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1、形式語言與自動機 四、五章部分習題答案
形式語言與自動機作業(yè)參考答案（僅供參考）
第四章
2．最左推導：E→E+T→T+T→E+T→b+T→b+T/F→b+F/F→b+b/F→b+b/b
最右推導：E→E+T→E+T/F→E+T/b→E+F/b→E+b/b→T+b/b→F+b/b→b+b/b
8.(1)由題：S,D,E為有用非終結符，刪去有關C的生成式，得：G1:S→ED,D→a,E→b
(2)由題：S,D,E為有用非終結符，刪去有關C的生成式，得：G2:S→D,D→b
2、S|b,E→DS|b.
又E不可達，刪去有關E得生成式，得：G2:S→D,D→bS|b
9．由題：N’={S,C,D,E},因為S∈N’，所以P1中加入生成式:S1→S|ε,變換后的無ε生成式的等價文法為：G1={N1,T,P1,S1}
N1={S1,S,C,D,E}
P1:S1→S|ε S→DCE,D→CC,C→EE|b,E→DD|a
10. 把下列文法變換為無ε生成式、無單生成式和沒有無用符號的等價文法：
S →A1 | A2 , A1 →A3 | A4 , A2 →A4 | A5 , A3 →S | b |ε, A4 →S | a，A5 →S | d |ε
解: ⑴ 由算法
3、3，變換為無ε生成式：
N’ = { S, A1,A2,A3,A4,A5 }
G1 = ( { S1,S, A1,A2,A3,A4,A5 } , { a,b,d }, P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：
S1 →ε| S ,
S →A1 | A2 ,
A1 →A3 | A4 ,
A2 →A4 | A5 ,
A3 →S | b ,
A4 →S | a ,
A5 →S | d ,
⑵ 由算法4，消單生成式：
NS1 = { S1,S,A1,A2,A3,A4, A5 } ,
NS = NA1 = NA2 = NA3 = NA4 = NA5 = { S, A1,A2,A
4、3,A4, A5 } ,
運用算法4，則P1變?yōu)椋?
S1 →a | b | d |ε ,
S →a | b | d ,
A1 →a | b | d ,
A2 →a | b | d ,
A3 →a | b | d ,
A4 →a | b | d ,
A5 →a | b | d
⑶ 由算法1和算法2，消除無用符號，得到符合題目要求的等價文法：
G1 = ( { S1 } , { a,b,d } , P1 , S1 ) ，其中生成式P1為：S1 →a | b | d |ε.
11. 設2型文法G = ( { S,A,B,C,D,E,F } , { a,b,c } , P ,
5、 S ) , 其中P：
S →ASB |ε; A →aAS | a ; B →SBS | A | bb
試將G變換為無ε生成式,無單生成式,沒有無用符號的文法,再將其轉換為Chomsky范式.
解: ⑴ 由算法3，變換為無ε生成式：
N’ = { S }
由S →ASB得出S →ASB | AB ,
由A →aAS得出A →aAS | aA ,
由B →SBS得出B →SBS | SB | BS |B,
由S∈N’ 得出S1 →ε| S ,
因此無ε的等效文法G1 = ( { S1,S,A,B } , { a,b,d } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：
S1
6、 →ε| S ,
S →ASB | AB ,
A →aAS | aA | a,
B →SBS | SB | BS | B| A | bb ,
⑵ 由算法4，消單生成式：
NS1 = { S1,S } , NS = { S } , NA = { A } , NB = { A,B }
由于S →ASB | AB∈P且不是單生成式,故P1中有S1 →ε| ASB | AB ,
同理有 S →ASB | AB , A →aAS | aA | a , B →SBS | SB | BS | aAS | aA | a | bb,
因此生成的無單生成式等效文法為
G1 = ( { S1,S,
7、 A,B } , { a,b } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：
S1 →ε| ASB | AB ,
S →ASB | AB ,
A →aAS | aA | a ,
B →SBS | SB | BS | aAS | aA | a | bb,
⑶ 由算法1和算法2，消除無用符號(此題沒有無用符號);
⑷ 轉化為等價的Chomsky范式的文法:
將S1 →ASB變換為 S1 →AC , C →SB ,
將S →ASB 變換為 S →AC ,
將A →aAS | aA 變換為 A →ED | EA, D →AS , E →a,
將B →SBS | aAS |
8、aA | a | bb , 變換為 B →CS | ED | EA | FF, F →b ,
⑸ 由此得出符合題目要求的等價文法：
G1 = ( { S1,S, A,B,C,D } , { a,b } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：
S1 →ε| AC | AB ,
S →AC | AB ,
A →ED | EA | a ,
B →CS | SB | BS | ED | EA | a | FF ,
C →SB ,
D →AS ,
E →a ,
F →b .
15. 將下列文法變換為等價的Greibach范式文法:
⑴ S →DD | a , D
9、→SS | b
解: 將非終結符排序為S,D,S為低位,D為高位,
⑴ 對于D →SS ,用S →DD | a 代入得 D →DDS | aS | b ,
用引理4.2.4,變化為D →aS | b | aSD | bD , D’ →DS | DSD’ ,
⑵ 將D生成式代入S生成式得 S →aSD | bD | aSD’D | bDD | a ,
⑶ 將D生成式代入D’生成式得
D’ →aSS | bS | aSDS | bDS | aSS D | bS D | aSDS D | bDS D ,
⑷ 由此得出等價的Greibach范式文法：
G1 = ( { S,D,D’
10、} , { a,b } , P1 , S ) ,其中生成式P1如下：
S →aSD | bD | aSD’D | bDD | a ,
D →aS | b | aSD | bD ,
D’ →aSS | bS | aSDS | bDS | aSS D | bS D | aSDS D | bDS D .
⑵ A1 →A3b | A2a , A2 →A1b | A2A2a | b , A3 →A1a | A3A3b | a
解: ⑴ 轉化為等價的Chomsky范式的文法:
A1 →A3A4 | A2A5 ,
A2 →A1A4 | A2A6 | b ,
A3 →A1A5 | A
11、3A7 | a ,
A4 →b ,
A5 →a ,
A6 →A2A5 ,
A7 →A3A4 ,
⑵ 轉化為等價的Greibach范式的文法:
將非終結符排序為A1, A2,A3,A4,A5 ,A1為低位A5為高位,
①對于A2 →A1A4 ,用A1 →A3A4 | A2A5代入得A2 →A3A4A4 | A2 A5A4 | A2A6 | b ,
用引理4.2.4,變化為
A2 →A3A4A4 | b | A3A4A4A2’ | bA2’ ,
A2’ →A5A4A2’ | A6A2’ | A5A4 | A6 ,
②對于A3 →A1A5 ,用A1 →A3A4 | A2A5代入
12、得A3 →A3A4A5 | A2A5A5 | A3A7 | a ,
A3生成式右邊第一個字符仍是較低位的非終結符,將A2生成式代入A3生成式得
A3 →A3A4 A5 | A3A4A4 A5A5 | b A5A5 | A3A4A4A2’ A5A5 | bA2’A5A5 | A3A7 | a ,
用引理4.2.4,變化為
A3 →b A5A5 | bA2’A5A5 | a | b A5A5A3’ | bA2’A5A5A3’ | aA3’ ,
A3’ →A4A5 | A4A4A5A5 | A4A4A2’A5A5 | A7 | A4A5A3’ | A4A4A5A5A3’ | A4A4A2’
13、A5A5A3’ | A7A3’ ,
③對于A6 →A2A5 ,將A2生成式代入A6生成式得
A6 →A3A4A4A5 | bA5 | A3A4A4A2’A5 | bA2’A5 ,
A6生成式右邊第一個字符仍是較低位的非終結符,將A3生成式代入A6生成式得
A6 →bA5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 | bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2
14、’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 ,
④對于A7 →A3A4 , 將A3生成式代入A7生成式得
A7 →b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | a A4 | b A5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 ,
⑤將A5,A6生成式代入A2’生成式得
A2’ →aA4A2’ | bA5A5A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A4A4A5A2’ | aA4A4A5A2’ | bA5A5A3’A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A5A2’ | aA3’A4A4A5A2’
15、| bA5A5A4A4A2’A5 A2’ | bA2’A5A5A4A4A2’A5A2’ | aA4A4A2’A5A2’ | bA5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | aA3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A2’ | b A5A2’ | aA4 | b A5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 |
16、bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 ,
將A4,A7生成式代入A3’生成式得
A3’ →aA5 | aA4A5A5 | aA4A2’A5A5 | aA5A3’ | aA4A5A5A3’ | aA4A2’A5A5A3’ | b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | aA4 | bA5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 | bA5A5A4A3’ | bA2’A5A5A4A3’ | a A4A3’ | b A5A5A3’A4 A3’ | bA2’A5A
17、5A3’A4 A3’ | aA3’A4A3’ ,
⑶ 由此得出等價的Greibach范式文法:
G1 = ( { S,D,D’ } , { a,b } , P1 , S ) ,其中生成式P1如下：
A1 →A3A4 | A2A5 ,
A2 →A3A4A4 | b | A3A4A4A2’ | bA2’ ,
A3 →b A5A5 | bA2’A5A5 | a | bA5A5A3’ | bA2’A5A5A3’ | aA3’ ,
A4 →b ,
A5 →a ,
A6 →bA5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | b
18、A2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 | bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 ,
A7 →b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | a A4 | b A5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 ,
A2’ →aA4A2’ | bA5A5A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A4A4A5A2’ | aA4A4A5A2’ | bA5
19、A5A3’A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A5A2’ | aA3’A4A4A5A2’ | bA5A5A4A4A2’A5 A2’ | bA2’A5A5A4A4A2’A5A2’ | aA4A4A2’A5A2’ | bA5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | aA3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A2’ | bA5A2’ | aA4 | b A5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5
20、 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 | bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 ,
A3’ →aA5 | aA4A5A5 | aA4A2’A5A5 | aA5A3’ | aA4A5A5A3’ | aA4A2’A5A5A3’ | b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | aA4 | bA5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 | bA5A5A4A3’ | bA2’A5A5A4A3’ | a
21、A4 A3’ | b A5A5A3’A4 A3’ | bA2’A5A5A3’A4 A3’ | aA3’A4A3’ .
20. 設文法G有如下得生成式: S →aDD , D →aS | bS | a , 構造等價的下推自動機.
解: 根據(jù)P162-163的算法,構造下推自動機M,使M按文法G的最左推導方式工作.
設M = (Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中
Q = { q0,qf } ,
T = { a,b} ,
Г = { a,b,D,S } ,
Z0 = S ,
F = { qf } ,
δ定義如下:
δ( q0,ε,S ) = { ( q0, aDD
22、) } ,
δ( q0,ε,D ) = { ( q0,aS ) , ( q0,bS ) , ( q0,a ) } ,
δ( q0,a,a ) = { ( q0,ε ) } ,
δ( q0,b,b ) = { ( q0,ε ) } ,
δ( q0,ε,ε ) = { ( qf,ε ) } .
21. 給出產(chǎn)生語言 L = { aibjck | i , j , k≥0 且 i = j 或者 j = k }的上下文無關文法.你給出的文法是否具有二義性?為什么?
解: G=({S,A,B,C,D,E},{a,b,c}，P，S)
P：S →AD |EB, A →aAb |ε, B →b
23、Bc |ε, D →cD |ε, E →aE |ε
文法具有二義性。
因為當句子ω中a,b,c個數(shù)相同時，對于ω存在兩個不同的最左(右)推導。
如abcL，存在兩個不同的最左推導 SADaAbDabDabcCabc 及SEBaEBaBabBcabc 。
22. 設下推自動機 M = ( {q0,q1},{a,b},{Z0,X},δ, q0, Z0,φ),其中δ如下:
δ(q0,b, Z0) = {(q0, XZ0)} ,δ(q0,ε, Z0) = {(q0, ε)} ,A
δ(q0,b, X) = {(q0, XX)} , δ(q1,b, X) = {(q1, ε)} ,
δ
24、(q0,b, X) = {(q1, X)} , δ(q1,a, Z0) = {(q0, Z0)} ,
試構造文法G產(chǎn)生的語言 L (G) = L(M).
解: 在G中,N = { [q0,Z0,q0], [q0,Z0,q1], [q0,X,q0], [q0,X,q1], [q1,Z0,q0], [q1,Z0,q1], [q1,X,q0], [q1,X,q1] } .
⑴ S生成式有
S →[q0,Z0,q0] ,
S →[q0,Z0,q1] ,
根據(jù)δ(q0,b, Z0) = {(q0, XZ0)} ,則有
[q0,Z0,q0] →b[q0,X,q0] [q0,Z0,q0
25、] ,
[q0,Z0,q0] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q0] ,
[q0,Z0,q1] →b[q0,X,q0] [q0,Z0,q1] ,
[q0,Z0,q1] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q1] ,
因為有δ(q0,b, X) = {(q0, XX)},則有
[q0,X,q0] →b[q0,X,q0] [q0,X,q0] ,
[q0, X,q0] →b[q0,X,q1] [q1, X,q0] ,
[q0, X,q1] →b[q0,X,q0] [q0, X,q1] ,
[q0, X,q1] →b[q0,X,q1] [q1, X,q1] ,
因為有δ(
26、q0,a, X) = {(q1, X)},則有
[q0,X,q0] →a[q1,X,q0] ,
[q0,X,q1] →a[q1,X,q1] ,
因為有δ(q1,a, Z0) = {(q0, Z0)},則有
[q1,Z0,q0] →a[q0,Z0,q0] ,
[q1,Z0,q1] →a[q0,Z0,q1] ,
因為有δ(q0,ε, Z0) = {(q0, ε)},則有
[q0,Z0,q0] →ε,
因為有δ(q1,b, X) = {(q1, ε)},則有
[q1,X,q1] →ε
⑵ 利用算法1和算法2,消除無用符號后,得出文法G產(chǎn)生的語言L(G) = { N,T,P,
27、S }
其中N = { S,[q0,Z0,q0],[q1,Z0,q0],[q1,X,q1], [q0,X,q1] },T = { a,b },生成式P如下:
S →[q0,Z0,q0] ,
[q0,Z0,q0] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q0] ,
[q0, X,q1] →b[q0,X,q1] [q1, X,q1] ,
[q0,X,q1] →a[q1,X,q1] ,
[q1,Z0,q0] →a[q0,Z0,q0] ,
[q0,Z0,q0] →ε,
[q0,Z0,q0] →ε.
23. 證明下列語言不是上下文無關語言:
⑴ { anbncm | m≤n }
28、;
證明: 假設L是上下文無關語言,由泵浦引理,取常數(shù)p,當ω∈L且|ω|≥p時,可取
ω = apbpcp ,將ω寫為ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同時滿足|ω2ω0ω3|≤p
⑴ ω2和ω3不可能同時分別包含a和c,因為在這種情況下,有|ω2ω0ω3|>p;
⑵ 如果ω2和ω3都只包含a (b) ,即ω2ω0ω3 = aj (bj ) (j≤p) ,則當i≠1時, ω1ω2iω0ω3iω4中會出現(xiàn)a的個數(shù)與b的個數(shù)不等;
如果ω2和ω3都只包含c ,即ω2ω0ω3 = cj (j≤p),當i大于1時,ω1ω2iω0ω3iω4中會出現(xiàn)c的個數(shù)大于a的個數(shù) (b的個數(shù));
⑶ 如果
29、ω2和ω3分別包含a和b (b和c) ,當i=0時 ω1ω2iω0ω3iω4中會出現(xiàn)a, b的個數(shù)小于c的個數(shù)（或a,b個數(shù)不等）
這些與假設矛盾,故L不是上下文無關語言.
⑵ { ak | k是質數(shù) };
證明: 假設L是上下文無關語言,由泵浦引理,取常數(shù)p,當ω∈L且|ω|≥p時,可取ω=ak ( k≥p且k≠1 ) ,將ω寫為ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同時滿足|ω2ω0ω3|≤p ,且
|ω2ω3|=j≥1 ,則當i=k+1時,|ω1ω2iω0ω3iω4|=k+(i-1)*j=k+k*j= k*(1+j) ,k*(1+j)至少包含因子k且k≠1 ,因此必定不是質數(shù),即ω1ω2i
30、ω0ω3iω4不屬于L.
這與假設矛盾,故L不是上下文無關語言.
⑶ 由 a,b,c 組成的字符串且是含有 a,b,c 的個數(shù)相同的所有字符串.
證明: 假設L是上下文無關語言,由泵浦引理,取常數(shù)p,當ω∈L且|ω|≥p時,可取
ω = akbkck (k≥p) ,將ω寫為ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同時滿足|ω2ω0ω3|≤p
⑴ ω2和ω3不可能同時分別包含a和c,因為在這種情況下,有|ω2ω0ω3|>p;
⑵ 如果ω2和ω3都只包含a (b或c) ,即ω2ω0ω3 = aj (bj或cj ) (j≤p) ,則當i≠1時, ω1ω2iω0ω3iω4中會出現(xiàn)a,b,c的個
31、數(shù)不再相等;
⑶ 如果ω2和ω3分別包含a和b (b和c) , ω1ω2iω0ω3iω4中會出現(xiàn)a,b的個數(shù)與c的不等;
這些與假設矛盾,故L不是上下文無關語言.
24. 設G是Chomsky 范式文法,存在ω∈ L (G) ，求在邊緣為ω的推導樹中,最長的路徑長度與ω的長度之間的關系.
解: 設邊緣為ω的推導樹中,最長路徑長度為n,則它與ω的長度之間的關系為|ω|≤2n-1 .
因為由Chomsky范式的定義可知,Chomsky范式文法的推導樹都是二叉樹,在最長路徑長度為n的二叉推導樹中,滿二叉樹推出的句子長度最長,為2n-1,因此ω的長度與其推導樹的最長路徑長度n的關系可以用
32、上式表示.
25. 設計PDA接受下列語言(注意:不要求為確定的)
⑴ { 0m1n | m≤n };
解: 設PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中
Q = { q0,q1,qf } ,
T = { 0,1} ,
Г = { 0,1, Z0 } ,
F = { qf } ,
δ定義如下:
δ( q0, ε, Z0 ) = { ( q1, Z0 ) } ,
δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } ,
δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ) } ,
δ( q0,1, Z0 ) = { ( qf,ε ) }
33、,
δ( q0,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } ,
δ( q1,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } ,
δ( q1,ε, Z0 ) = { ( qf,ε ) }
δ( q1,1, Z0 ) = { ( qf,ε ) }
δ( qf,1, ε) = { ( qf,ε ) }
⑵ { 0m1n | m≥n };
解: 設PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中
Q = { q0,q1,qf } ,
T = { 0,1} ,
Г = { 0,1, Z0 } ,
F = { qf } ,
δ定義如下:
δ( q0, ε, Z0
34、) = { ( q1, Z0 ) } ,
δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } ,
δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ) } ,
δ( q0,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } ,
δ( q1,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } ,
δ( q1,ε,Z0 ) = { ( qf,ε ) } ,
δ( q1,ε,0 ) = { ( qf,ε ) }
δ( qf,1, ε) = { ( qf,ε ) }
⑶ { 0m1n0m | n和m任意 };
解: 設PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中
Q
35、= { q0,q1, q2,q3,qf } ,
T = { 0,1} ,
Г = { 0,1, Z0 } ,
F = { qf } ,
δ定義如下:
δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } ,
δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ),( q0,ε)} ,
δ( q0,1, Z0 ) = { ( q3,ε ) } ,
δ( q3,1, ε) = { (q3,ε) } ,
δ( q3,ε, ε) = { ( qf,ε ) } ,
δ( q0,1,0 ) = { ( q1,0 ) } ,
δ( q1,1,0 ) = { ( q1,0 )
36、} ,
δ( q1,0,0 ) = { ( q2,ε ) } ,
δ( q2,0,0 ) = { ( q2,ε ) } ,
δ( q2,ε, Z0 ) = { ( qf,ε ) } ,
δ( q0, ε, Z0 ) = { ( qf, ε)}nm
第五章
1. 考慮如下的圖靈機 M = ( {q0, q1, qf, },{0,1},{0,1,B},δ, q0,B,{ qf } ),其中δ定義為:
δ(q0,0) = {(q1,1,R)} , δ(q1,1) = {(q0,0,R)} , δ(q1,B) = {(qf,B,R)} ,
非形式化但準確地描述該圖靈機的工作過程及其所接受的語言.
解: 開始時,M的帶上從左端起放有字符串0(10)i (i≥0),后跟無限多個空白符B.M的第一次動作先讀到第一個0,并改寫為1;然后右移,如果找到第一個1,則改寫為0,并繼續(xù)向右尋找下一個0,這樣重復進行.當向右尋找1的時候,找到一個空白符B,則結束.
該圖靈機所接受的語言L(M) = { 0(10)i | i≥0 } .
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北郵形式語言與自動機四五章答案.doc
