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工程力學(xué),8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算,8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算,8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施,例如：AC和DB段。,橫截面上有彎矩又有剪力。,稱(chēng)為橫力彎曲(剪切彎曲)。,例如：CD段。,橫截面上有彎矩沒(méi)有剪力。,稱(chēng)為純彎曲。,8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,8.1.1純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,平面假設(shè)：梁的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面，且與變形后的軸線垂直，只是繞截面的某一軸線轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度。,單向受力假設(shè)：各縱向纖維之間相互不擠壓。,橫向線(mm、nn):仍保持為直線，發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，仍與弧線垂直。,實(shí)驗(yàn)觀察變形,縱向線(aa、bb)：變?yōu)榛【€，凹側(cè)縮短，凸側(cè)伸長(zhǎng)。,8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,中性軸：中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面。（橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)）,中性軸垂直于縱向?qū)ΨQ(chēng)面。,設(shè)想梁由平行于軸線的眾多縱向纖維組成，由底部纖維的伸長(zhǎng)連續(xù)地逐漸變?yōu)轫敳坷w維的縮短，中間必定有一層纖維的長(zhǎng)度不變。,中性層：中間既不伸長(zhǎng)也不縮短的一層纖維。,8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,變形幾何關(guān)系：,式(a)表明線應(yīng)變?chǔ)排c它到中性層的距離y成正比。,(a),設(shè)橫截面的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，向下為正，中性軸為z軸（位置未定）。,,8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,物理關(guān)系：,式(b)表明橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力σ與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比。,(a),因?yàn)榭v向纖維之間無(wú)正應(yīng)力，每一纖維都是單向拉伸或壓縮。當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由胡克定律知,(b),在中性軸上：y＝0，σ＝0。,將(a)代入上式，得,8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,＝常量，,z軸（中性軸）通過(guò)截面形心。,梁的軸線在中性層內(nèi)，其長(zhǎng)度不變。,靜力學(xué)關(guān)系,(c),(d),(e),將式代入式(c)，得,8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,EIz稱(chēng)為梁的彎曲剛度。,式中1/ρ為梁彎曲后軸線的曲率。,將式(b)代入式(d)，得,(b),(d),(e),y軸為對(duì)稱(chēng)軸，必然有Iyz=0。,(自然滿(mǎn)足),將式(b)代入式(e)，得,8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,由上面兩式，得純彎曲時(shí)正應(yīng)力的計(jì)算公式：,(b),將彎矩M和坐標(biāo)y按規(guī)定的正負(fù)代入，所得到的正應(yīng)力若為正，即為拉應(yīng)力，若為負(fù)則為壓應(yīng)力。,一點(diǎn)的應(yīng)力是拉應(yīng)力或壓應(yīng)力，也可由彎曲變形直接判定。以中性層為界，梁在凸出的一側(cè)受拉，凹入的一側(cè)受壓。,只要梁有一縱向?qū)ΨQ(chēng)面，且載荷作用于這個(gè)平面內(nèi)，上面的公式就可適用。,8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,8.1.2橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,在工程實(shí)際中，一般都是橫力彎曲，此時(shí)，梁的橫截面上不但有正應(yīng)力還有剪應(yīng)力。因此，梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和各縱向纖維之間無(wú)擠壓的假設(shè)都不成立。,雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應(yīng)用純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式來(lái)計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，所得結(jié)果誤差不大，足以滿(mǎn)足工程中的精度要求。且梁的跨高比l/h越大，其誤差越小。,8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,Wz稱(chēng)為彎曲截面模量。它與截面的幾何形狀有關(guān)，單位為m3。,橫力彎曲時(shí)，彎矩隨截面位置變化。一般情況下，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的截面上，且離中性軸最遠(yuǎn)處。即,引用記號(hào),則,8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件,對(duì)于寬為b，高為h的矩形截面,,對(duì)于直徑為D的圓形截面,對(duì)于內(nèi)外徑分別為d、D的空心圓截面,8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件,,當(dāng)中性軸為對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，表示最大應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離，橫截面上的最大正應(yīng)力為,,,稱(chēng)為抗彎截面模量,,橫截面上正應(yīng)力的畫(huà)法：,對(duì)于中性軸不是對(duì)稱(chēng)軸的橫截面？,求得相應(yīng)的最大正應(yīng)力,,,z,,M,,,,,例：長(zhǎng)為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN，試求B截面上a、b、c各點(diǎn)的正應(yīng)力。,b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN,（壓）,例：試計(jì)算圖示簡(jiǎn)支矩形截面木梁平放與豎放時(shí)的最大正應(yīng)力，并加以比較。,豎放,橫放,例：已知l=1m，q=6kN/m，10號(hào)槽鋼。求最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。,解：（1）作彎矩圖,,（2）由型鋼表查得，10號(hào)槽鋼,（3）求最大應(yīng)力,,8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,如果梁的最大工作應(yīng)力，不超過(guò)材料的許用彎曲應(yīng)力，梁就是安全的。因此，梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為,對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料(如炭鋼)，只要絕對(duì)值最大的正應(yīng)力不超過(guò)許用彎曲應(yīng)力即可。,對(duì)于抗拉和抗壓不等的材料(如鑄鐵)，則最大的拉應(yīng)力和最大的壓應(yīng)力分別不超過(guò)各自的許用彎曲應(yīng)力。,8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件,例：圖a所示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，其截面簡(jiǎn)化后的尺寸見(jiàn)圖b。已知F=150kN，如果[?]=165MPa，校核梁的強(qiáng)度。,解：做彎矩彎矩圖。,,,375KN.M,截面C為危險(xiǎn)截面,由型鋼規(guī)格表查得56a號(hào)工字鋼截面,于是有,,滿(mǎn)足強(qiáng)度要求,例：T字形截面鑄鐵梁如圖。鑄鐵許用拉應(yīng)力=30MPa,許用壓應(yīng)力=160MPa。已知中性軸位置y1=52mm，截面對(duì)形心軸z的慣性矩為Iz=763cm4。試校核梁的強(qiáng)度。,解：,1.計(jì)算支反力,2.繪彎矩圖,8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件,3.強(qiáng)度校核,B截面：,C截面：,故該梁滿(mǎn)足強(qiáng)度條件。,8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件,例：20a工字鋼梁。若，試求許可荷載F。,解：（1）計(jì)算支反力,,（2）作彎矩圖,,（3）確定許可荷載,,,8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件,例：一矩形截面木梁，已知F=10kN，a=1.2m。木材的許用應(yīng)力=10MPa。設(shè)梁橫截面的高寬比為h/b=2，試選梁的截面尺寸。,解：1.計(jì)算支反力,2.作彎矩圖,3.選擇截面尺寸,A,B截面最危險(xiǎn)，該截面,8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件,強(qiáng)度條件,所以,最后選用125250mm2的截面。,8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件,8.3.1梁的彎曲剪應(yīng)力,1.矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力,關(guān)于橫截面上剪應(yīng)力的分布規(guī)律，作以下兩個(gè)假設(shè)：,(1)橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力的方向都平行于剪力FS；,(2)剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。,在截面高度h大于寬度b的情況下，以上述假設(shè)為基礎(chǔ)得到的解，與精確解相比有足夠的準(zhǔn)確度。,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,剪應(yīng)力計(jì)算公式為,,,,矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。,y=0，即中性軸上各點(diǎn)處：,即橫截面上、下邊緣各點(diǎn)處：,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,2.工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力,腹板上的剪應(yīng)力,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,和,計(jì)算結(jié)果表明：,腹板內(nèi)的剪應(yīng)力近似計(jì)算公式,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,3.圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力,(2)ab弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量τy為常量。,橫截面上彎曲剪應(yīng)力分布的假設(shè),b為ab弦的長(zhǎng)度；,Sz*為ab弦以上的面積對(duì)中性軸z的靜矩。,(1)ab弦上各點(diǎn)的剪應(yīng)力都匯交于D點(diǎn)；,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,在y=0處，即中性軸上各點(diǎn)處：,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,4.薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應(yīng)力,因?yàn)楸”趫A環(huán)的壁厚t遠(yuǎn)小于平均半徑R，故可以認(rèn)為剪應(yīng)力τ沿壁厚均勻分布，方向與圓周相切。,最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上，其值為,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,一般情況，在剪力為最大值的截面的中性軸上，出現(xiàn)最大剪應(yīng)力,彎曲剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件,細(xì)長(zhǎng)梁的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力。,滿(mǎn)足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的梁，一般都能滿(mǎn)足剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件。,8.3.2梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,必須進(jìn)行剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核的情況：,(1)梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷；以致梁的彎矩較小，而剪力很大。,(2)焊接或鉚接的工字梁，如果腹板較薄而截面高度很大，以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應(yīng)比值，這時(shí)，對(duì)腹板應(yīng)進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。,(3)經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的組合梁，一般需對(duì)焊縫、鉚釘或膠合面進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,例：梁由3根木條膠合而成。，，,試求許可荷載F。,（1）計(jì)算支反力,解：,（2）作剪力圖和彎矩圖,（3）確定許可荷載F,,,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,,,由彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件,由膠合面上剪應(yīng)力強(qiáng)度條件,,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,綜上所述，膠合梁的許可荷載為,8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)梁時(shí)，主要是根據(jù)梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,,由上式可見(jiàn)，要提高梁的彎曲強(qiáng)度，即降低最大正應(yīng)力，可以從兩個(gè)方面來(lái)考慮，一是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩Mmax的數(shù)值；二是采用合理的截面形狀，以提高彎曲截面系數(shù)W的數(shù)值。,8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施,8.4.1合理安排梁的受力情況,合理安排作用在梁上的荷載，可以降低梁的最大彎矩。,8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施,合理布置梁的支座，同樣也可以降低梁的最大彎矩。,僅為原簡(jiǎn)支梁最大彎矩值的20%。,8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施,在工程實(shí)際中，圖示的門(mén)式起重機(jī)的大梁，圖示的圓柱形容器，其支撐點(diǎn)都略向中間移動(dòng)，就考慮了降低由荷載和自重所產(chǎn)生的最大彎矩。,8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施,8.4.2采用合理的截面形狀,當(dāng)彎矩值一定時(shí)，橫截面上的最大正應(yīng)力與彎曲截面系數(shù)成反比，即彎曲截面系數(shù)W，越大越好。另一方面，橫截面面積越小，梁使用的材料越少，自重越輕，即橫截面面積A，越小越好。,因此，合理的橫截面形狀應(yīng)該是截面面積A較小，而彎曲截面系數(shù)W較大。我們可以用比值來(lái)衡量截面形狀的合理性。所以，在截面面積一定時(shí)，環(huán)形截面比圓形截面合理，矩形截面比圓形截面合理，矩形截面豎放比平放合理，工字形截面比矩形截面合理。,8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施,對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料制成的梁，宜采用中性軸為其對(duì)稱(chēng)軸的截面，例如，工字形、矩形、圓形和環(huán)形截面等。,另外，截面是否合理，還應(yīng)考慮材料的特性。,8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施,對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料制成的梁，宜采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面。,對(duì)這類(lèi)截面，應(yīng)使最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)接近材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力。,8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施,8.4.3合理設(shè)計(jì)梁的外形,在一般情況下，梁的彎矩沿軸線是變化的。因此，在按最大彎矩所設(shè)計(jì)的等截面梁中，除最大彎矩所在的截面外，其余截面的材料強(qiáng)度均未能得到充分利用。,為了減輕梁的自重和節(jié)省材料，常常根據(jù)彎矩的變化情況，將梁設(shè)計(jì)成變截面的。在彎矩較大處，采用較大的截面；在彎矩較小處，采用較小的截面。,這種截面沿軸線變化的梁，稱(chēng)為變截面梁。例如：階梯軸、魚(yú)腹梁等。,8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施,從彎曲強(qiáng)度考慮，理想的變截面梁應(yīng)該使所有截面上的最大彎曲正應(yīng)力均相同，且等于許用應(yīng)力，即,這種梁稱(chēng)為等強(qiáng)度梁。,8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施,