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1、習題三
3-1 慣性系S′相對慣性系以速度運動.當它們的坐標原點與重合時,==0,發(fā)出一光波,此后兩慣性系的觀測者觀測該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標系寫出各自觀測的波陣面的方程.
解: 由于時間和空間都是均勻的,根據(jù)光速不變原理,光訊號為球面波.波陣面方程為:
題3-1圖
3-2 設(shè)圖3-4中車廂上觀測者測得前后門距離為2.試用洛侖茲變換計算地面上的觀測者測到同一光信號到達前、后門的時間差.
解: 設(shè)光訊號到達前門為事件,在車廂系時空坐標為,在車站系:
光信號到達后門為事件,則在車廂系坐標為,在車站系:
于是
或者
3-3 慣性系S′相
2、對另一慣性系沿軸作勻速直線運動,取兩坐標原點重合時刻作為計時起點.在S系中測得兩事件的時空坐標分別為=6104m,=210-4s,以及=12104m,=110-4s.已知在S′系中測得該兩事件同時發(fā)生.試問:(1)S′系相對S系的速度是多少? (2) 系中測得的兩事件的空間間隔是多少?
解: 設(shè)相對的速度為,
(1)
由題意
則
故
(2)由洛侖茲變換
代入數(shù)值,
3-4 長度=1 m的米尺靜止于S′系中,與′軸的夾角=30,S′系相對S系沿軸運動,在S系中觀測者測得米尺與軸夾角為45. 試求:(1)S′系和S系的相對運動速度.(2)S系中測得的米尺長度.
3、解: (1)米尺相對靜止,它在軸上的投影分別為:
,
米尺相對沿方向運動,設(shè)速度為,對系中的觀察者測得米尺在方向收縮,而方向的長度不變,即
故
把及代入
則得
故
(2)在系中測得米尺長度為
3-5 一門寬為,今有一固有長度(>)的水平細桿,在門外貼近門的平面內(nèi)沿其長度方向勻速運動.若站在門外的觀察者認為此桿的兩端可同時被拉進此門,則該桿相對于門的運動速率至少為多少?
解: 門外觀測者測得桿長為運動長度,,當時,可認為能被拉進門,則
解得桿的運動速率至少為:
題3-6圖
3-6兩個慣性系中的觀察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相對速度相互接近,如果測
4、得兩者的初始距離是20m,則測得兩者經(jīng)過多少時間相遇?
解: 測得相遇時間為
測得的是固有時
∴
,
,
,
或者,測得長度收縮,
3-7 觀測者甲乙分別靜止于兩個慣性參考系和中,甲測得在同一地點發(fā)生的兩事件的時間間隔為 4s,而乙測得這兩個事件的時間間隔為 5s.求:
(1) 相對于的運動速度.
(2)乙測得這兩個事件發(fā)生的地點間的距離.
解: 甲測得,乙測得,坐標差為′
(1)∴
解出
(2)
∴
負號表示.
3-8 一宇航員要到離地球為5光年的星球去旅行.如果宇航員希望把這路程縮短為3光年,則他所乘的火箭相對于地球
5、的速度是多少?
解:
∴
3-9 論證以下結(jié)論:在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不同地點,在有相對運動的其他慣性系中,這兩個事件一定不同時.
證: 設(shè)在系事件在處同時發(fā)生,則,在系中測得
,
∴
即不同時發(fā)生.
3-10 試證明:
(1)如果兩個事件在某慣性系中是同一地點發(fā)生的,則對一切慣性系來說這兩個事件的時間間隔,只有在此慣性系中最短.
(2)如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的,則對一切慣性關(guān)系來說這兩個事件的空間間隔,只有在此慣性系中最短.
解: (1)如果在系中,兩事件在同一地點發(fā)生,則,在系中,,僅當時,等式成立,∴最短.
(2)若在系中同
6、時發(fā)生,即,則在系中,,僅當時等式成立,∴系中最短.
3-11 根據(jù)天文觀測和推算,宇宙正在膨脹,太空中的天體都遠離我們而去.假定地球上觀察到一顆脈沖星(發(fā)出周期無線電波的星)的脈沖周期為 0.50s,且這顆星正沿觀察方向以速度0.8c離我們而去.問這顆星的固有周期為多少?
解: 以脈沖星為系,,固有周期.地球為系,則有運動時,這里不是地球上某點觀測到的周期,而是以地球為參考系的兩異地鐘讀數(shù)之差.還要考慮因飛行遠離信號的傳遞時間,
∴ ′
則
3-12 6000m 的高空大氣層中產(chǎn)生了一個介子以速度=0.998c飛向地球.假定該介子在其自身靜止系中的壽命等于其平均壽命2
7、10-6s.試分別從下面兩個角度,即地球上的觀測者和介子靜止系中觀測者來判斷介子能否到達地球.
解: 介子在其自身靜止系中的壽命是固有(本征)時間,對地球觀測者,由于時間膨脹效應(yīng),其壽命延長了.衰變前經(jīng)歷的時間為
這段時間飛行距離為
因,故該介子能到達地球.
或在介子靜止系中,介子是靜止的.地球則以速度接近介子,在時間內(nèi),地球接近的距離為
經(jīng)洛侖茲收縮后的值為:
,故介子能到達地球.
3-13 設(shè)物體相對S′系沿軸正向以0.8c運動,如果S′系相對S系沿x軸正向的速度也是0.8c,問物體相對S系的速度是多少?
解: 根據(jù)速度合成定理,,
∴
3-14 飛船以0.8
8、c的速度相對地球向正東飛行,飛船以0.6c的速度相對地球向正西方向飛行.當兩飛船即將相遇時飛船在自己的天窗處相隔2s發(fā)射兩顆信號彈.在飛船的觀測者測得兩顆信號彈相隔的時間間隔為多少?
解: 取為系,地球為系,自西向東為()軸正向,則對系的速度,系對系的速度為,則對系(船)的速度為
發(fā)射彈是從的同一點發(fā)出,其時間間隔為固有時,
題3-14圖
∴中測得的時間間隔為:
3-15 (1)火箭和分別以0.8c和0.6c的速度相對地球向+和-方向飛行.試求由火箭測得的速度.(2)若火箭相對地球以0.8c的速度向+方向運動,火箭的速度不變,求相對的速度.
解: (1)如圖,取地球
9、為系,為系,則相對的速度,火箭相對的速度,則相對()的速度為:
或者取為系,則,相對系的速度,于是相對的速度為:
(2)如圖,取地球為系,火箭為系,系相對系沿方向運動,速度,對系的速度為,,,由洛侖茲變換式相對的速度為:
∴相對的速度大小為
速度與軸的夾角為
題3-15圖
3-16 靜止在S系中的觀測者測得一光子沿與軸成角的方向飛行.另一觀測者靜止于S′系,S′系的軸與軸一致,并以0.6c的速度沿方向運動.試問S′系中的觀測者觀測到的光子運動方向如何?
解: 系中光子運動速度的分量為
由速度變換公式,光子在系中的速度分量為
光子
10、運動方向與軸的夾角滿足
在第二象限為
在系中,光子的運動速度為
正是光速不變.
3-17 (1)如果將電子由靜止加速到速率為0.1c,須對它作多少功?(2)如果將電子由速率為0.8c加速到0.9c,又須對它作多少功?
解: (1)對電子作的功,等于電子動能的增量,得
J=
(2)
)
3-18 子靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍,靜止時的平均壽命=210-6s,若它在實驗室參考系中的平均壽命= 710-6s,試問其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍?
解: 設(shè)子靜止質(zhì)量為,相對實驗室參考系的速度為,相應(yīng)質(zhì)量為,電子靜止質(zhì)量為,因
由質(zhì)速關(guān)系,在實驗室參考系中
11、質(zhì)量為:
故
3-19 一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%,試問此物體在運動方向上縮短了百分之幾?
解: 設(shè)靜止質(zhì)量為,運動質(zhì)量為,
由題設(shè)
由此二式得
∴
在運動方向上的長度和靜長分別為和,則相對收縮量為:
3-20 一電子在電場中從靜止開始加速,試問它應(yīng)通過多大的電勢差才能使其質(zhì)量增加0.4%?此時電子速度是多少?已知電子的靜止質(zhì)量為9.110-31kg.
解: 由質(zhì)能關(guān)系
∴
=
所需電勢差為伏特
由質(zhì)速公式有:
∴
故電子速度為
3-21 一正負電子對撞機可以把電子加速到動能=2.8109eV.這種電子速率比光速差多少? 這
12、樣的一個電子動量是多大?(與電子靜止質(zhì)量相應(yīng)的能量為=0.511106eV)
解:
所以
由上式,
由動量能量關(guān)系可得
3-22 氫原子的同位素氘(H)和氚(H)在高溫條件下發(fā)生聚變反應(yīng),產(chǎn)生氦(He)原子核和一個中子(n),并釋放出大量能量,其反應(yīng)方程為H + H→He + n已知氘核的靜止質(zhì)量為2.0135原子質(zhì)量單位(1原子質(zhì)量單位=1.60010-27kg),氚核和氦核及中子的質(zhì)量分別為3.0155,4.0015,1.00865原子質(zhì)量單位.求上述聚變反應(yīng)釋放出來的能量.
解: 反應(yīng)前總質(zhì)量為
反應(yīng)后總質(zhì)量為
質(zhì)量虧損
由質(zhì)能關(guān)系
13、得
3-23 一靜止質(zhì)量為的粒子,裂變成兩個粒子,速度分別為0.6c和0.8c.求裂變過程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的動能.
解: 孤立系統(tǒng)在裂變過程中釋放出動能,引起靜能減少,相應(yīng)的靜止質(zhì)量減少,即靜質(zhì)量虧損.
設(shè)裂變產(chǎn)生兩個粒子的靜質(zhì)量分別為和,其相應(yīng)的速度,
由于孤立系統(tǒng)中所發(fā)生的任何過程都同時遵守動量守恒定律和能(質(zhì))量守恒定律,所以有
注意和必沿相反方向運動,動量守恒的矢量方程可以簡化為一維標量方程,再以c,c代入,將上二方程化為:
,
上二式聯(lián)立求解可得:
,
故靜質(zhì)量虧損由靜質(zhì)量虧損引起靜能減少,即轉(zhuǎn)化為動能,故放出的動能為
3-24 有,兩個靜止
14、質(zhì)量都是的粒子,分別以=,=-的速度相向運動,在發(fā)生完全非彈性碰撞后合并為一個粒子.求碰撞后粒子的速度和靜止質(zhì)量.
解: 在實驗室參考系中,設(shè)碰撞前兩粒子的質(zhì)量分別和,碰撞后粒子的質(zhì)量為、速度為,于是,根據(jù)動量守恒和質(zhì)量守恒定律可得:
①
②
由于
代入①式得
,即為碰撞后靜止質(zhì)量.
3-25 試估計地球、太陽的史瓦西半徑.
解: 史瓦西半徑
地球:
則:
太陽:
則:
3-26 典型中子星的質(zhì)量與太陽質(zhì)量⊙=21030kg同數(shù)量級,半徑約為10km.若進一步坍縮為黑洞,其史瓦西半徑為多少?一個質(zhì)子那么大小的微黑洞(10-15cm),質(zhì)量是什么數(shù)量級?
解: (1)史瓦西半徑與太陽的相同,
(2)
由
得
3-27 簡述廣義相對論的基本原理和實驗驗證.
解: 廣義相對論的基本原理是等效原理和廣義相對性原理.
等效原理又分為弱等效原理和強等效原理.弱等效原理是:在局部時空中,不可能通過力學實驗區(qū)分引力和慣性力,引力和慣性力等效.強等效原理是:在局部時空中,任何物理實驗
都不能區(qū)分引力和慣性力,引力和慣性力等效.
廣義相對性原理是:所有參考系都是平權(quán)的,物理定律的表述相同.
廣義相對論的實驗驗證有:光線的引力偏轉(zhuǎn),引力紅移,水星近日點進動,雷達回波延遲等.