《同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第09章 重積分》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第09章 重積分（22頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

. 第九章 重積分 教學(xué)目的： 1. 理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。 2. 掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。 3. 掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。 8、會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。 教學(xué)重點(diǎn)： 1、 二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）； 2、 三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。 3、二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn)： 1、 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分； 2、 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分； 3、 物理應(yīng)用中的引力問題。 9. 1 二重積分的概念與性質(zhì) 一、二重積分的概念 1. 曲頂柱體的體積 設(shè)有一立體, 它的底是xOy面上的閉區(qū)域D, 它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面, 它的頂是曲面z=f(x, y), 這里f(x, y)0且在D上連續(xù). 這種立體叫做曲頂柱體. 現(xiàn)在我們來討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積. 首先, 用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域 Ds 1, Ds 2, , Ds n . 分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線, 作母線平行于z軸的柱面, 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體. 在每個(gè)Ds i中任取一點(diǎn)(x i , h i), 以f (x i , h i)為 高而底為Ds i的平頂柱體的體積為 f (x i , h i) Dsi (i=1, 2, , n ). 這個(gè)平頂柱體體積之和 . 可以認(rèn)為是整個(gè)曲頂柱體體積的近似值. 為求得曲頂柱體體積的精確值, 將分割加密, 只需取極限, 即 . 其中l(wèi)是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值. 2. 平面薄片的質(zhì)量. 設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D, 它在點(diǎn)(x, y)處的面密度為r(x, y), 這里r(x, y)>0且在D上連續(xù). 現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M. 用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域 Ds 1, Ds 2, , Ds n . 把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量: r(x i , h i)Ds i . 各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值: . 將分割加細(xì), 取極限, 得到平面薄片的質(zhì)量 . 其中l(wèi)是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值. 定義 設(shè)f(x, y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù). 將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域 Ds 1, Ds 2, , Ds n . 其中Ds i表示第i個(gè)小區(qū)域, 也表示它的面積. 在每個(gè)Ds i上任取一點(diǎn)(x i, hi), 作和 . 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時(shí), 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在閉區(qū)域D上的二重積分, 記作, 即 . f(x, y)被積函數(shù), f(x, y)ds被積表達(dá)式, ds面積元素, x, y積分變量, D積分區(qū)域, 積分和. 直角坐標(biāo)系中的面積元素: 如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分D, 那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外, 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域. 設(shè)矩形閉區(qū)域Dsi的邊長(zhǎng)為Dxi和Dyi, 則Dsi=DxiDyi, 因此在直角坐標(biāo)系中, 有時(shí)也把面積元素ds 記作dxdy, 而把二重積分記作 其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素. 二重積分的存在性: 當(dāng)f(x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí), 積分和的極限是存在的, 也就是說函數(shù)f(x, y)在D上的二重積分必定存在. 我們總假定函數(shù)f(x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù), 所以f(x, y)在D上的二重積分都是存在的. 二重積分的幾何意義: 如果f(x, y)0, 被積函數(shù)f(x, y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x, y)處的豎坐標(biāo), 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積. 如果f(x, y)是負(fù)的, 柱體就在xOy 面的下方, 二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積, 但二重積分的值是負(fù)的. 二. 二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù), 則 . 性質(zhì)2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域, 則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和. 例如D分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2, 則 . 性質(zhì)3 (s為D的面積). 性質(zhì)4 如果在D上, f(x, y)g(x, y), 則有不等式 . 特殊地有 . 性質(zhì)5 設(shè)M、m分別是f(x, y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值, s為D的面積, 則有 . 性質(zhì)6(二重積分的中值定理) 設(shè)函數(shù)f(x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù), s 為D的面積, 則在D上至少存在一點(diǎn)(x, h)使得 . 9. 2 二重積分的計(jì)算法 一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 X--型區(qū)域: D : j1(x)yj2(x), axb . Y --型區(qū)域: D : y1(x)yy2(x), cyd . 混合型區(qū)域: 設(shè)f(x, y)0, D={(x, y)| j1(x)yj2(x), axb}. 此時(shí)二重積分在幾何上表示以曲面z=f(x, y)為頂, 以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積. 對(duì)于x0[a, b], 曲頂柱體在x=x0的截面面積為以區(qū)間[j1(x0), j2(x0)]為底、以曲線z=f(x0, y)為曲邊的曲邊梯形, 所以這截面的面積為 . 根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法, 得曲頂柱體體積為 . 即 V=. 可記為 . 類似地, 如果區(qū)域D為Y --型區(qū)域: D : y1(x)yy2(x), cyd , 則有 . 例1. 計(jì)算, 其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域. 解: 畫出區(qū)域D. 方法一. 可把D看成是X--型區(qū)域: 1x2, 1yx . 于是 . 注: 積分還可以寫成. 解法2. 也可把D看成是Y--型區(qū)域: 1y2, yx2 . 于是 . 例2. 計(jì)算, 其中D是由直線y=1、x=-1及y=x所圍成的閉區(qū)域. 解 畫出區(qū)域D, 可把D看成是X--型區(qū)域: -1x1, xy1. 于是 . 也可D看成是Y--型區(qū)域：-1y1, -1xR)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力. 解 設(shè)球的密度為r0, 由球體的對(duì)稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為 , 其中為球的質(zhì)量. 上述結(jié)果表明: 勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點(diǎn)的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)間的引力. .