2023屆大一輪復習 第15練 三角恒等變換(Word版含解析)
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1、2023屆大一輪復習 第15練 三角恒等變換 一、選擇題(共29小題) 1. 若已知 cos2α=12,其中 α∈?π4,0,則 sinα 的值為 ?? A. 12 B. ?12 C. 32 D. ?32 2. 若 cos2θ=14,則 sin2θ+2cos2θ 的值為 ?? A. 78 B. 1932 C. 138 D. 32 3. 已知 sinx+cosx=325,則 sin2x= ?? A. 1825 B. 725 C. ?725 D. ?1625 4. sin20°cos10°+cos20°sin10°= ?? A. 12
2、B. 32 C. ?12 D. ?32 5. cos2π8?sin2π8 等于 ?? A. 0 B. 22 C. 1 D. ?22 6. 若 cosα=?45,α 是第二象限的角,則 cosα+π4 等于 ?? A. ?210 B. 22 C. ?7210 D. 7210 7. 已知 tanx=?34,則 tan2x 等于 ?? A. 724 B. ?724 C. 247 D. ?247 8. 已知 tanα=2,tanα+β=?1,則 tanβ= ?? A. 3 B. 1 C. ?1 D. ?3 9. 若 sinα=35,且
3、 α∈π2,π,則 tanα+π4= ?? A. ?34 B. 34 C. 7 D. 17 10. 已知角 α 的頂點在坐標原點 O,始邊與 x 軸的非負半軸重合,將角 α 的終邊繞點 O 順時針旋轉 π3 后,經過點 ?3,4,則 sinα= ?? A. 33+410 B. 4?3310 C. 33?410 D. ?4+3310 11. 已知角 α 的頂點在坐標原點,始邊與 x 軸的非負半軸重合,終邊經過點 P3,4,則 cos2α+βcosβ+sin2α+βsinβ 的值是 ?? A. ?925 B. 725 C. ?725 D. 925 12
4、. 函數 y=sin2x+π4+sin2x?π4 的最小值為 ?? A. 2 B. ?2 C. ?2 D. 3 13. 函數 fx=sin2x+3sinxcosx 在區(qū)間 π4,π2 上的最大值是 ?? A. 1 B. 1+32 C. 32 D. 1+3 14. 函數 y=12+sinx+cosx 的最大值是 ?? A. 22?1 B. ?22?1 C. 1?22 D. 1+22 15. sinπ4+αcosπ4+β 化為和差的結果是 ?? A. 12sinα+β+12cosα?β B. 12cosα+β+12sinα?β C. 12sinα+
5、β+12sinα?β D. 12cosα+β+12cosα?β 16. 若 3cosπ2?θ+cosπ+θ=0,則 cos2θ+12sin2θ 的值是 ?? A. ?65 B. ?45 C. 65 D. 45 17. 若 ?2π<α3π2,則化簡 1?cosα?π2 的結果是 ?? A. sinα2 B. cosα2 C. ?sinα2 D. ?cosα2 18. 若 α 為第四象限角,則 ?? A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 19. 已知 sinθ+sinθ+π3=1,則 sinθ
6、+π6= ?? A. 12 B. 33 C. 23 D. 22 20. 已知 α∈0,π,且 3cos2α?8cosα=5,則 sinα= ?? A. 53 B. 23 C. 13 D. 59 21. 若 sinα=13,則 cos2α= ?? A. 89 B. 79 C. ?79 D. ?89 22. 已知 sinα,cosα 是方程 5x2?5x?2=0 的兩個實根,且 α∈0,π,則 cosα+π4= ?? A. 1010 B. ?1010 C. 31010 D. ?31010 23. 若 sinα+cosα=13,0<α<
7、π,則 sin2α+cos2α= ?? A. ?8?179 B. ?8±179 C. ?8+179 D. 8+179 24. 已知函數 fx=sin∣2x∣+2∣sinx∣cosx,給出下列四個命題: ① fx 是偶函數 ② fx 在區(qū)間 π4,π2 上單調遞增 ③ fx 在 ?2π,2π 有 7 個零點 ④ fx 的最大值為 2 其中真命題的個數是 ?? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 25. 已知函數 fx=sinωx+3cosωxω>0,x1,x2 為函數 fx 的兩個極值點,若 x1?x2 的最小值為 π2,則 ?? A.
8、 fx 在 ?5π12,π12 上單調遞減 B. fx 在 ?5π12,π12 上單調遞增 C. fx 在 ?2π3,π3 上單調遞減 D. fx 在 ?2π3,π3 上單調遞增 26. 若 cosα+β=35,sinβ?π4=513,α,β∈0,π2,則 cosα+π4= ?? A. ?3365 B. 3365 C. 5665 D. ?1665 27. 已知 2tanθ?tanθ+π4=7,則 tanθ= ?? A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 28. 已知 α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,則 sinα= ??
9、 A. 15 B. 55 C. 33 D. 255 29. 若 fx=cosx?sinx 在 0,a 是減函數,則 a 的最大值是 ?? A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π 二、選擇題(共4小題) 30. 函數 y=sinxcosx+3cos2x?3 的圖象的一個對稱中心為 ?? A. π3,?32 B. 5π6,?32 C. ?2π3,32 D. 2π3,?3 31. 在 △ABC 中,C=120°,tanA+tanB=233,下列各式正確的是 ?? A. A+B=2C B. tanA+B=?3 C. tanA=tanB D.
10、cosB=3sinA 32. 已知 α,β 是銳角,cosα=55,cosα?β=31010,則 cosβ= ?? A. 22 B. 7210 C. 210 D. ?22 33. 設函數 fx=sin2x+π4+cos2x+π4,則 fx ?? A. 是偶函數 B. 在區(qū)間 0,π2 上單調遞增 C. 最大值為 2 D. 其圖象關于點 π4,0 對稱 三、填空題(共5小題) 34. 已知 tanα=3,tanβ=2,則 tanα?β 等于 ?. 35. 在平面直角坐標系中,已知一個角 α 的頂點在坐標原點
11、,始邊與 x 軸的非負半軸重合,終邊經過點 P5,?12,則 sin2α= ?.
36. 已知 cosα+β=15,cosα?β=35,則 tanαtanβ 的值為 ?.
37. 若 π4 12、?2sin2α,cos2α=12,
所以 sinα=±1?cos2α2=±12.
因為 α∈?π4,0,所以 sinα=?12.
2. C
【解析】sin2θ+2cos2θ=1?cos2θ2+2×1+cos2θ2=32+cos2θ2=32+18=138,
故選:C.
3. C
【解析】sinx+cosx=325?sinx+cosx2=1825?1+2sinxcosx=1825?sin2x=?725,
故選C.
4. A
【解析】sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin20°+10°=sin30°=12,故選A.
5. B
【解析】根據余弦的 13、二倍角公式可得 cos2π8?sin2π8=cosπ4=22,故選B.
6. C
【解析】因為 α 是第二象限角,
所以 sinα=1?cos2α=35,
因此,
cosα+π4=cosαcosπ4?sinαsinπ4=?45×22?35×22=?7210.
故選:C.
7. D
【解析】tan2x=2tanx1?tan2x=2×?341??342=?247.
8. A
【解析】tanα+β=tanα+tanβ1?tanα?tanβ,
代入 tanα=2,
得:2+tanβ1?2tanβ=?1,
解得:tanβ=3.
故選:A.
9. D
【解析】若 14、 sinα=35,且 α∈π2,π,則 cosα=?1?sin2α=?1?352=?45,
所以 tanα=sinαcosα=35?45=?34,
故 tanα+π4=tanα+tanπ41?tanαtanπ4=?34+11??34×1=17.
故選:D.
10. B
【解析】因為角 α 的終邊按順時針方向旋轉 π3 后得到的角為 α?π3,
所以由三角函數的定義,可得:cosα?π3=?3?32+42=?35,sinα?π3=4?32+42=45,
所以
sinα=sinα?π3+π3=sinα?π3cosπ3+cosα?π3sinπ3=45×12+?35×32=4?33 15、10,
故選:B.
11. C
【解析】由題意知,cosα=332+42=35,
cos2α+βcosβ+sin2α+βsinβ=cos2α+β?β=cos2α=2cos2α?1=1825?1=?725.
故選:C.
12. C
【解析】原式=sin2x+π4+sin2x?π4=sin2xcosπ4+cos2xsinπ4+sin2xcosπ4?cos2xsinπ4=2sin2x,
所以 y 的最小值為 ?2.
13. C
【解析】由 fx=1?cos2x2+32sin2x=12+sin2x?π6,
因為 π4≤x≤π2?π3≤2x?π6≤5π6,
所以 fx 16、max=12+1=32,故選C.
14. D
【解析】y=12+sinx+cosx=12+2sinx+π4≤12?2=2+22.
15. B
16. C
【解析】因為 3cosπ2?θ+cosπ+θ=0,
由誘導公式可得 3sinθ?cosθ=0,即 tanθ=13,
所以
cos2θ+12sin2θ=cos2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=1+tanθ1+tan2θ=1+131+19=65.
故選:C.
17. D
【解析】1?cosα?π2=1+cosα2=cosα2.
因為 ?2π<α3π2,所以 ?π<α23π4,
所以 cos 17、α2<0,所以 cosα2=?cosα2.
18. D
【解析】α 為第四象限角,
則 ?π2+2kπ<α<2kπ,k∈Z,
則 ?π+4kπ<2α<4kπ,
所以 2α 是第三或第四象限角或為 y 軸負半軸上的角,
所以 sin2α<0.
19. B
【解析】因為 sinθ+sinθ+π3=1,
所以 sinθ+12sinθ+32cosθ=1,
即 32sinθ+32cosθ=1,得 312cosθ+32sinθ=1,
即 3sinθ+π6=1,得 sinθ+π6=33.
故選:B.
20. C
【解析】由 3cos2α?8cosα=5,得 32cos2α? 18、1?8cosα?5=0,
即 3cos2α?4cosα?4=0,解得 cosα=2(舍去),或 cosα=?23.
因為 α∈0,π,
所以 α∈π2,π,
則 sinα=1?cos2α=1??232=53.
故選:A.
21. B
【解析】因為 sinα=13,
所以 cos2α=1?2sin2α=1?2×19=79.
故選:B.
22. D
【解析】因為 sinα,cosα 是方程 5x2?5x?2=0 的兩個實根,
所以 sinα+cosα=55,sinα?cosα=?25,
因為 α∈0,π,且 sinα?cosα<0,所以 sinα>0 且 cosα<0 19、,
所以 cosα?sinα<0,
所以
cosα+π4=cosαcosπ4?sinαsinπ4=22cosα?sinα=?22cosα?sinα2=?22cosα+sinα2?4sinα?cosα=?22552+4×25=?22×355=?31010.
23. A
【解析】因為 sinα+cosα=13,???①
所以 1+2sinαcosα=19,即 2sinαcosα=sin2α=?89,
所以 1?2sinαcosα=sinα?cosα2=179.
因為 sinαcosα<0,且 0<α<π,
所以 sinα>0,cosα<0,
所以 sinα?cosα=17 20、3.
① × ②變形得 cos2α?sin2α=cos2α=?179,
所以 sin2α+cos2α=?89?179=?8?179.
故選:A.
24. C
【解析】因為 f?x=sin∣2x∣+2sin∣x∣cosx=fx,故 fx 為 R 上的偶函數,故①正確.
當 x≥0 時,fx=sin2x+2∣sinx∣cosx=2sin2x,sinx≥00,sinx<0,
又在 0,+∞ 上,fx=fx+2π 總成立,故可考慮 fx 在 0,2π 上的圖象和性質.
又 fx=2sin2x,x∈0,π0,x∈π,2π,
其圖象如下:
由圖象可知④對,②錯,
而 fx 在 21、?2π,2π 有無數個零點,故③錯,
故選:C.
25. B
【解析】函數的解析式 fx=2sinωx+π3,
由題意可得:T2=π2?T=π,
即 2πω,則 ω=2,
函數的解析式為:fx=2sin2x+π3,
由 2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2,
即 kπ?512π≤x≤kπ+π12k∈Z,
令 k=0 可得函數的一個單調遞增區(qū)間為 ?512π,π12,
2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2,
即 kπ+π12≤x≤kπ+7π12k∈Z,
不存在滿足題意的單調減區(qū)間.
故選:B.
26. C
【解析】因為 α+β?β?π4=α+π4,
所 22、以
cosα+π4=cosα+β?β?π4=cosα+β?cosβ?π4+sinα+β?sinβ?π4,
因為 α?β∈0,π2,
所以 0<α+β<π,?π2<β?π4<π2,
所以 sinα+β=45,cosβ?π4=1213,
所以 cosα+π4=35?1213+45?513=5665,
故選:C.
27. D
【解析】由 2tanθ?tanθ+π4=7,得 2tanθ?tanθ+11?tanθ=7,
即 2tanθ?2tan2θ?tanθ?1=7?7tanθ,
得 2tan2θ?8tanθ+8=0,
即 tan2θ?4tanθ+4=0,
即 tanθ?2 23、2=0,
則 tanθ=2,
故選:D.
28. B
【解析】因為 2sin2α=cos2α+1,
所以可得:4sinαcosα=2cos2α,
因為 α∈0,π2,sinα>0,cosα>0,
所以 cosα=2sinα,
因為 sin2α+cos2α=sin2α+2sinα2=5sin2α=1,
所以解得:sinα=55.
故選:B.
29. C
【解析】fx=cosx?sinx=?sinx?cosx=?2sinx?π4,
由 ?π2+2kπ≤x?π4≤π2+2kπ,k∈Z,
得 ?π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ,k∈Z,
取 k=0,得 fx 的一個減 24、區(qū)間為 ?π4,3π4,
由 fx 在 0,a 是減函數,得 a≤3π4.
則 a 的最大值是 3π4.
30. A, B
【解析】y=12sin2x+321+cos2x?3=12sin2x+32cos2x?32=sin2x+π3?32,
令 2x+π3=kπ,x=kπ2?π6k∈Z,
當 k=1 時,x=π3,對稱中心是 π3,?32;
當 k=2 時,x=5π6,對稱中心是 5π6,?32.
故答案為:AB.
31. C, D
【解析】因為 C=120°,
所以 A+B=60°,
所以 2A+B=C,
所以 tanA+B=3,
所以選項A,B錯誤; 25、
因為 tanA+tanB=31?tanA?tanB=233,
所以 tanA?tanB=13,???①
又 tanA+tanB=233,???②
所以聯(lián)立①②解得 tanA=tanB=33,
所以 cosB=3sinA,故選項C,D正確;
故選:CD.
32. A, C
【解析】由 α 是銳角,cosα=55,則 sinα=1?cos2α=255,
又 α,β 是銳角,則 ?β∈?π2,0,得 α?β∈?π2,π2,
又 cosα?β=31010,則 sinα?β=±1010,
則
cosβ=cosα?α?β=cosαcosα?β+sinαsinα?β=55× 26、31010±255×1010=32±2210.
得 cosβ=22 或 cosβ=210.
故選:AC.
33. A, D
【解析】fx=sin2x+π4+cos2x+π4=2sin2x+π4+π4=2cos2x
選項A:f?x=2cos?2x=2cos2x=fx,它是偶函數,正確;
選項B:x∈0,π2,所以 2x∈0,π,因此 fx 是單調遞減,錯誤;
選項C:fx=2cos2x 的最大值為 2,錯誤;
選項D:函數的對稱中心為 kπ2+π4,0,k∈Z,當 k=0,圖象關于點 π4,0 對稱,正確.
34. 17
【解析】由兩角差的正切公式得 tanα 27、?β=tanα?tanβ1+tanαtanβ=3?21+3×2=17.
35. ?120169
【解析】因為一個角 α 的頂點在坐標原點,始邊與 x 軸的非負半軸重合,終邊經過點 P5,?12,
所以由三角函數定義可得得 sinα=?1225+144=?1213,cosα=525+144=513.
則由正弦二倍角公式可得 sin2α=2sinα?cosα=?120169.
故答案為:?120169.
36. 12
【解析】因為 cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ=15,cosα?β=cosαcosβ+sinαsinβ=35,
所以 cosαcosβ=25,si 28、nαsinβ=15,
相除可得 tanαtanβ=1525=12.
故答案為 12.
37. ?16
【解析】因為 π4
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