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1,第二章機(jī)器人的空間描述和坐標(biāo)變換2.1位姿和坐標(biāo)系描述2.2平移和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系映射2.3平移和旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換2.4物體的變換和變換方程2.5通用旋轉(zhuǎn)變換,2,,,2.1位置方位表示與坐標(biāo)系描述,1.位置描述,矢量Ap表示箭頭指向點(diǎn)的位置矢量，其中右上角標(biāo)“A”表示該點(diǎn)是用{A}坐標(biāo)系描述的。,（2-2）,2.方位描述,坐標(biāo)系{B}與機(jī)械手末端工具固連，工具的姿態(tài)可以由坐標(biāo)系{B}的方向來描述。而坐標(biāo)系{B}的方向可以用沿三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量來表示,,,圖2-2方位表示,（2-1）,旋轉(zhuǎn)矩陣描述坐標(biāo)系{B}的姿態(tài)，矢量描述坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)位置。,3,,,,,,3.位姿描述,固連坐標(biāo)系把剛體位姿描述問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系的描述問題。圖2-3中坐標(biāo)系{B}可以在固定坐標(biāo)系{A}中描述為,（2-3）,,,4,,,,,,1.平移坐標(biāo)變換,圖2-3平移變換,,BP為坐標(biāo)系{B}描述的某一空間位置，我們也可以用AP（坐標(biāo)系{A}）描述同一空間位置。因?yàn)閮蓚€(gè)坐標(biāo)系具有相同的姿態(tài)，同一個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的描述滿足以下關(guān)系,,（2-4）,2.2平移和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系映射,旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的任務(wù)是已知坐標(biāo)系{B}描述的一個(gè)點(diǎn)的位置矢量BP和旋轉(zhuǎn)矩陣，求在坐標(biāo)系{A}下描述同一個(gè)點(diǎn)的位置矢量AP。,5,,,,,,,2.旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換,,,（2-5）,將（2-5）式寫成矩陣形式得：,（2-6）,圖2-4旋轉(zhuǎn)變換,式（2-6）即為我們要求的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，該變換是通過兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換實(shí)現(xiàn)的。,6,,,,,,3.復(fù)合變換,,圖2-5復(fù)合變換,如果兩個(gè)坐標(biāo)系之間即存在平移又存在旋轉(zhuǎn)，如何計(jì)算同一個(gè)空間點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下描述的變換關(guān)系？,為了得到位置矢量BP和AP之間的變換關(guān)系，我們建立一個(gè)中間坐標(biāo)系{C}。,,,（2-7）,（2-8）,為了得到位置矢量BP和AP之間的變換關(guān)系，只需坐標(biāo)系{B}在坐標(biāo)系下{A}的描述。,是4?4矩陣，稱為齊次坐標(biāo)變換矩陣?？梢岳斫鉃樽鴺?biāo)系{B}在固定坐標(biāo)系{A}中的描述。,7,2.3齊次坐標(biāo)變換,,,,,,,,,坐標(biāo)變換（2-8）可以寫成以下形式,,,（2-9）,將位置矢量用4?1矢量表示，增加1維的數(shù)值恒為1，我們?nèi)匀挥迷瓉淼姆?hào)表示4維位置矢量并采用以下符號(hào)表示坐標(biāo)變換矩陣,,（2-10）,,（2-11）,,齊次坐標(biāo)變換的主要作用是表達(dá)簡潔，同時(shí)在表示多個(gè)坐標(biāo)變換的時(shí)候比較方便。,1.齊次變換,8,,,,,,,,,2.齊次變換算子,在機(jī)器人學(xué)中還經(jīng)常用到下面的變換，如圖2-8，矢量AP1沿矢量AQ平移至的AQ終點(diǎn)，得一矢量AP2。已知AP1和AQ求AP2的過程稱之為平移變換，與前面不同，這里只涉及單一坐標(biāo)系。,,圖2-6平移算子,,,,,（2-12）,可以采用齊次變換矩陣表示平移變換,,（2-13）,,稱為平移算子，其表達(dá)式為,,（2-14）,其中I是3?3單位矩陣。例如若AQ=ai+bj+ck，其中i、j和k分別表示坐標(biāo)系{A}三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，則平移算子表示為,,,9,,,,同樣，我們可以研究矢量在同一坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)變換，如圖2-9，AP1繞Z軸轉(zhuǎn)?角得到AP2。則,圖2-7旋轉(zhuǎn)算子,,（2-20）,Rot(z,?)稱為旋轉(zhuǎn)算子，其表達(dá)式為,,（2-21）,同理，可以得到繞X軸和Y軸的旋轉(zhuǎn)算子,,,10,,,,,,,定義了平移算子和旋轉(zhuǎn)算子以后，可以將它們復(fù)合實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的映射關(guān)系。變換算子與前面介紹的坐標(biāo)變換矩陣形式完全相同，因?yàn)樗忻枋鼍谕蛔鴺?biāo)系下，所以不需上下標(biāo)描述（坐標(biāo)系）。,,（2-23）,齊次坐標(biāo)變換總結(jié)：,表示坐標(biāo)系{B}在坐標(biāo)系{A}下的描述，的各列是坐標(biāo)系{B}三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，而表示坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)位置。,,2.它是不同坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換。如,3.它是同一坐標(biāo)系內(nèi)的變換算子。,齊次坐標(biāo)變換是復(fù)雜空間變換的基礎(chǔ)，必須認(rèn)真理解和掌握。具體應(yīng)用的關(guān)鍵是理解它代表的是上面三種含義的哪一種，而不是簡單的套用公式！,1.它是坐標(biāo)系的描述。,,如圖2-10表示的三個(gè)坐標(biāo)系，已知坐標(biāo)系{A}、{B}和{C}之間的變換矩陣和位置矢量CP，求在坐標(biāo)系{A}下表示同一個(gè)點(diǎn)的位置矢量AP。,11,,,,,,,3.復(fù)合變換,復(fù)合變換主要有兩種應(yīng)用形式，一種是建立了多個(gè)坐標(biāo)系描述機(jī)器人的位姿，任務(wù)是確定不同坐標(biāo)系下對(duì)同一個(gè)量描述之間的關(guān)系；另一種是一個(gè)空間點(diǎn)在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)順序經(jīng)過多次平移或旋轉(zhuǎn)變換，任務(wù)是確定多次變換后點(diǎn)的位置。,,圖2-10復(fù)合坐標(biāo)變換,,,（2-24）,（2-25）,,根據(jù)坐標(biāo)變換的定義得,（2-26）,12,,,,,,,,(a)Z?Y順序旋轉(zhuǎn),,(b)Y?Z順序旋轉(zhuǎn),圖2-11旋轉(zhuǎn)順序?qū)ψ儞Q結(jié)果影響,,例2-3已知點(diǎn)u=7i+3j+2k，先對(duì)它進(jìn)行繞Z軸旋轉(zhuǎn)90o的變換得點(diǎn)v，再對(duì)點(diǎn)v進(jìn)行繞Y軸旋轉(zhuǎn)90o的變換得點(diǎn)w，求v和w。,如果只關(guān)心最后的變換結(jié)果，可以按下式計(jì)算,計(jì)算結(jié)果與前面的相同，稱R=Rot(y,90o)Rot(z,90o)為復(fù)合旋轉(zhuǎn)算子。,13,,,注：固定坐標(biāo)系變換，矩陣乘的順序“自右向左”,如果改變旋轉(zhuǎn)順序，先對(duì)它進(jìn)行繞y軸旋轉(zhuǎn)90o，再繞z軸旋轉(zhuǎn)90o，結(jié)果如圖2-11b所示。比較圖2-11a和圖2-11b可以發(fā)現(xiàn)最后的結(jié)果并不相同，即旋轉(zhuǎn)順序影響變換結(jié)果。,從數(shù)學(xué)角度解釋就是矩陣乘法不滿足交換率，Rot(y,90o)Rot(z,90o)?Rot(z,90o)Rot(y,90o)。,和，求和,給定計(jì)算,14,,,2.4物體的變換和變換方程,已知坐標(biāo)系{B}相對(duì)坐標(biāo)系{A}的描述,求坐標(biāo)系{A}相對(duì)坐標(biāo)系{B}的描述,一種直接的方法是矩陣求逆，另一種方法是根據(jù)變換矩陣的特點(diǎn)直接得出逆變換。后一種方法更簡單方便。,即齊次變換的求逆問題。,等價(jià)為：已知,是坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系{B}中的描述，顯然為零矢量。由（2-28）式得,15,,,,,根據(jù)前面的討論，旋轉(zhuǎn)矩陣關(guān)系為,（2-27）,將坐標(biāo)變換用于坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)得,（2-28）,（2-29）,逆變換可以直接用正變換的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣表示,（2-30）,16,,,,,,,,,,{A}沿xA平移3個(gè)單位，再繞新的zA軸轉(zhuǎn)180o得{B},因此,②{B}沿zB平移2個(gè)單位，然后繞yB軸轉(zhuǎn)90o再繞新xB軸轉(zhuǎn)150o得{C},,圖2-12楔形塊角點(diǎn)坐標(biāo)系,例2-4，如圖2-12給出的楔形塊角點(diǎn)坐標(biāo)系，求齊次坐標(biāo)變換,因此,③{A}沿xA和zA平移3和2，然后繞yA軸轉(zhuǎn)90，再繞新xA軸轉(zhuǎn)-30得{C},也可以按以下方法計(jì)算,,17,事實(shí)上，對(duì)于像本例題這種簡單的情況，可以直接利用齊次坐標(biāo)變換的定義得到變換矩陣。即直接寫出坐標(biāo)系{C}坐標(biāo)軸矢量在坐標(biāo)系{A}下表示得旋轉(zhuǎn)矩陣，平移矢量為坐標(biāo)系{C}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系{A}下的矢量表示。,18,變換方程,圖2-13表示了多個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系圖，可以用兩種不同的方式得到世界坐標(biāo)系{U}下坐標(biāo)系{D}的描述。,,（2-31）,（2-32）,由（2-31）和（2-32）可以得到變換方程,圖2-13坐標(biāo)變換序列,可以利用變換方程（2-33）求解其中任意一個(gè)未知變換。例如，假設(shè)除以外其余變換均為已知，則該未知變換可以用下式計(jì)算,,,,在坐標(biāo)系的圖形表示方法中，從一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)指向另一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的箭頭表示坐標(biāo)系的描述關(guān)系。,,（2-35）,（2-36）,19,例2-5假設(shè)已知圖機(jī)械臂末端工具坐標(biāo)系{T}相對(duì)基座坐標(biāo)系{B}的描述，還已知工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}相對(duì)基座坐標(biāo)系{B}的描述，并且已知螺栓坐標(biāo)系{G}相對(duì)工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}的描述。計(jì)算螺栓相對(duì)機(jī)械臂工具坐標(biāo)系的位姿。,解：添加從工具坐標(biāo)系{T}原點(diǎn)到螺栓坐標(biāo)系{G}原點(diǎn)的箭頭，可以得到如下變換方程,（2-37）,螺栓相對(duì)機(jī)械臂工具坐標(biāo)系的位姿描述為,（2-38）,20,,,,,,,1.繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換,下面討論繞任意軸f旋轉(zhuǎn)矩陣，軸在坐標(biāo)系{A}下表示為,以f為Z軸建立與{A}固連的坐標(biāo)系{C}用n、o和f表示坐標(biāo)系{C}三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，在坐標(biāo)系{A}下表示為,圖2-18繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換,因?yàn)楣踢B的坐標(biāo)系{C}與{A}固連，所以繞f旋轉(zhuǎn)等價(jià)于繞ZC旋轉(zhuǎn)。為此我們先將Ap在坐標(biāo)系{C}下表示，再繞ZC旋轉(zhuǎn)q角，最后再把旋轉(zhuǎn)得到的矢量用坐標(biāo)系{A}表示。,Ap1=Rot(f,?)Ap,2.5通用旋轉(zhuǎn)變換,21,,,,,,,,再將Cp1在坐標(biāo)系{A}下表示,,,因此,,其中一個(gè)矢量,上式中的n和o各分量是未知的，需要用f的各分量表示,22,,,,,,,,,,,,,,,根據(jù)坐標(biāo)系的右手規(guī)則知n?o=f，叉積可以按下式計(jì)算,,,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性可以得,,,,將上式對(duì)角線相加得r11+r22+r33=1+2cq?cq=(r11+r22+r33-1)/2,23,,,,,,,,2.等效轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)角,前面討論了給定轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角可以得到旋轉(zhuǎn)矩陣，那么是否任意給定的旋轉(zhuǎn)矩陣都可以確定等效的轉(zhuǎn)軸f和轉(zhuǎn)角q哪？也就是兩個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)重合的坐標(biāo)系可以通過繞固定軸轉(zhuǎn)一定的角度來實(shí)現(xiàn)從一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系。,,將關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱的兩個(gè)元素分別相減得,r32-r23=2fxsq,r13-r31=2fysq,r21-r12=2fzsq,將上式平方求和得：,4s2q=(r32-r23)2+(r13-r31)2+(r21-r12)2,假設(shè)限定繞矢量f正向旋轉(zhuǎn)，且0?q?180o，則,,可得q的值,q=atan(sq/cq),24,,可得矢量f分量的值,在應(yīng)用中需要注意的是，當(dāng)轉(zhuǎn)角q的值接近0o或180o時(shí)，方向矢量f各分量的值計(jì)算出現(xiàn)問題，屬于奇異情況。,