unemp + b6localtax + b7 statetax + m 式中 housing——實際頒發(fā)的建筑許可證數(shù)量，density——每平方英里的人口密度，value— —自由房屋的均值（單位：百美元），income——平均家庭的收入（單位：千美元），popchang ——1980~1992 年的人口增長百分比，unemp——失業(yè)率，localtax——人均交納的地方稅，statetax——人均繳納的州稅 變量 模型 A 模型 B 模型 C 模型 D C 813 (0.74) -392 (0.81) -1279 (0.34) -973 (0.44) Density 0.075 (0.43) 0.062 (0.32) 0.042 (0.47) Value -0.855 (0.13) -0.873 (0.11) -0.994 (0.06) -0.778 (0.07) Income 110.41 (0.14) 133.03 (0.04) 125.71 (0.05) 116.60 (0.06) Popchang 26.77 (0.11) 29.19 (0.06) 29.41 (0.001) 24.86 (0.08) Unemp -76.55 (0.48) Localtax -0.061 (0.95) Statetax -1.006 (0.40) -1.004 (0.37) RSS 4.763e+7 4.843e+7 4.962e+7 5.038e+7 R2 0.349 0.338 0.322 0.312 s? 2 1.488e+6 1.424e+6 1.418e+6 1.399e+6 AIC 1.776e+6 1.634e+6 1.593e+6 1.538e+6 （1）檢驗模型 A 中的每一個回歸系數(shù)在 10%水平下是否為零（括號中的值為雙邊備擇 p- 值）。根據(jù)檢驗結果，你認為應該把變量保留在模型中還是去掉？ （2）在模型A中，在 10%水平下檢驗聯(lián)合假設H0：bi =0(i=1,5,6,7)。說明被擇假設，計算檢驗統(tǒng)計值，說明其在零假設條件下的分布，拒絕或接受零假設的標準。說明你的結論。 （3）哪個模型是“最優(yōu)的”？解釋你的選擇標準。 （4）說明最優(yōu)模型中有哪些系數(shù)的符號是“錯誤的”。說明你的預期符號并解釋原因。確認其是否為正確符號。 解答： （1）直接給出了 P-值，所以沒有必要計算 t-統(tǒng)計值以及查 t 分布表。根據(jù)題意，如果p-值<0.10,則我們拒絕參數(shù)為零的原假設。 由于表中所有參數(shù)的 p-值都超過了 10%，所以沒有系數(shù)是顯著不為零的。但由此去掉所有解釋變量，則會得到非常奇怪的結果。其實正如我們所知道的，多元回去歸中在省略變量時一定要謹慎，要有所選擇。本例中，value、income、popchang 的 p-值僅比 0.1 稍大一點，在略掉 unemp、localtax、statetax 的模型 C 中，這些變量的系數(shù)都是顯著的。 （ 2 ）針對聯(lián)合假設 H0 ： bi =0(i=1,5,6,7) 的備擇假設為 H1 ： bi =0(i=1,5,6,7) 中至少有一個不為零。檢驗假設H0，實際上就是參數(shù)的約束性檢驗，非約束模型為模型A， 約束模型為模型D，檢驗統(tǒng)計值為 F = (RSSR - RSSU ) /(kU - kR ) = (5.038e + 7 - 4.763e + 7) /(7 - 3) = 0.462 RSSU /(n - kU -1) (4.763e + 7) /(40 - 8) 顯然，在 H0 假設下，上述統(tǒng)計量滿足 F 分布，在 10%的顯著性水平下，自由度為（4，32）的 F 分布的臨界值位于 2.09 和 2.14 之間。顯然，計算的 F 值小于臨界值，我們不能拒絕 H0，所以βi(i=1,5,6,7)是聯(lián)合不顯著的。 (3）模型 D 中的 3 個解釋變量全部通過顯著性檢驗。盡管 R2 與殘差平方和較大，但相對來說其 AIC 值最低，所以我們選擇該模型為最優(yōu)的模型。 （4）隨著收入的增加，我們預期住房需要會隨之增加。所以可以預期β3>0，事實上其估計值確是大于零的。同樣地，隨著人口的增加，住房需求也會隨之增加，所以我們預期β 4>0，事實其估計值也是如此。隨著房屋價格的上升，我們預期對住房的需求人數(shù)減少，即我們預期β3 估計值的符號為負，回歸結果與直覺相符。出乎預料的是，地方稅與州稅為不顯著的。由于稅收的增加將使可支配收入降低，所以我們預期住房的需求將下降。雖然模型 A 是這種情況，但它們的影響卻非常微弱。 4、在經(jīng)典線性模型基本假定下，對含有三個自變量的多元回歸模型： Y = b0 + b1 X1 + b2 X 2 + b3 X 3 + m 你想檢驗的虛擬假設是 H0： b1 - 2b2 = 1 。 ? ? ? ? （1）用 b1 , b2 的方差及其協(xié)方差求出Var(b1 - 2b2 ) 。 （2）寫出檢驗 H0： b1 - 2b2 = 1 的 t 統(tǒng)計量。 （3）如果定義 b1 - 2b2 = q ，寫出一個涉及b0、q、b2和b3的回歸方程，以便能直接得 到q估計值q? 及其標準誤。 解答： （1）由數(shù)理統(tǒng)計學知識易知 ? ? ? ? ? ? Var(b1 - 2b2 ) = Var(b1 ) - 4Cov(b1 , b2 ) + 4Var(b2 ) （2）由數(shù)理統(tǒng)計學知識易知 ? ? ? ? ? ? b1 - 2b2 -1 t = ? ? 2 ) ，其中 se(b1 - 2b2 ) 為 (b1 - 2b2 ) 的標準差。 se(b1 - 2b （3）由 b1 - 2b2 = q 知 b1 = q + 2b2 ，代入原模型得 Y = b0 + (q + 2b2 ) X1 + b2 X 2 + b3 X 3 + m = b0 + qX1 + b2 (2X1 + X 2 ) + b3 X 3 + m 這就是所需的模型，其中q估計值q? 及其標準誤都能通過對該模型進行估計得到。 三、習題 （一）基本知識類題型 3-1．解釋下列概念： 1) 多元線性回歸 6) 參數(shù)估計量的置信區(qū)間 2) 虛變量 7) 被解釋變量預測值的置信區(qū)間 3) 正規(guī)方程組 8) 受約束回歸 4) 無偏性 9) 無約束回歸 5) 一致性 10) 參數(shù)穩(wěn)定性檢驗 3-2．觀察下列方程并判斷其變量是否呈線性？系數(shù)是否呈線性？或都是？或都不是？ 1) Yi = b0 + b1 X i3 + e i 2) Yi = b0 + b1 log X i + e i 3) logYi = b0 + b1 log X i + e i 4) Yi = b0 + b1 (b2 X i ) + e i b 5) Yi = b1 X0 i + e i 6) Y = 1 + b 0 (1 - X b1 ) + e i i i 7) Yi = b0 + b1 X1i + b2 X 2i 10 + e i 3-3．多元線性回歸模型與一元線性回歸模型有哪些區(qū)別？ 3-4．為什么說最小二乘估計量是最優(yōu)的線性無偏估計量？多元線性回歸最小二乘估計的正 規(guī)方程組，能解出唯一的參數(shù)估計的條件是什么？ 3-5．多元線性回歸模型的基本假設是什么？試說明在證明最小二乘估計量的無偏性和有效 性的過程中，哪些基本假設起了作用？ 3-6．請說明區(qū)間估計的含義。 （二）基本證明與問答類題型 3-7．什么是正規(guī)方程組？分別用非矩陣形式和矩陣形式寫出模型： yi = b0 + b1 x1i + b2 x2i + + bk xki + ui ， i = 1,2, , n 的正規(guī)方程組，及其推導過程。 3-8．對于多元線性回歸模型，證明： （1） ei = 0 （ ） ? = ( ? ? + ? = b 0 + b 1 x1i + b k xki )ei 0 2 yi ei 3-9．為什么從計量經(jīng)濟學模型得到的預測值不是一個確定的值？預測值的置信區(qū)間和置信 度的含義是什么？在相同的置信度下如何才能縮小置信區(qū)間？為什么？ 3-10．在多元線性回歸分析中， t 檢驗與 F 檢驗有何不同？在一元線性回歸分析中二者是否 有等價的作用？ 3-11．設有模型： y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + u ，試在下列條件下： （1） b1 + b2 = 1 （2） b1 = b2 分別求出 b1 和 b2 的最小二乘估計量。 3-12．多元線性計量經(jīng)濟學模型 y i = b0 + b1 x1i + b2 x 2 i + + bk xki + mi i = 1,2,…,n (2.11.1) 的矩陣形式是什么？其中每個矩陣的含義是什么？熟練地寫出用矩陣表示的該模型的普通 最小二乘參數(shù)估計量，并證明在滿足基本假設的情況下該普通最小二乘參數(shù)估計量是無偏和 有效的估計量。 3-13．有如下生產(chǎn)函數(shù)： ln X = 1.37 + 0.632 ln K + 0.452 ln L （0.257） (0.219) R2 = 0.98 Cov(bK , bL ) = 0.055 其中括號內(nèi)數(shù)值為參數(shù)標準差。請檢驗以下零假設： （1）產(chǎn)出量的資本彈性和勞動彈性是等同的； （2）存在不變規(guī)模收益，即a + b = 1 。 3-14．對模型 yi = b0 + b1 x1i + b2 x2i + + bk xki + ui 應用 OLS 法，得到回歸方程如下： ? ? ? ? + ? = b 0 + b 1 x1i + b 2 x2i + b k xki yi 要求：證明殘差 ei = yi - y?i 與 y?i 不相關，即： y?iei = 0 。 3-15． 3-16．考慮下列兩個模型： Ⅰ、 yi = b1 + b2 x2i + b3 x3i + ui Ⅱ、 ( yi - x2i ) = a1 + a2 x2i + a3 x3i + ui ? ? ，a?3 ? 要求：（1）證明：a?2 = b2 - 1 ，a?1 = b1 = b3 （2）證明：殘差的最小二乘估計量相同，即： u?i = u?i （3）在何種情況下，模型Ⅱ的擬合優(yōu)度 R22 會小于模型Ⅰ擬合優(yōu)度 R12 。 （三）基本計算類題型 3-20．試對二元線性回歸模型：Yi = b0 + b1 X1i + b2 X 2i + ui ，（ i = 1,2, , n ）作回歸分 ? ? ? ； 析，要求：（1）求出未知參數(shù) b0 , b1 , b2 的最小二乘估計量 b0 , b1 , b2 （2）求出隨機誤差項 u 的方差 s 2 的無偏估計量；（3）對樣本回歸方程作擬合優(yōu)度檢驗；（4）對總體回歸方程的顯著性進行 F 檢驗； （5）對 b1 , b2 的顯著性進行 t 檢驗； （6）當 X 0 = (1, X10 , X 20 ) 時，寫出 E(Y0 | X 0 ) 和Y0的置信度為 95%的預測區(qū)間。 3-21．下表給出三變量模型的回歸結果： 方差來源 平方和（SS） 自由度（d.f.） 平方和的均值(MSS) 來自回歸 65965 — — 來自殘差 — — — 總離差(TSS) 66042 14 要求：（1）樣本容量是多少？（2）求 RSS？ （3）ESS 和 RSS 的自由度各是多少？ （4）求 R2 和 R2 ？ （5）檢驗假設： X 2 和 X 3 對 Y 無影響。你用什么假設檢驗？為什么？ （6）根據(jù)以上信息，你能否確定 X 2 和 X 3 各自對 Y 的貢獻嗎？ 3-22．下面給出依據(jù) 15 個觀察值計算得到的數(shù)據(jù)： Y = 367.693 ， X 2 = 402.760 ， X 3 = 8.0 ， yi2 = 66042.269 x22i = 84855.096 ， x32i = 280.0 ， yi x2i = 74778.346 yi x3i = 4250.9 ， x2i x3i = 4796.0 其中小寫字母代表了各值與其樣本均值的離差。 要求：（1）估計三個多元回歸系數(shù)； （2）估計它們的標準差；并求出 R 2 與 R2 ？ （3）估計 B2 、 B3 95%的置信區(qū)間；（4）在a = 5% 下，檢驗估計的每個回歸系數(shù)的統(tǒng)計顯著性（雙邊檢驗）； （5）檢驗在a = 5% 下所有的部分系數(shù)都為零，并給出方差分析表。 3-23．考慮以下方程（括號內(nèi)為估計標準差）： W?i = 8.562 + 0.364Pt + 0.004Pt-1 - 2.560Ut （0.080） (0.072) (0.658) n = 19 R2 = 0.873 其中：W —— t 年的每位雇員的工資和薪水 P —— t 年的物價水平 U —— t 年的失業(yè)率 要求：（1）對個人收入估計的斜率系數(shù)進行假設檢驗；（盡量在做本題之前不參考結果） （2）討論 Pt -1 在理論上的正確性，對本模型的正確性進行討論； Pt -1 是否應從方程中 刪除？為什么？ 3-24．下表是某種商品的需求量、價格和消費者收入十年的時間序列資料： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 需求量 59190 65450 62360 64700 67400 64440 68000 72400 75710 70680 價 格 23.56 24.44 32.07 32.46 31.15 34.14 35.30 38.70 39.63 46.68 收入 76200 91200 106700 111600 119000 129200 143400 159600 180000 193000 要求：（1）已知商品需求量 Y 是其價格 X1 和消費者收入 X 2 的函數(shù)，試求 Y 對 X1 和 X 2 的最 ? ? ? ? 小二乘回歸方程：Y = b0 + b1 X1 + b2 X 2 （2）求 Y 的總變差中未被 X1 和 X 2 解釋的部分，并對回歸方程進行顯著性檢驗； ? ? （3）對回歸參數(shù) b1 ， b2 進行顯著性 t 檢驗。 3-25．參考習題 2-28 給出的數(shù)據(jù)，要求： （1）建立一個多元回歸模型，解釋 MBA 畢業(yè)生的平均初職工資，并且求出回歸結果； （2）如果模型中包括了 GPA 和 GMAT 分數(shù)這兩個解釋變量，先驗地，你可能會遇到什么 問題，為什么？ （3）如果學費這一變量的系數(shù)為正、并且在統(tǒng)計上是顯著的，是否表示進入最昂貴的商業(yè) 學校是值得的。學費這個變量可用什么來代替？ 3-26．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，學生用于購買書籍及課外讀物的支出與本人受教育年限和其家庭收入水 平有關，對 18 名學生進行調(diào)查的統(tǒng)計資料如下表所示： 學生 購買書籍及課外 受教育年限 家庭月可支配收 序號 讀物支出 Y （元/ X1 （年） 入 X 2 （元/月） 1 450.5 4 171.2 2 507.7 4 174.2 3 613.9 5 204.3 4 563.4 4 218.7 5 501.5 4 219.4 6 781.5 7 240.4 7 541.8 4 273.5 8 611.1 5 294.8 9 1222.1 10 330.2 10 793.2 7 333.1 11 660.8 5 366.0 12 792.7 6 350.9 13 580.8 4 357.9 14 612.7 5 359.0 15 890.8 7 371.9 16 1121.0 9 435.3 17 1094.2 8 523.9 18 1253.0 10 604.1 要求： （1）試求出學生購買書籍及課外讀物的支出 Y 與受教育年限 X1 和家庭收入水平 X 2 的估計 ? ? ? ? 的回歸方程：Y = b0 + b1 X1 + b2 X 2 （2）對 b1 , b2 的顯著性進行 t 檢驗；計算 R2 和 R 2 ； （3）假設有一學生的受教育年限 X1 = 10 年，家庭收入水平 X 2 = 480元/月，試預測該學生全 年購買書籍及課外讀物的支出，并求出相應的預測區(qū)間（α=0.05）。 3-27．根據(jù) 100 對( x1 ， y )的觀察值計算出： x12 = 12 xy = -9 y2 = 30 要求： （1）求出一元模型 y = b0 + b1 x1 + u 中的 b1 的最小二乘估計量及其相應的標準差估計量； （2）后來發(fā)現(xiàn) y 還受 x2 的影響，于是將一元模型改為二元模型 y = a 0 + a1 x1 + a 2 x2 + v ， 收集 x2 的相應觀察值并計算出： x22 = 6 x2 y = 8 x1 x2 = 2 求二元模型中的a1 ，a 2 的最小二乘估計量及其相應的標準差估計量； ? 是否相等？為什么？ （3）一元模型中的 b1 與二元模型中的a?1 3-28．考慮以下預測的回歸方程： Y? = -120 + 0.10F + 5.33RS 2 = 0.50 t R t t 其中： Yt ——第 t 年的玉米產(chǎn)量（蒲式耳/畝） Ft ——第 t 年的施肥強度（磅/畝） RSt ——第 t 年的降雨量（英寸） 要求回答下列問題： （1）從 F 和 RS 對 Y 的影響方面，說出本方程中系數(shù) 0.10 和 5.33 的含義； （2）常數(shù)項 -120 是否意味著玉米的負產(chǎn)量可能存在？ （3）假定 b F 的真實值為 0.40 ，則估計值是否有偏？為什么？ （4）假定該方程并不滿足所有的古典模型假設，即并不是最佳線性無偏估計值，則是否意 味著 b RS 的真實值絕對不等于 5.33 ？為什么？ 3-29．已知線性回歸模型 Y = XB + U 式中 U ~ （0，s 2 I ）， n = 13 且 k = 3（ n 為樣本 容量， k 為參數(shù)的個數(shù)），由二次型 (Y - XB)(Y - XB) 的最小化得到如下線性方程組： ? ? 2 + ? = 3 b1 + 2b b3 ? ? ? = 9 2b1 + 5b2 + b3 ? ? + ? b1 + b2 6b3 = -8 要求：（1）把問題寫成矩陣向量的形式；用求逆矩陣的方法求解之； （2）如果 YY = 53 ，求s? 2 ； ? （3）求出 b 的方差—協(xié)方差矩陣。 3-30．已知數(shù)據(jù)如下表： Y X1 X 2 1 1 10 3 2 9 8 3 5 15 4 1 28 5 -6 要求：（1）先根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計以下回歸模型的方程（只估計參數(shù)不用估計標準差）： yi = a 0 + a1 x1i + u1i yi = l0 + l2 x2i + u2i yi = b0 + b1 x1i + b2 x2i + ui （2）回答下列問題：a1 = b1 嗎？為什么？ l2 = b2 嗎？為什么？ （四）自我綜合練習類題型 3-31．自己選擇研究對象(最好是一個實際經(jīng)濟問題)，收集樣本數(shù)據(jù)，應用計量經(jīng)濟學軟件 （建議使用 Eviews3.1），完成建立多元線性計量經(jīng)濟模型的全過程，并寫出詳細研究報告。 四、習題參考答案 （一）基本知識類題型 3-1．解釋下列概念（1）在現(xiàn)實經(jīng)濟活動中往往存在一個被解釋變量受到多個解釋變量的影響的現(xiàn)象， 表現(xiàn)為在線性回歸模型中有多個解釋變量，這樣的模型被稱為多元線性回歸模型，多元 指多個解釋變量。 CU = CC ? （2）形如 B 的關于參數(shù)估計值的線性代數(shù)方程組稱為正規(guī)方程組。 3-2．答：變量非線性、系數(shù)線性；變量、系數(shù)均線性；變量、系數(shù)均線性；變量線 性、系數(shù)非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為線 性。 3-3．答：多元線性回歸模型與一元線性回歸模型的區(qū)別表現(xiàn)在如下幾方面：一是解 釋變量的個數(shù)不同；二是模型的經(jīng)典假設不同，多元線性回歸模型比一元線性回歸模型 多了“解釋變量之間不存在線性相關關系”的假定；三是多元線性回歸模型的參數(shù)估計 式的表達更復雜； 3-4．在多元線性回歸模型中，參數(shù)的最小二乘估計量具備線性、無偏性、最小方差 性，同時多元線性回歸模型滿足經(jīng)典假定，所以此時的最小二乘估計量是最優(yōu)的線性無 偏估計量，又稱 BLUE 估計量。對于多元線性回歸最小二乘估計的正規(guī)方程組， 3-5．答：多元線性回歸模型的基本假定有：零均值假定、隨機項獨立同方差假定、 解釋變量的非隨機性假定、解釋變量之間不存在線性相關關系假定、隨機誤差項 ui 服從 均值為 0 方差為s 2 的正態(tài)分布假定。在證明最小二乘估計量的無偏性中，利用了解釋 變量與隨機誤差項不相關的假定；在有效性的證明中，利用了隨機項獨立同方差假定。 3-6．答：區(qū)間估計是指研究用未知參數(shù)的點估計值（從一組樣本觀測值算得的）作 為近似值的精確程度和誤差范圍。 （二）基本證明與問答類題型 3-7．答：含有待估關系估計量的方程組稱為正規(guī)方程組。 正規(guī)方程組的非矩陣形式如下： ? 0 +? ? ? ? y i - (b b1 x?1i + b2 x?2i + + bk x?ki ) = 0 y i x1i - (b0 + b1 x1i + b2 x2i + + bk xki )x1i ? + ? ? ? y i x2i - (b0 b1 x1i + b2 x2i + + bk xki )x2i ? ? ? ? y i xki - + (b0 b1 x1i + b2 x2i + + bk xki )xki 正規(guī)方程組的矩陣形式如下：  = 0 = 0 = 0 CU = CC ? B 推導過程略。 3-16．解： （1）證明：由參數(shù)估計公式可得下列參數(shù)估計值 x2i ( yi - x2i ) x2i x3i a?2 = x3i ( yi - x2i ) x32i x22i x 2i x3i x2i x3i x32i x2i yi x2i x3i x22i x2i x3i