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1、第一章光的電磁理論 1.1在真空中傳播的平面電磁波，其電場表示為 Ex=0, Ey=0, Ez=(102)Cos [丸 X 1014 (—*)+』， c 2」 (各量均用國際單位)，求電磁波的頻率、波長、 周期和初相位。 解：由 Ex=0，Ey=0，Ez=(102)Cos n X 1014 (t — *) +；]，則頻率。=；弋84=0.5 X 1014Hz， 周 期 T=1/ u =2X 10-14S，初相位中0=+ n /2( z=0，t=0 )， 振幅 A=100V/m， 波長入=cT=3 X 108X2X 10-14=6 X 10-6m。 1.2. 一個(gè)平面電磁波可以表示

2、為Ex=0， Ey= 2Cos 2丸 X 1014 (g — t) +籠，Ez=0，求：(1 ) c 2」 該電磁波的振幅，頻率，波長和原點(diǎn)的初相位 是多少？ ( 2 )波的傳播和電矢量的振動(dòng)取哪個(gè) 方向？ (3)與電場相聯(lián)系的磁場B的表達(dá)式如 何寫？ 解：(1)振幅 A=2V/m，頻率 u =3 = 4°^ = 2冗 2冗 1014Hz，波長入=q = g8=3x10-6m，原點(diǎn)的 u 1014 初相位中0=+ n /2 ； ( 2 )傳播沿z軸，振動(dòng)方向 沿 y 軸；(3 )由 B=x(efc X .E)，可得 By=Bz=0， Bx= 2 Cos 2丸 X 1014 (各一

3、t)+足 c L c 2- 向傳播的平面波的復(fù)振幅；(2)發(fā)散球面波和匯聚 球面波的復(fù)振幅。 解：(1 )由戶=4exp(i& ■戶)，可得E = 刀exp ik(ycos0 + zsin0)； (2)同理：發(fā)散球面波 戶(r，t) = 4exp(ikr)= 41exp(ikr)， r 匯聚球面波戶(r，t)=刀/xp(-ikr)= 41exp(—ikr)o r 1.5 一平面簡諧電磁波在真空中沿正x方向傳播。 其頻率為4 X 1014Hz，電場振幅為14.14V/m，如果 該電磁波的振動(dòng)面與xy平面呈45°，試寫出E，B 表達(dá)式。 , —. — — t t. r

4、 解：E = Eyey + Ezez，其中 q=10exp [i 駕* 一 2n u t)] =10exp i (2^x- 2nut)] =10exp i (2”X4X1014 x — 2n X 4 X 1014t) 3X108 =10exp i (8 X 106丸)(x — 3 X 108t)， 3 同理：g = 10exp [E (8 X 106丸)(x — 3 X 108t)]t B = 1 (穌X E) = —qq +烏弓，其中 烏=10 exp i (8 X 106丸)(x — 3 X 108t) =q o 1.3. 一個(gè)線偏振光在玻璃中傳播時(shí)可以表示為 Ey

5、=0， Ez=0， Ex= 102 Cos 丸 X 1015 (T- 0.65c -t)] 試求：(1)光的頻率；(2 )波長；(3 )玻璃的 1.6 一個(gè)沿k方向傳播的平面波表示為 E=100exp(i[(2x + 3y + 4z) — 16 X 105t ｝，試求 k 方向的單位矢fc0o 解：化| = "22 + 32 + 42 = 726， _ 一 _ — _ 一 .— 又 k = 2e^ + 3% + 4q， . .焰=7~ (2氣 + 3% + 4q )

6、 折射率。 解：( 1 ) 1.9證明當(dāng)入射角印=45°時(shí)，光波在任何兩種介質(zhì) 分界面上的反射都有％= *2。 入 = 顯= 2? = 2X0.65X3X108 m = k 兀X1015/0.65c 1015  證明： 尸 =sin (氣一明=sin 45° cos &2—cos 45° sin * s sin (^1+02) sin 45° cos 02+cos 45° sin 02 3.9 X 10—7m = 390nm； (3)相速度v=0.65c，所以折射率n=G =。Q 1.54 v

7、0.65c  二 一sin 勺=1—tan 勺 cos q+sin % 1+tan 02 1.4與出：(1)在yoz平面內(nèi)沿與y軸成。角的k萬  tan(Q -印) 琮―tan(6?1 + %) 二 ―tan &2/1tan 45° tan &2 = 1tan―烏 2 2 tan 45° tan &2/1tan 45° tan 82 1tan 句 s 1.10證明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻 璃片的上表面時(shí)，下表面的入射角也是布儒斯特角。 證明：由布儒斯特角定義，O+i=90°， 設(shè)空氣和玻璃的折射率分別為％和弓，先由空氣入 射到玻璃中則有n1 sin 0 =

8、 n2 sini，再由玻璃出射 到空氣中，有 n2sind> = n1 sini>， 又0'= i，^n1sini'= n1sind n i'= 6, 即得證。 1.11平行光以布儒斯特角從空氣中射到玻璃 n = 1.5上，求：（1）能流反射率%和&s;（2） 流透射率七和八。 解：由題意，得n = ^2=1.5, n1 又。為布儒斯特角，則。i=90°. n1sin0 = n2sini n sin0 = nsini 由①、②得，Q = 56.31°，i = 33.69°o =2aexp [i kx K] sin ^t。 1.18兩個(gè)振動(dòng)方向相同的單色波在空間某一點(diǎn)產(chǎn) 生的振

9、動(dòng)分別為E1 = a1cos % 尻和E2 = ^t o 若g = 2n x 1015Hz，a，1 = 6V/m， =0，^2 = n / 2,求該點(diǎn)的合振動(dòng) a，2 cos 甲2 % =8V/m， 表達(dá)式。 解：E = E1 E2 =a，1Cos a2 cos 甲2 Mt =6 cos 2兀 X 1015倉 8cos 2nx 1015 倉 =6cos 2n x 1015t =10cos arccos ~6~ 10 =10cos 53°7'48" 8sin 2n x 1015 倉 2nx 1015 倉 2nx 1015倉。 1.20求如圖所示的周期

10、性三角波的傅立葉分析表 達(dá)式。 解： ,Er Z 0 < Z < A/2 由圖可知,E z = Z XX/2

11、h/2 證明：t =—沖"如1 P sin Q^Q 2 cos Q^Q 因?yàn)閆為布儒斯特 角，所以％ 0r = 90°， 2sin% cos。] % sin 90° cos 01 02 cos 90° 02 2sinq cos。] Q 2 = 2sin d2cos 31 = 2部@2 cos句=g，又根據(jù)折射定律 sin 232 2 sin 筆 cos 筆 sin 幻 n1 sin q = n2 sin 62，得sin =^r = ^， 則%=：，其中n = n2/n1，得證。 1.17利用復(fù)數(shù)表示式求兩個(gè)波、=a cos kx 3t 和==a cos kx Mt的合成

12、。 E2 = a[cos kx 尻 ^t] aexp[i kx ^t] ist eist 2 解:E = E[ =aexp[i kx =aexp ikx e =2asin 尻 exp i coskx sinkx cos kx 尻] 22 m2k2 l^^^2=二：，5 為奇 數(shù)）， Bm =2 p E z sinmkzdz = 0, .2 2X cos kz 4 n2 12 34 Z 00 cosmkz/m2 cos 3kz cos 5kz … 32 52 1.21試求如圖所示的周期性矩形波的傅立葉級(jí)數(shù) 的表達(dá)式。 解： 由圖可知， A /a

13、/a， =2/ d3J X/a p 4 dz \ dz =— J a 0 Xk/a cos mkz dz X/a cosmkzdz 0 cosmkzdz la -^sin2^^， B = 2 [AE z sinmkzdz = 0, nm a m A j0 工(2 — 2 cos m-n) sin mkz m=1m 8 -^2-

14、sin2^^ cosmkzo 1.22利用復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)如圖所示的周 期性矩形波做傅里葉分析。 s 工 E… ,、 1(0 < z < 2/2) 解：由圖可知，E(z) = —1(2/2

15、氟同位素k*6放電管發(fā)出的紅光波長為 2 =605.7nm,波列長度約為700mm，試求該光波的 波長寬度和頻率寬度。 解：由題意，得，波列長度2L = 700mm, 由公式刀2 = ^2 = 605-72 = 5.2 x 10-4nm, 2L 700x106 又由公式2L = c/Av，所以頻率寬度所= 4 = 3x108 Hz = 4.3 x 10sHzo 2L 700x10-3 1.24某種激光的頻寬如=5.4 x 104Hz,問這種激 光的波列長度是多少？ 解：由相干長度Dmax =農(nóng)=4，所以波列長度2L = max AA 加 42 = ^ = 3x108 = 5

16、.55 x 103ma AA Av 5.4x104 第二章光的干涉及其應(yīng)用 2.1在與一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片， 其厚度h = 0.01mm，折射率n = 1.5，若光波波長 為500nm,試計(jì)算插入玻璃片前后光束光程和相位 的變化。 解：由時(shí)間相干性的附加光程差公式刀= (n — 1) = (1.5 — 1) x 0.01mm = 0.005mm， S = 2^A= —2s— x 0.005 = 20兀。 2.2在楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，若兩小孔距離為0.4mm, 觀察屏至小孔所在平面的距離為100cm，在觀察屏 上測得的干涉條紋間距為1.5cm,求所用光波的波。 解：由公

17、式e=m，得光波的波長 d A = '&d = 1-5x10—3x0-4x103 m = 6 x 10—7-m = 600nm。 D 100x10—2 2.3波長為589.3nm的鈉光照射在雙縫上，在距雙 縫100cm的觀察屏上測量20個(gè)干涉條紋的寬度為 2.4cm,試計(jì)算雙縫之間的距離。 解：因?yàn)楦缮鏃l紋是等間距的，所以一個(gè)干涉條紋 的寬度為e = ^^cm。又由公式e =,,得雙縫間距 離d =^- = 589.3x10—6x100x10 mm=0.491mm。 2.4設(shè)雙縫間距為1mm，雙縫離觀察屏為1m，用鈉 光照明雙縫。鈉光包含波長為L = 589nm和％ = 589.

18、6nm兩種單色光，問兩種光的第10級(jí)亮條紋之 間的距離是多少？ 解：因?yàn)閮墒庀嗷オ?dú)立傳播，所以％光束第10 級(jí)亮條紋位置* =球廣，光束第10級(jí)亮條紋位 置*2 = 了，所以間距Z =七一、=了(人2 - %) =10x1000 x (589.6 一 589) x 10—6 = 6x 10-3mm。 1 2.5在楊氏雙縫干涉的雙縫后面分別放置％ = 1.4 和= 1.7,厚度同為t的玻璃片后，原來中央極 大所在點(diǎn)被第5級(jí)亮紋所占據(jù)。設(shè)A = 480nm，求 玻璃片厚度t以及條紋遷移的方向。 解：由題意，得(n2 - n1)t = 52, 所以* = —5^ = ^^^^^^^

19、^- = 8x 10—6m = 8^.m, n 2一孔1 1.7—1.4 條紋遷移方向向下。 2.6在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)裝置中，以一個(gè)長30mm的 充以空氣的氣室代替薄片置于小孔Sj前，在觀察屏 上觀察到一組干涉條紋。繼后抽去氣室中空氣，注 入某種氣體，發(fā)現(xiàn)屏上條紋比抽氣前移動(dòng)了 25個(gè)。 巳知照明光波波長為656.28nm，空氣折射率^a = 1.000276，試求注入氣室內(nèi)的氣體的折射率。 解：設(shè)注入氣室內(nèi)的氣體的折射率為兒則 25 x 65628x 10—9 + 1.000276 (n — na)h = 252,所以n = 251 + na 解：由公式，=3+片所以"芯 2

20、.15在圖2.22(a)所示的平行平板干涉裝置中， 若平板的厚度和折射率分別為h = 3mm和九=1.5， 望遠(yuǎn)鏡的視場角為6°，光的波長2 = 450nm，問通 過望遠(yuǎn)鏡能夠看見幾個(gè)亮紋？ 解：設(shè)能看見N個(gè)亮紋。從中心往外數(shù)第N個(gè)亮紋 對(duì)透鏡中心的傾角。礦 成為第N個(gè)條紋的角半徑。 設(shè)m°為中心條紋級(jí)數(shù)，q為中心干涉極小數(shù)，令 m0=m + q(mfz, 0 < q < 1)，從中心往外數(shù)， 肆 第N個(gè)條紋的級(jí)數(shù)為m (N 1) = ^o ( 1) q， 則 一 _ ，中=2湖 + "介=mo2 =(m + q)“ ：f"* (N 1>] 兩式相減，可得2nh(1 cos

21、°N)=(N 1 +小， 利用折射定律和小角度近似，得On = nm = = 5.469 X 104 + 1.000276 = 1.000823。 2.7楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，若波長2=600nm，在觀察屏上 形成暗條紋的角寬度為0.02°，(1)試求楊氏干涉中 二縫間的距離？ (2)若其中一個(gè)狹縫通過的能量 是另一個(gè)的4倍，試求干涉條紋的對(duì)比度？ 解：角寬度為口 = 0.02° X：0， 所以條紋間距e = ： = 600誠=1.72mm。 幾 由題意，得4=4/2，所以干涉對(duì)比度 K 2』頃 2小2* K = — = 2 2 = 4/5 = 0.8 1 + /1//2

22、1 + 4/2//2 2.8若雙狹縫間距為0.3mm，以單色光平行照射狹 縫時(shí)，在距雙縫1.2m遠(yuǎn)的屏上，第5級(jí)暗條紋中 心離中央極大中間的間隔為11.39mm，問所用的光 源波長為多少？是何種器件的光源？ 頊1‘39*103 踞弋103 m = 632.8nm。 12x(4+0.5) 此光源為氦氖激光器。 2.12在楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，照明兩小孔的光源是一個(gè) 直徑為2mm的圓形光源。光源發(fā)光的波長為500nm， 它到小孔的距離為1.5m。問兩小孔可以發(fā)生干涉的 最大距離是多少？ 解：因?yàn)槭菆A形光源，由公式bc = 1.222Z/d， 則d = 1.22” = 1.22x500x10

23、6 x1.5x103 = 0.46mm。 與 2 2.13月球到地球表面的距離約為3.8 X 105km，月球 的直徑為3477km，若把月球看作光源，光波長取 500nm，試計(jì)算地球表面上的相干面積。  習(xí)：=『(頻率增大時(shí)波長減小)，取絕對(duì)值得證。 相干長度％以="2/貝=摞『=2" 1013nm = 20km， 頻率寬度刀v = ^ = q°^Hz 扁以 20X103 =1.5 X 104Hz。 工J°』N 1 + q，(冷為平行平板周圍介質(zhì)的折 冗，h 射率) 對(duì)于中心點(diǎn)，上下表面兩支反射光線的光程差為 D = 2航 + 久=(2 X 1.5 X 3 X 10

24、6 + 2 3.477 X 109 /0.61 X 500 X 106 X 3.8 X 1011、2 5 X ( 3.477 X 109 ) =3.49 X 103 mm2。 2.14若光波的波長寬度為刀2,頻率寬度為刀v,  (2 X 104 +1) x 450nm。因此，視場中心是暗點(diǎn)。 由上式，得N = 嘴 =3x106x(M)2 = 12.1，因此， nA 1.5x450 有12條暗環(huán)，11條亮環(huán)。 證明： ^。式中，V和2分別為光波的頻率 A 和波長。對(duì)于波長為632.8nm的氦氖激光，波長寬 度為刀2 = 2 X 108 nm，試計(jì)算它的頻率寬

25、度和相 干長度。 解：證明：由D =c^t = 22/^^，則有 〃1“兒  2.16 一束平行白光垂直投射到置于空氣中的厚度 均勻的折射率為h = 1.5的薄膜上，發(fā)現(xiàn)反射光譜 中出現(xiàn)波長為400nm和600nm的兩條暗線，求此薄 膜的厚度？ 解：光程差刀=(n 1)h = 22《， 所以h = ? 1 = (600400 )X103 〃m = 0.4〃m H1 1.51 2.17用等厚條紋測量玻璃光楔的楔角時(shí)，在長5cm 的范圍內(nèi)共有15個(gè)亮條紋，玻璃折射率九= 1.52, 所用單色光波長2 = 600nm，問此光楔的楔角為多 少？ 解：由公式。=；-，所以楔角^

26、 = ~^~， 又e = ~^cm = 1A cm， 15 3 所以a = 600y109 rad = 5.92 x 105 rad。 tx102 x1.52 3 2.18利用牛頓環(huán)測透鏡曲率半徑時(shí)，測量出第10 個(gè)暗環(huán)的直徑為2cm，若所用單色光波長為500nm， 透鏡的曲率半徑是多少？ 解：由曲率半徑公式R = 口 （2X102 ）2 cc = 7—m = 20m。 10X500X109 2.19F-P干涉儀兩反射鏡的反射率為0.5，試求它 的最大透射率和最小透射率。若干涉儀兩反射鏡以 折射率九=1.6的玻璃平板代替，最大透射率和最小 透射率又是多少？（不考慮系統(tǒng)吸收

27、） 解：當(dāng)反射率R = 0.5時(shí)，由光強(qiáng)公式 /（X）= /，；（t）= （1 / R）\ /（i） M m 4R + （1 R）2 V J 可得最大透射率％ = 1； 最小透射率& =如）2 = 0.11。 m 4R+（1R ）2 當(dāng)用玻璃平板代替時(shí)，九= 1.6，則 1 2 16 1 2 . 七=履+矽=(16+7) 所以T' = 1，7, = (1^n)\~0.81o M m 4匕+(1R n)2 2.20巳知一組F-P標(biāo)準(zhǔn)具的間距分別為1mm和 120mm，對(duì)于2 = 550.0nm的入射光而言，求其相 應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)具常數(shù)。如果某激光器發(fā)出的激光波長為 63

28、2.8nm，波長寬度為0.001nm，測量其波長寬度時(shí) 應(yīng)選用多大間距的標(biāo)準(zhǔn)具？ 解：（皿九=廣=2 了0：。= 0.15nm， （4^2）^^ = = 5502 = 0.0013nm，  2.21有兩個(gè)波長^和^，在600nm附近相差 0.0001nm，要用F-P干涉儀把兩譜線分辨開來，間 隔至少要多大？在這種情況下，干涉儀的自由光譜 范圍是多少？設(shè)反射率& = 0.98。 解：由分辨極限公式⑷）加=壬宇，得 2兀九VR F-P干涉儀間隔五= 6002 1 0.98 2" 0.0001 X 109 X30救心*8^ = 6002 2hT 2x11.58x106

29、 0.0155nm。 2.22在照相物鏡上通常鍍上一層光學(xué)厚度為％ 4 （20 = 550nm）的介質(zhì)膜。問：（1）介質(zhì)膜的作用？ （2）求此時(shí)可見光區(qū)（390?780nm）反射最大的波 長？ 解：（1）作用：因?yàn)樯舷卤砻婀獬滩?n^ = 2 X 52 = 4 （2 + ：）%，所以該介質(zhì)膜對(duì)％的反射達(dá)到最小，為 增透膜；（2）由九丑=*，可知，對(duì)波長為％/ = 5兀， R = （w 滬。氣+（吁”）％吧，反射最大的波長滿 （n0+nG）2 cos2*+（"0”G+n）2 sin2， 足2九丑=2 X只=m2，則以=叫，取m = 2,3時(shí)則 符合條件的可見光的波長分別為

30、687.5nm和 458.3nm。 2.23在玻璃基片上鍍兩層光學(xué)厚度為％ / 4的介質(zhì) 薄膜，如果第一層的折射率為1.35,為了達(dá)到在正 入射下膜系對(duì)％全增透的目的，第二層薄膜的折射 率應(yīng)為多少？（玻璃基片的折射率nr = 1,6） （J 解：由題意，得％ = 1,35, nG = 1,6,氣=1， 要使膜系對(duì)20全增透，由公式 九2 = J%九 1 =寸16 X 1,35 = 1.71。 2 h = — = 632,82 = 2 X 108nm = 200mm。 3 2㈣ 3)sr 2x0.001 氣 1 第三章光的衍射與現(xiàn)代光學(xué) 3.1波長2 = 500nm的單色光垂

31、直入射到邊長為 3cm的方孔，在光軸（它通過方孔中心并垂直方孔 平面）附近離孔z處觀察衍射，試求出夫瑯禾費(fèi)衍 射區(qū)德大致范圍。 解：要求k?髯節(jié)慕我《丸，又k=：， 所以Z ? （X!y Vrnax =（3*102 ）2/2 m= 900m。 A 500X109 3.5在白光形成的單縫的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中，某 色光的第3級(jí)大與600nm的第2極大重合，問該色 光的波長是多少？ 解：單縫衍射明紋公式：asin^ =（2九i）2（nfz） 2 當(dāng)％ = 600nm 時(shí)，ni = 2,因?yàn)?與01不變，當(dāng)九2 = 3時(shí)，（2ni 1）?=（2弓 1）孑，所以22 = （如1 虬=（2

32、X21 ）X600 = 428.6nm。 （2H21 ） （2X31 ） 3.6在不透明細(xì)絲的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中，測得暗 條紋的間距為1.5mm，所用透鏡的焦距為300nm， 光波波長為632.8nm。問細(xì)絲直徑是多少？ 解：由e=,，所以直徑即為縫寬a=, 632.8X 106 X 300 = mm = 0.127mm 1.5 3.8迎面開來的汽車，其兩車燈相距d = 1m，汽車 離人多遠(yuǎn)時(shí)，兩車燈剛能為人眼所分辨？（假定人 眼瞳孔直徑D = 2mm，光在空氣中的有效波長2 = 500nm）。 解：此為夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射，由公式4=1.22七 I D 所以 I = ^^

33、 = 1X2X103—m= 3278.7m 1.224 1.22X500X109 3.9在通常的亮度下，人眼瞳孔直徑約為2mm，若 視覺感受最靈敏的光波長為550nm，問：（1）人眼 最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，畫的 等號(hào)的兩橫線相距2mm，坐在距黑板10m處的同學(xué) 能否看清？ 解：（1）%=1.22土（夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射）  =122X550X109 = 3.36 X 104 rad。 2X103 （2）0= 弋」=2X104 radV^m，所以不能看清。 3.7邊長為a和b的矩孔的中心有一個(gè)邊長為/和 外的不透明屏，如圖所示，試導(dǎo)出這種光闌的夫 瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度公

34、式。 ~ j sin % sin 任2， 解： E1 = Cab sin 坊 sin 角，￡2 =聳》 （C為常數(shù)），所以E = E1 sin a sin 6 5胃虧 E 2 22 / = ￡￡* = C2 （absin ^1 sin ^1 ao^sin %sin ‘）2, 因?yàn)閳鲋行膹?qiáng)度（場中心對(duì)應(yīng)于％ =弓=久= % = 0）為/° =。2（做 ^^）2，所以/ = ——土——（做sin^1 ab ^^ ^-^2） 2。 （aba 0婦2 % ￡1 0 0 % 角 其中a =〃a皿心，B =丸力皿當(dāng)，a =丸％心^， 1 A 1 A 2 0 A "2 =瀝。

35、 sin P* A 3.10人造衛(wèi)星上的宇航員聲稱，他恰好能分辨離他 100km地面上的兩個(gè)點(diǎn)光源。設(shè)光波波長為550nm， 宇航員眼瞳直徑為4mm，這兩個(gè)點(diǎn)光源的距離是多 大？ 解：由夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射，4 = 3，所以 I D 1.22位 1.22 X 550 X 109 X 100 X 103 d = = 4TI0 m =16.775" 3.11在一些大型的天文望遠(yuǎn)鏡中，把通光圓孔做成 環(huán)孔。若環(huán)孔外徑和內(nèi)徑分別為a和a/2，問環(huán)孔 的分辨本領(lǐng)比半徑為a的圓孔的分辨本領(lǐng)提高了多 少？ 解： 由^二血了如先半 q 3.144,環(huán)孔衍射圖 樣第一個(gè)零點(diǎn)的角半徑為。=3.14

36、4六=0.51：, 按照瑞利判據(jù)，天文望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角就是。= 0.51七 與中心部分沒有遮擋的圓孔情形（。= a 0.61 ^）相比較，分辨本領(lǐng)提高了，即 a 0-610-51—= 17.9%。 （0.610.51 ）/2 3.12若望遠(yuǎn)鏡能分辨角距離為3 X 107 rad的兩顆 星，它的物鏡的最小直徑是多少？為了充分利用望 遠(yuǎn)鏡的分辨本領(lǐng)，望遠(yuǎn)鏡應(yīng)有多大的放大率？ 解：光的波長/ = 550nm，則由公式。=1.22：， 最小直徑D = 1.22^ = 1.22 X 550X109 m = 2.24m。 e 3x107 因?yàn)槿搜鄣淖钚》直娼菫?.9X104 rad，

37、 所以放大率》=罵甘 =970。 3.13若要使照相機(jī)感光膠片能分辨2郵的線距， 求：（1）感光膠片的分辨本領(lǐng)至少是每毫米多少線? （2）照相機(jī)鏡頭的相對(duì)孔徑D//至少有多大？（設(shè) 光波波長為550nm。） 解：⑴直線數(shù)N =工=—1—mm1 = 500mm1。 礦 2X103 （a為線距，即為能分辨的最靠近的兩直線在感光 膠片上得距離）。 ⑵由N = ^。 1.222 / 所以相對(duì)孔徑% = N ? 1.22/ = 500 X 1.22 X 550 X 106 = 0.34。 3.16計(jì)算光柵常數(shù)是縫寬5倍的光柵的第0、1級(jí) 亮紋的相對(duì)強(qiáng)度。解：由題意，得a = d

38、/5，第零 級(jí)強(qiáng)度/0（。）=四/0，第0、1級(jí)亮紋相對(duì)強(qiáng)度分別 .五 2 為—=（3）2 = 1，—=（米）= 0.875。 N2'o a g'o 5 3.14 一塊光學(xué)玻璃對(duì)譜線435.8nm和546.1nm的折 射率分別為1.6525和1.6245。試計(jì)算用這種玻璃 制造的棱鏡剛好能分辨鈉D雙線時(shí)底邊的長度。鈉 D雙線的波長分別為589.0nm和589.6nm。 解：由公式刀=二=3了，（式中刀為棱鏡分辨本 領(lǐng)，B為棱鏡底邊長度，n為相對(duì)于波長九的棱鏡 的折射率，九4n為相對(duì)于波長九AA的棱鏡的折 射率,4n/4九為色散率） 又同一種物質(zhì)色散率不變，則％=心= B1 脫

39、L65251'6245——=2.54 X 105， （546.1435.8 ）X109 / = 589.6589.0 = 589.3nm， 2 因?yàn)椋?=「^ = 589.3 = 982.1，所以用這種玻 2 42' 589.6589.0 璃制造的棱鏡剛好能分辨鈉D雙線時(shí)底邊的長度 B2 = 142 = 982.1 = 3.87 X 103 m = 3.87mm。 3.15在雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射試驗(yàn)中，所用光波波長 九=632.8nm，透鏡焦距/=50cm，觀察到兩相鄰亮條 紋之間的距離e=1.5mm，并且第4級(jí)亮紋缺級(jí)。試 求：（1）雙縫的縫距和縫寬；（2）第1、2、3級(jí)亮 紋的

40、相對(duì)強(qiáng)度。 解：⑴多縫衍射的亮線條件是d sin。= m/，m G z， 對(duì)上式兩邊取微分，得到dcos。? 4。=九? 4m， 當(dāng)4m = 1時(shí)，40就是相鄰亮線之間的角距離。并 且一般。很小，cos。q 1，故服=九/d。兩相鄰亮 線距離為e =廣. 4。= ///d。所以 縫距d = 〃/e=500 X 632.8 X 106 /1.5mm=0.21mm。 因?yàn)榈?級(jí)亮紋缺級(jí)，所以縫寬為 a = d/4 = 0.21/4mm = 0.05mm。 ⑵第1、2、3級(jí)亮線分別相應(yīng)于dsin3=±九、±2九、 ±3九。由于d=4a，所以當(dāng)d sin3=±九、±2九、±3/時(shí)， 分別有a

41、sin0=±^/4> ±2%.、士3"/、。因此，由 多縫衍射各級(jí)亮線的強(qiáng)度公式匕=?2/0 （十）2， 第1、2、3級(jí)亮線的相對(duì)強(qiáng)度為芒=（甘）2 = c?^a sin 0 廳 2 . 2 sin 七 =（吁）=0.811 七=（雄）=0.405, 叩 : N磯 : .有2 七=（皿* = 0.090。 N2L 而 0 4 3.17 一塊寬度為5cm的光柵，在2級(jí)光譜中可分辨 500nm附近的波長差0.01nm的兩條譜線，試求這一 光柵的柵距和500nm的2級(jí)譜線處的角色散。 解：由刀=M = mN=m： （L為光柵寬度），所以 d = ~m^ = 2x5x10 mm =

42、 2 X 103 mm， 2/必 500/0.01 角色散心=m dA dcos 0 （一般。角很小 cos。 ? 1)= dxcos[arcsin(2^)] 0.002xcos[arc sin(2x500)] L ' 2000 刀 =866.03 rad/mm 3.18為在一塊每毫米1200條刻線的光柵的1級(jí)光 譜中分辨波長為632.8nm的一束氦氖激光的膜結(jié)構(gòu) （兩個(gè)模之間的頻率差為450MHz），光柵需要有多 寬？ 解：刀九=頊」=期刀v，又光柵的色分辨本領(lǐng)刀= c-^t C ■^ = -^ = m^ = m - 1200L，所以光柵的寬度 AA Mv L

43、= c = 3x1011 =878mm。 A^vm-1200 632.8x106 X1X1200X450X109 3.19用復(fù)色光垂直照射在平面透射光柵上，在30° 的衍射方向上能觀察到600nm的第二級(jí)主極大，并 能在該處分辨以=0.005nm的兩條譜線，但卻觀 察不到600nm的第三級(jí)主極大。求：（1）光柵常數(shù) d，每一縫寬a；（2）光柵的總寬L至少不得低于多 少？ 解：（l）d sin。= m/，所以d = = 2*60；°06 mm =2.4 x 103 mm，a = * = 2.4x103 mm=8 x 104 mm。 k 3 ⑵刀=% = mM 又2 = %‘^。/4，

44、所以L 2 = 600/0.005x2.4x103 mm=288mm。 2 sin Q 2xT 2 3.20 一束波長九=600nm的平行光，垂直射到一 平面透射光柵上，在與光柵法線成45°的方向觀察 到該光的第二級(jí)光譜，求此光柵的光柵常數(shù)。 解：由d sin0 = m/，得光柵常數(shù) m九 sin。 2 x 600 x 106 sin45° mm = 1.7 x 103 mm 3.21 一塊每毫米500條縫的光柵，用鈉黃光正入射， 觀察衍射光譜。鈉黃光包含兩條譜線，其波長分別 為589.6nm和589.0nm。求在第二級(jí)光譜中這兩條 譜線互相分離的角度。 解：光柵公式d

45、 sin。= m/，d = _1^mm=2 x 103 mm， 所以 % = arcsin^ = arcsin^W：106 =36.1286°， 同理。2 = 36.0861°，所以第二級(jí)光譜中這兩條譜 線互相分離的角度S = 01 。2=0.0425。=2,33〃。 3.22 一光柵寬50mm，縫寬為0.001mm，不透光部分 寬為0.002mm，用波長為550nm的光垂直照明，試 求：（1）光柵常數(shù)d； （2）能看到幾級(jí)條紋？有沒 有缺級(jí)？ 解：⑴ d = a+ a，= 0.001 + 0.002 = 0.003mm， ⑵d/a = °.003/0.001 = 3,所以第±3級(jí)亮紋

46、為缺級(jí)， 又由d sin90° = m/，解得m = 5.45，所以吐 = 5.45 x 2 = 11，又缺±3級(jí)，所以能看到9級(jí)條紋。 3.23按以下要求設(shè)計(jì)一塊光柵：①使波長600nm的 第二級(jí)譜線的衍射角小于30°，并能分辨其0.02nm 的波長差；②色散盡可能大；③第三級(jí)譜線缺級(jí)。 則該光柵的縫數(shù)、光柵常數(shù)、縫寬和總寬度分別是 多少？用這塊光柵總共能看到600nm的幾條譜線？ 解：為使波長600nm的二級(jí)譜線的衍射角。＜ 30°, d必須滿足d=m ＞ 2x600x106 =2.4 x 103 mm， sin Q sin 30° 根據(jù)要求②，d盡可能小，^Ijd=2.4x10

47、3 mm， 根據(jù)要求③，光柵縫寬a = d = 0.8x103 mm， 3 再由條件④，光柵縫數(shù)N至少有 600 2 x 0.02 =15000 所以光柵的總寬度L至少為 L = Nd = 15000 x 2.4 x 103 mm = 36mm 光柵形成的譜線在|仞＜90°范圍內(nèi)，當(dāng)e = ±90° 時(shí)，有m = = ±2'4x103 = ±4，即第4級(jí)譜線 兀 6x104 對(duì)應(yīng)于衍射角。=±90°實(shí)際上不可能看見。此外第 3級(jí)缺級(jí)，所以只能看見0，土1 , ±2級(jí)共5條 譜線。 3.24 一塊閃耀光柵寬260mm，每毫米有300個(gè)刻槽， 閃耀角為77°12,。⑴求光

48、束垂直于槽面入射時(shí)，對(duì) 于波長九= 500nm的光的分辨本領(lǐng)；⑵光柵的自由 光譜范圍有多大？ 解：⑴光柵柵距為d = -^mm，巳知光柵寬260 mm， 300 因此光柵槽數(shù)N = L/d = 260 x 300 = 7.8 x 104 由2dsiny = m^，光柵對(duì)500 nm的閃耀級(jí)數(shù)為 m == 2x1/300x洲梢12' = 13,所以分辨本領(lǐng) A 500x106 刀=mN = 13 x 7.8 x 104強(qiáng)106 ；⑵光柵的自由光 譜范圍為刀2 = A = 500 nm = 38.5nm。 第四章光的偏振和偏振器件 4.2 一束部分偏振光由光強(qiáng)比為2: 8的線偏振光和

49、自然光組成，求這束部分偏振光的偏振度。 解：設(shè)偏振光光強(qiáng)為/1 = 2/，自然光光強(qiáng)為/2 = 8/， (其中L = / -/ ?，匕=匕 + 匕=/ + / .)， 1 max mm t 1 2 max mm 所以偏振度P = % = 'ma* -'mEn = ~2 = —2 — = 0.2。 7t 1max +/mtn ；1+/2 27+87 圓偏振光經(jīng)過“4波片后成為線偏振光，光強(qiáng)仍為/2。 當(dāng)線偏振光光矢的振動(dòng)方向與檢偏器的透光方向 一致時(shí)，從檢偏器出射的光強(qiáng)最大，其值為/2,當(dāng) 其振動(dòng)方向與透光方向互相垂直時(shí)其值為零。自然 光通過“4波片后還是自然光，通過檢偏器后光強(qiáng) 為r

50、。因此，透過旋轉(zhuǎn)的檢偏器出射的最大光強(qiáng)和 21 最小光強(qiáng)分別為imax=ii1+i2，im^=1^1，又題 IUA 2 1 2 幾 2 1 給Anax = 7婦試，因此/2=3小所以，自然光強(qiáng)占 部分偏振光強(qiáng)的百分比為％ = + = 25%。 / /1+3/1 4.3線偏振光垂直入射到一塊光軸平行于界面的方 解石晶體上，若光矢量的方向與晶體主截面成60° 角，問o光和e光從晶體透射出來的強(qiáng)度比時(shí)多 少？ 解：/°：/e = S^60° =3:1 4.4線偏振光垂直入射到一塊光軸平行于表面的方 解石波片上，光的振動(dòng)面和波片的主截面成30。和 60°角。求：⑴透射出來的尋常光

51、和非常光的相對(duì) 強(qiáng)度各為多少？⑵用鈉光入射時(shí)如要產(chǎn)生90°的位 相差，波片的厚度應(yīng)為多少？(2= 589.0nm，ne = 1.486，n = 1.658) 解： ⑴/o： Zg = tan2 30° =1:3； ⑵由S = 90° = ?(%-%)d，所以 d = ^ = -589-0v10-9 —先 8.56 X 10-7m。 4(no-ne) 4x(1.658-1.486) 4.7有一塊平行石英片是沿平行光軸方向切出的。 要把它切成一塊黃光的V4波片，問這塊石英片應(yīng) 切成多厚？(石英的％ = 1.552，no = 1.543，波長 為 589.3nm) 解：由^ = (ne

52、 - no)d = (m + ^ 2，所以厚度 (m + 4) 2 (0+j)x 589.3 d=/ 、=/-i—c 一 nm (n — a ) (1.552 — 1.543) =1.637 X 104nm 強(qiáng) 1.64 X 10-3cm 4.5由自然光和圓偏振光組成的部分偏振光，通過 一塊1/4波片和一塊旋轉(zhuǎn)的檢偏鏡，巳知得到的最 大光強(qiáng)是最小光強(qiáng)的7倍，求自然光強(qiáng)占部分偏振 光強(qiáng)的百分比。 解：設(shè)自然光和圓偏振光的光強(qiáng)分別為七和/2,則 部分偏振光的光強(qiáng)為/ =七+，2。 4.6在兩個(gè)共軸平行放置的透振方向正交的理想偏 振片捋和七之間，有一個(gè)共軸平行放置的理想偏振 片P2以云

53、角速度◎繞光的傳播方向旋轉(zhuǎn)。設(shè)倉=0 時(shí)％偏振化方向與％平行，若入射到該系統(tǒng)的平行 自然光強(qiáng)為/0，則該系統(tǒng)的透射光強(qiáng)為多少？ 解：通過第一塊、第二塊和第三塊偏振片后，光強(qiáng) 分別為/〕= %，/? = /〕cos2 0，/ = / cos2 (w- 0)， 1 2 匕 1 3 2 2 由于t = 0時(shí)P3偏振化方向與4平行，因此0 = Wt， 所以透射光強(qiáng)為/ = /3 = $ cos2 0 cos2 (； - 0)= ■^(1 - cos4^t)，可見，最大光強(qiáng)為如，最小光強(qiáng) 為0，出射光強(qiáng)的變化頻率為4w。 4.11為了決定一束圓偏振光的旋轉(zhuǎn)方向，可將V4 波片置于檢偏器之前，再將

54、后者轉(zhuǎn)到消光位置。這 時(shí)發(fā)現(xiàn)v4波片快軸的方位是這樣的：它須沿著逆 時(shí)針方向轉(zhuǎn)45°才能與檢偏器的透光軸重合。問該 圓偏振光是右旋的還是左旋的？ 解：是右旋圓偏振光。因?yàn)樵谝?4波片快軸為y軸 的直角坐標(biāo)系中，偏振片位于II、IV象限時(shí)消光， 說明圓偏振光經(jīng)"/4波片后，成為位于I、III象限 的線偏振光，此線偏振光由y方向振動(dòng)相對(duì)*方向振 動(dòng)有2汨位相差的兩線偏振光合成。而"/4波片使。光 和。光的位相差增加2,成為2兀，所以，進(jìn)入"/4波 片前y方向振動(dòng)相對(duì)x方向振動(dòng)就巳有?位相差，所 以是右旋圓偏振光。 4.9下列兩波及其合成波是否為單色波？偏振態(tài)如 何？計(jì)算兩波及其合成波光強(qiáng)的相對(duì)

55、大小。 (孔=刀sin (kz —尻一多) [fy = A cos (kz - wt + w) E^ = A coskz — 3t — ip* t）） 波 2： E = A cos kz — ^t +

56、偏振光。 對(duì)于波2，因?yàn)?y t）— / t）A常數(shù)，為自然光， 而相速v = ^只與空間部分有關(guān)，雖然%t）- 丸t）球常數(shù)，但等相面和等幅面仍然重合，故為 均勻波。 波1和波2是不相干波，因此由上述結(jié)果得合成波 是非單色光，是部分偏振光，是均勻波。 光強(qiáng)度：波 1 I1=E2+E2=A2； 波 2 I2 = E2 + E2=A2； 合成波/3 = /] + /2 = 242，因此，三個(gè) 波的光強(qiáng)的相對(duì)大小為11:12:13 = 1:1:2。 4.12 一束右旋圓偏振光垂直入射到一塊石英1/4波 片，波片光軸平行于x軸，試求透射光的偏振態(tài)。 如果換成1/8波片，透射光的偏振態(tài)又

57、如何？ 解：右旋圓偏振光可視為光矢量沿y軸的線偏振光 和與之位相差為"/2的光矢量沿x軸的線偏振光的 疊加。⑴右旋圓偏振光入射1/4波片并從1/4波片出 射時(shí)，光矢量沿y軸的線偏振光（。光）對(duì)光矢量沿 x軸的線偏振光（e光）的位相差應(yīng)為5 = ^ + ^ = n， 22 故透射光為線偏振光，光矢量方向與x軸成-45°； ⑵右旋圓偏振光入射1/8波片并從1/8波片出射時(shí)， 光矢量沿x軸的線偏振光（。光）對(duì)光矢量沿y軸的 線偏振光（e光）的位相差應(yīng)為5 =死+歹=氣 透 2 4 4 射光為右旋橢圓偏振光。 4.10 一束線偏振的鈉黃光/ = 584.3nm）垂直通過 一塊厚度為8.0859

58、 x 10—2mm的石英晶片。晶片折 射率為％ = 1.54424，ne = 1.55335，光軸沿 y 軸 方向。試對(duì)于以下三種情況，決定出射光的偏振態(tài)： ⑴入射線偏振光的振動(dòng)方向與x軸成45°角； ⑵入射線偏振光的振動(dòng)方向與x軸成-45°角； ⑶入射線偏振光的振動(dòng)方向與x軸成30°角。 解：入射線偏振光在波片內(nèi)產(chǎn)生的。光和e光出射波 片是得位相延遲角為5 =2^ ne— n0）d = 2脈 1.55335—1.54424）x8.0859x10-2 = 2 5n， 589.3x10—6 ⑴當(dāng)a = 45°時(shí)，設(shè)入射光振幅為刀，貝I。光和e光的 振幅為刀。=刀cos45° =在刀

59、，刀e =刀sin45° = ?2刀， 其中刀為入射光的振幅。因此，在波片后表面，。光 和e光的合成為E = Eo + Ee = e~^2Acos以+ 2.5兀）+ 弓? A cos Gt）=電 A eT cos Gt +歹）+ 弓cos Gt）]，因此，是左旋偏振光； ⑵當(dāng)a = —45°時(shí)，則。光和e光的振幅為Ao = A cos —45° =曲刀，氣=刀sin—45° =—舊刀，在波 片后表面，。光和e光的合成為E = % +弓= 在■刀（T cos wt +每）+弓cos Gt +兀）]，因此，是 右旋圓偏振光； ⑶當(dāng)a = 30°時(shí)，則。光和e光的振幅為刀。=

60、 A cos 30° 二心刀，刀e =刀 sin 30° = 1■刀， 在波片后表面，。光和e光的合成為E = % + % = 歹-々刀cos/t +每）+歹1刀cos Gt），因此，是左旋 X 2 2 y 2 橢圓偏振光，橢圓長軸沿X軸。 16 一塊厚度為0.05mm的方解石波片放在兩個(gè)正交 的線偏振器中間，波片的光軸方向與兩線偏振器的 夾角為45°，問在可見光（390?780nm）范圍內(nèi)， 哪些波長的光不能通過這一系統(tǒng)？ 解：/=饋+刀2。+ 2刀2。效。0叫 = ；/0sin2 2a cos2 2 = ；/0cos2：，兩相干線偏振光的位相差是0 = 2^(n0~ne

61、)d +n，又，當(dāng)? = (2m + 1)兀(m = 0,1,2,…)時(shí)，干涉相消，對(duì)應(yīng) 波長的光不能透過這一系統(tǒng)，因此，不能透過這一 系統(tǒng)的光波波長為九== m (1.658-1.486)x0.05x106 = 8600 皿 m m 所以下列波長的光不能透過這一系統(tǒng)： m = 11， / = 782nm； m = 12， / = 717nm； m = 13， / = 662nm； m = 14， / = 614nm； m = 15， / = 573nm； m = 16， / = 538nm； m = 17， / = 506nm； m = 18， / = 478nm； m

62、 = 19， / = 453nm； m = 20， / = 430nm； m = 21， / = 410nm； m = 22， 4 = 391nm。 4.14試用矩陣方法證明：右(左)旋圓偏振光經(jīng)過 半波片后變成左(右)旋圓偏振光。 解：右、左旋圓偏振光的瓊斯矢量分別為 % = [："左=[1] 半波片的瓊斯矩陣為G = ： *，因此右旋偏振 .0 — 1」 光經(jīng)過半波片后透射光的瓊斯矢量為E = GE = 右 [1 —1][。] = [1]=、左，得證。  了】/8波片，兩相干線偏振光的位相差是? =在? 2 * = ：，所以系統(tǒng)出射強(qiáng)度為/=刀2。2+刀2：

63、+ 2刀20刀2￡ cos? =刀2 0.4552 + (—0.228)2 - 2 X 0.455 X 0.228 X cos? = 0.12/0。 4.8試說明下列各組光波表達(dá)式所代表的偏振態(tài)。 ⑴知=￡0 sin(kz — wt)， q = E0 cos(kz — wt)； ⑵f* = ￡0 cos(kz —掘)，q = E0 cos (kz — wt + w)； ⑶f* = ￡0 sin(kz — wt)， q = —E0 sin(kz —以)。 解：⑴E"x = ￡0 sin(kz — Gt)，q = E0 cos(kz — wt)， 則知=￡0 cos (kz — w

64、t — re)，因5 =氣故烏比孔 超前死，所以為左旋圓偏振光。 2 ⑵知=￡0 cos(kz —掘)，q = E0 cos (kz — Gt + 歹)， 5 = 4, Ey超前孔且甲=:，所以為左旋橢圓偏振 光，長軸在y = x方向上。 ⑶知=￡0 sin(kz — wt)， q = —E0 sin(kz — wt)， 則勺=￡0 sin(kz —掘+兀)，S =江且甲=一每，故 為線偏振光，振動(dòng)方向?yàn)閥 = —Xo (方位角甲公式tan 2^ = 2'1’2 cos 5) 一駕 4.15將一塊】/8波片插入兩個(gè)前后放置的尼科爾棱 鏡中間，波片的光軸與前后尼科爾棱鏡主截面的夾

65、角分別為-30°和40°，問光強(qiáng)為/0的自然光通過這 一系統(tǒng)后的強(qiáng)度是多少？(略去系統(tǒng)的吸收和反射 損失) 解：如圖所示，光強(qiáng) 為/0的自然光經(jīng)第一 個(gè)尼科爾棱鏡％后， 成為線偏振光且振 幅為勺，則 4.13 一束自然光通過偏振片后再通過“4波片入射 到反射鏡上，要使反射光不能透過偏振片，波片的 快、慢軸與偏振片的透光軸應(yīng)該成多少度角？試用 瓊斯計(jì)算法給以解釋。 解：自然光通過偏振片后成為線偏振光，設(shè)線偏振 光光矢量沿x軸，則瓊斯矢量為修】]=[1]，若％波 片的快軸與x軸(偏振片的透光軸)的夾角為9,則 氣=$ = 十刀，從波片出射的。光和e光的振幅分 別為角。=§sin(—3

66、0。)，刀如=§cos(—30°)， 經(jīng)第二個(gè)尼科爾棱鏡N2后，。光和e光的振幅分別為 刀2。=氣。州40° 牛 sin40°sin(—30°)=-0.228 刀， (2 刀2e = ^1e cos40°7=cos(—30°) = 0.455刀，因插入 瓊斯矩陣為G, A 4 cos S 1 — i tan & cos 20 -—i tan ^ sin 20 2 —i tan ^ sin 20 - 1 + E tan & cos 20 J2[1 — i cos 20 —i sin 20 - —i sin 20 1 + i cos 20- 穿過“4波片后， r^ 透射光的瓊斯矢量為b2] = G. L°2 [勺 [W ^2 [1 — i cos 20 —i sin 20 ] [1 二 [1 — i cos 2仗 1 . < 2 I —i sin 20 1 + i cos 20- [0] 2 -—i sin 20 - ，)