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1、數(shù)列求和 知識要點： 數(shù)列求和的常用方法 1．公式法； 2．倒序相加法； 3．錯位相減法； 4．分組轉(zhuǎn)化法； 5．裂項相消法． 1．公式法； 2．倒序相加法． 3．錯位相減法． 4．分組轉(zhuǎn)化法． 5．裂項相消法． 習(xí)題講解 練習(xí) 求下列各項的和 （1）Sn=1+（3+4）+（5+6+7）+…+（2n – 1+2n+…+3n –2） （2）Sn=12–22+32– 42+…+（– 1）n–1·n2 【解析】（1）∵an=（

2、2n–1）+2n+（2n+1）+…+[（2n – 1）+ n – 1] =， ∴Sn=…+n2）–(1+2+…+n) =. （2）當n是偶數(shù)時， [(n–1)2–n2] = –3–7…–(2n+1) =. 當n是奇數(shù)時， Sn=1+（32–22）+（52– 42）+…+ [n2– (n–1)] =1 + 5 + 9 +…+（2n–1）=. 故Sn=. 小結(jié) 練習(xí) 1 . 已知數(shù)列{an}滿足a1 = 1， (n∈N *，n＞1). （1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列； （2）求數(shù)列{ anan + 2}的前n項和Sn； （3）設(shè)

3、(a∈R)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 【解析】（1）當n≥2時，由得：an – 1 – an – 2 an – 1 an = 0， 兩邊同除an an – 1，得 ∴{}是以為首項，d = 2為公差的等差數(shù)列. （2）由（1）知，= 1 + ( n – 1 )×2 = 2n – 1，∴an = ∴an an +2 =， …+ （3）∵bn = ∴ ， 當a = 0時，Tn = 0； 當a = 1時，Tn = n2； 當a≠0且a≠1時，由于Tn = a + 3a2 + 5a3 +…+(2n – 1)an

4、 ① ∴aTn = a2 + 3a3 + 5a4+…+(2n – 1)an + 1 ② ① – ②得：(1 – a)Tn = a + 2(a2 + a3 +…+an) – (2n – 1)an + 1， ∴， 故 2. 如果有窮數(shù)列a1，a2，…，am(m為正整數(shù))滿足條件a1 = am，a2 = am – 1 …，am = a1，即 ai = am – i + 1 (i = 1，2，…，m )，我們稱其為“對稱數(shù)列”. 例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對稱數(shù)列”. （1）設(shè){bn}是7項的“對稱數(shù)列”，其中b1，b2，b3，b4是等差數(shù)列，且

5、b1 = 2，b4 = 11，依次寫出{bn}的每一項； （2）設(shè){cn}是49項的“對稱數(shù)列”，其中c25，c26，…，c49是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求{cn}的各項的和S； （3）設(shè){dn}是100項的“對稱數(shù)列”，其中d51，d52，…，d100是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，求{dn}前n項的和Sn(n = 1，2，…100). 【解析】（1）設(shè)數(shù)列{bn}前四項的差為d， 則b4 = b1 + 3d = 2 + 3d = 11，解得d = 3， ∴數(shù)列{bn}為2，5，8，11，8，5，2. （2）S = c1 + c2+…+c49 = 2(c25 + c26 +

6、…+ c49) – c25 = 2 (1 + 2 + 22 + …224) – 1 = 2 (225 – 1) – 1 = 226 – 3 = 67108861. （3）d51 = 2，d100 = 2 + 3×(50 – 1) = 149. 由題意得d1，d2，…，d50是首項為149，公差為 – 3的等差數(shù)列， 當n≤50時，Sn = d1 + d2 + … + dn. = 149n + 當51≤n≤100時，Sn = d1 + d2 + … + dn = S50 + (d51 + d52 + … + dn) = 3775 + 2×(n – 50) + = 綜上所述，Sn = 9