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1、二、函數(shù)的間斷點(diǎn),一、函數(shù)連續(xù)性的定義,第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn),第一章函數(shù)與極限,引入,連續(xù)函數(shù)具有很強(qiáng)的幾何直觀，且在生活中有許多現(xiàn)實(shí)的例子.比如,隨著時(shí)間的微小變化，我們的身高也進(jìn)行微小的改變，氣溫也進(jìn)行微小的變化，開著的汽車的行程也作了微小的變化?？偟谜f來，可以抽象為隨著自變量的微小變化，相應(yīng)的函數(shù)值也只有微小的變化。來刻畫這種相互依賴的微小變化用到的工具就是函數(shù)的連續(xù)性。,自變量與應(yīng)變量的變化描述,,x,,y,O,,y=f(x),,,,,,,,,一、函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)的定義,記,于是，上述定義可以轉(zhuǎn)化為,確切地，有以下定義：,一、函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)的定義（續(xù)）,用極限的“???”語言來

2、描述：,單側(cè)連續(xù)的定義,(1)左連續(xù):,(2)右連續(xù):,區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,直觀上，連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,在閉區(qū)間[a,b]上的全體連續(xù)函數(shù)的集合記作,在(??,??)上連續(xù).,例1.,證:,,由x0的任意性知函數(shù)y=sinx在(??,??)內(nèi)連續(xù).,同樣可證:函數(shù)y=cosx在(??,??)內(nèi)連續(xù).,即,可見,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)必須具備下列條件:,(3),二、函數(shù)的間斷點(diǎn),(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0,但,設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,,則有下列情,形之一的函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0不

3、連續(xù):,這樣的點(diǎn)x0稱為間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn).,無定義;,間斷點(diǎn)的分類:,第一類間斷點(diǎn):,第二類間斷點(diǎn):,為其無窮間斷點(diǎn).,為其振蕩間斷點(diǎn).,為可去間斷點(diǎn).,例如,,在處無定義.,在x=0處無定義.,在x=1處無定義.,x=0,x=1,補(bǔ)充定義f(1)=？,則函數(shù)在x=1連續(xù).,顯然,x=1為其可去間斷點(diǎn).,(5),x=0為其跳躍間斷點(diǎn).,(4),修改定義f(1)=？時(shí)可使函數(shù)在x=1處連續(xù).,小結(jié),左連續(xù),,,右連續(xù),第一類間斷點(diǎn),,可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),(左右極限都存在),第二類間斷點(diǎn),,無窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),(左右極限至少有一個(gè)不存在),2.f(x)在點(diǎn)x0間斷的類型,1.f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)的幾種等價(jià)形式,,,可補(bǔ)充或修改定義使之成為連續(xù)點(diǎn)!,,,課堂練習(xí),x=2是第二類無窮間斷點(diǎn).,提示:,答案:x=1是第一類可去間斷點(diǎn),,可補(bǔ)充定義f(1)=?2則函數(shù)就在x=1處連續(xù).,3.確定函數(shù),間斷點(diǎn)的類型.,解:間斷點(diǎn),為無窮間斷點(diǎn);,故x=1為跳躍間斷點(diǎn).,作業(yè),P64-652(別忘了畫圖)3/(2)(3)(4)(需要詳細(xì)說明理由)4,