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1、第四節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)相關變化率,隱函數(shù)的導數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)相關變化率(不講),前面我們討論的函數(shù)都表示為y=?(x)的形式,其特點是:等號左端是因變量y,而右端是只含自變量x的表達式.這種方式表達的函數(shù)稱為顯函數(shù).如果x與y之間的函數(shù)關系不是直接表達出來,而是用x,y的一個表達式,如方程F(x,y)=0的形式表達出來,也就是說,方程F(x,y)=0也可以確定y是x的函數(shù),即在方程F(x,y)=0中當x取某區(qū)間內(nèi)的任一個值時,相應地總有唯一地滿足這個方程的y值存在,這就是由方程F(x,y)=0確定的函數(shù),我們稱為隱函數(shù).,一、隱函數(shù)的導數(shù),(2)由方程F(

2、x,y)=0確定y是x的函數(shù)不能或不易顯化.如,這時由方程F(x,y)=0確定了y是x的隱函數(shù).,(1)由方程F(x,y)=0反解出y,確定y是x的函數(shù)y=?(x),我們稱為將一個隱函數(shù)顯化;,問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?,既然由方程F(x,y)=0確定了y是x的(隱)函數(shù),因而有必要討論直接由方程F(x,y)=0如何求它所確定的隱函數(shù)的導數(shù).,一般地,方程F(x,y)=0在一定條件下確定的隱函數(shù)有兩種情形:,隱函數(shù)求導法則:,用復合函數(shù)求導法則直接方程兩邊同時對x求導.,解,方程兩邊同時對x求導.,解得,,由方程知x=0,y=0,,注求導時要把方程中的y看作x的函數(shù)，按復合函數(shù)求

3、導法則見到y(tǒng)就要對x求導.,例2求曲線y+x–exy=0在點(0?1)處的切線方程.,解方程兩端逐項對x求導(y是x的函數(shù))得,解得,將已知條件代入得,,,解,練一練,1.,2.設方程x2+y2=R2確定函數(shù)y=y(x),求,解方程兩端逐項對x求導(y是x的函數(shù))得,解得,例3求由方程x3+y3–a=0(a是常數(shù))確定的隱函數(shù)y(x)的二階導數(shù).,解方程兩端逐項對x求導(y是x的函數(shù))并解得,上式兩端再對x求導(y是x的函數(shù))得,1.設x4–xy+y4=1,求隱函數(shù)y(x)在點(0,1)處的二階導數(shù)值.,解方程兩端逐項對x求導得,代入x=0,y=1得,將方程(1)兩端再對x求導得,代入x=0,

4、y=1,得,練一練,解,2.,對數(shù)求導數(shù)法,對于冪指函數(shù)和連乘積函數(shù),直接利用基本初等函數(shù)的求導公式和求導法則很難求出其導數(shù),這時可以采用先取自然對數(shù),然后再使用則復合函數(shù)的可導法則求其導數(shù).這種求導方法稱為對數(shù)求導法.,對數(shù)求導法的步驟:,1.兩端取自然對數(shù);,2.兩端利用求導法則對求導;,3.解出.,例4求冪指函數(shù)的導數(shù).,解1(對數(shù)求導法)首先取對數(shù)，得,1.冪指函數(shù)y=?(x)φ(x)(?(x)>0)的導數(shù).,解2,利用復合函數(shù)求導法則,得,上面例子說明對數(shù)求導法是充分利用對數(shù)性質(zhì)及復合函數(shù)求導法則來簡化求導計算的方法.,例5設,解取已知函數(shù)的絕對值的對數(shù),得,2.多個函數(shù)連乘或連除的

5、導數(shù),解,2.,解,1.,練一練,3.設函數(shù),故,例如,,消去參數(shù),二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的的導數(shù),但是,有時消去參數(shù)t比較困難,所以我們希望直接由參數(shù)方程(1)得到y(tǒng)對x的導數(shù).,時,有,由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法則:,時,有,(此時看成x是y的函數(shù)),例5設,解,因為,解,方程組兩邊同時對t求導,得,設，,,,練一練,解,練一練,所求切線方程為,由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導數(shù):,利用新的參數(shù)方程,,可得,解,例6設,問題已知,一階導數(shù)可以看作新的參數(shù)方程,所確定的函數(shù)，再一次利用參數(shù)方程求導數(shù),得,?,而,說明,解,求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導數(shù).,練一練,解,練一練,解,練一練,解,相關變化率問題:,已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?,,三、相關變化率（不講）,例8,解,仰角增加率,例9,解,水面上升之速率,隱函數(shù)求導法則:直接對方程兩邊求導;,對數(shù)求導法:對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導法則求導;,參數(shù)方程求導:實質(zhì)上是利用復合函數(shù)求導法則;,相關變化率:通過函數(shù)關系確定兩個相互依賴的變化率;解法:通過建立兩者之間的關系,用鏈式求導法求解.,小結,思考題,思考題解答,不對．,