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1、 石家莊學院 本科畢業(yè)論文 積分中值定理在數(shù)學分析中的應(yīng)用 學生姓名 馬洪宇 學號 080424011 所在院(系) 數(shù)學科學學院 專業(yè)班級 08級信息與計算專業(yè) 指導教師 李向陽 完成地點 石家莊學院 2012年 5月 30日  積分中值定理在數(shù)學分析中的應(yīng)用 馬洪宇 （石家莊學院08級信息與計算專業(yè)） 指導老師：李向陽 [摘 要

2、] 本文主要介紹了積分中值定理在數(shù)學分析中應(yīng)用時的注意事項及幾點主要應(yīng)用,這些應(yīng)用主要是：一.求函數(shù)在一個區(qū)間上的平均值;二.估計定積分的值;三.求含有定積分的極限;四.確定積分的符號;五.證明中值的存在性命題;六.證明積分不等式;七.證明函數(shù)的單調(diào)性. [關(guān)鍵詞] 積分;中值;定理;應(yīng)用 1 引言 積分中值定理是數(shù)學分析中的主要定理之一,同時也是定積分的一個主要性質(zhì),它建立了積分和被積函數(shù)之間的關(guān)系,從而我們可以通過被積函數(shù)的性質(zhì)來研究部分的性質(zhì),有較高的理論價值和廣泛應(yīng)用.本文就其在解題中的應(yīng)用進行討論. 2 預備知識 定理 2.1[1] (積分第一中值定理) 若在區(qū)間[

3、a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在一點使得 . 證明 由于在區(qū)間[a,b]上連續(xù),因此存在最大值和最小值.由 , 使用積分不等式性質(zhì)得到 , 或 . 再由連續(xù)函數(shù)的介值性,至少存在一點,使得 定理 2.2[1] (推廣的積分第一中值定理) 若在閉區(qū)間上連續(xù),且在上不變號,則在至少存在一點,使得 證明 推廣的第一中值積分定理 不妨設(shè)在上則在上有 其中,分別為在上的最小值和最大值,則有 若,則由上式知,從而對上任何一點,定理都成立. 若則由上式得 則在上至少存在一點,使得 即 顯然,當時,推廣的積分第一中值定理就是積分中值

4、定理 3 積分中值定理的應(yīng)用 由于積分中值定理可以使積分號去掉,從而使問題簡化,對于證明包含函數(shù)積分和某個函數(shù)值之間關(guān)系的等式和不等式,也可以考慮使用積分中值定理. 在使用積分中值定理時要注意以下幾點： (1) 在應(yīng)用中要注意被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)這一條件,否則,結(jié)論不一定成立. 例如 ,顯然在處間斷. 由于 但在上,,所以,對任何都不能使 . (2) 定理中的在區(qū)間上不變號這個條件也不能去掉. 例如 令 由于 , 但 所以,不存在 , 使 (3) 定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必須是的內(nèi)點. 例如 令,則對都

5、有 , 這也說明了未必在區(qū)間的內(nèi)點. 下面就就其應(yīng)用進行討論. 3.1 求函數(shù)在一個區(qū)間上的平均值 例1 試求在上的平均值. 解 平均值 例2 試求心形線上各點極經(jīng)的平均值. 解 平均值 注 在解某區(qū)間上一個函數(shù)的平均值時,我們只需要在這個區(qū)間上對這個函數(shù)進行積分,然后積分結(jié)果除以區(qū)間的差值.在這里主要是應(yīng)用了積分第一中值定理,所以求解其類問題時,一定要理解積分中值定理的定義. 3.2 估計定積分的值 例3 估計的值. 解 由推廣的積分第一中值定理,得 其中 因為 所以 即 故 例 4 估計的值. 解 因為在上

6、連續(xù),且 ,, 所以由積分第一中值定理有 . 在估計其類積分的值時,首先我們要確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)的基礎(chǔ)上確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值,然后再利用積分中值定理就迎刃而解了. 例 5 估計的值. 解 因為在上連續(xù),在內(nèi)可導, 且在內(nèi)無解, 即 , 等號僅在時成立.故在內(nèi)嚴格單調(diào)增, 即 , 所以由積分第一中值定理有 . 在估計其類積分的值時,首先要確定要積分的函數(shù)在積分閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導,然后判斷函數(shù)在積分區(qū)間上的單調(diào)性,最后利用積分中值定理就可以估計積分的值了. 綜上,在利用積分中值定理估計積分的值時,我們要根據(jù)不同的

7、題型給出不同的解決方法,這也是我們在學習過程中逐漸要培養(yǎng)的,積累的好習慣. 3.3 求含有定積分的極限 例6 求極限為自然數(shù). 解 利用中值定理,得 因為在上連續(xù),由積分中值定理得 當時,,而||. 故 ==0. 例7 求. 解 若直接用中值定理 =, 因為而不能嚴格斷定,其癥結(jié)在于沒有排除,故采取下列措施 =+. 其中為任意小的正數(shù). 對第一積分中值定理使用推廣的積分第一中值定理,有 . =,. 而第二個積分 =, 由于得任意性知其課任意小. 所以 =+=0. 注 求解其類問題的關(guān)鍵是使用積分中值定理去掉積分符號.在應(yīng)用該定理時,要注

8、中值不僅依賴于積分區(qū)間,而且還依賴于根式中自變量的趨近方式. 3.4 確定積分的符號 例8 確定積分的符號. 解 =+=+=+ =-+ = 利用積分中值定理,得 =0.(其中) 又在上不恒等于0,故. 注 在解決其類題時,我們常常會以0作為上下限的中介點,然后把原積分寫成以0為中介點的兩個積分的和,積分化就成兩個以0為中介點且上下限一樣的積分相加,最后利用積分中值定理確定積分的符號.這里主要使用了積分中值定理和函數(shù)的單調(diào)性. 3.5 證明中值的存在性命題 例9 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,且 ,證明,使,

9、證明 由積分中值定理得 ,（其中） 又因為在上連續(xù),在內(nèi)可導. 故在上滿足羅爾定理條件,可存在一點,使. 注 在證明有關(guān)題設(shè)中含有抽象函數(shù)的定積分等式時,一般應(yīng)用積分中值定理求解,掌握積分中值定理在解此類問題時至關(guān)重要,是我們必須要好好掌握的. 3.6 證明不等式 例10 求證 證明 其中,于是由即可獲證. 例 11 證明 . 證明 估計連續(xù)函數(shù)的積分值的一般的方法是求在的最大值和最小值,則 . 因為 , 所以 . 例 12 證明 證明 估計積分的一般的方法是:求在的最大值和最小值,又若,則 . 本題中令 .

10、因為 所以 . 例13 證明. 證明 在區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值. ,令,得駐點. 比較,,知為在上的最小值,而為在上的最大值.由積分中值定理得 , 即 . 注 由于積分具有許多特殊的運算性質(zhì),故積分不等式的證明往往富有很強的技巧性.在證明含有定積分的不等式時,也?？紤]用積分中值定理,以便去掉積分符號,若被積函數(shù)是兩個函數(shù)之積時,可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如11和12例題時,可以根據(jù)估計定積分的值在證明比較簡單方便. 3.7 證明函數(shù)的單調(diào)性 例 14 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),,試證:在內(nèi),若為非減函數(shù),則為非增函數(shù). 證明 , 對上式求

11、導,得 利用積分中值定理,得 , 若為非減函數(shù),則, 所以,故為非減函數(shù). 綜上所述,積分中值定理在應(yīng)用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉,從而使問題簡單化.因此,對于證明有關(guān)題設(shè)中含有某個函數(shù)積分的等式或不等式,或者要證的結(jié)論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時,一般應(yīng)考慮使用積分中值定理,去掉積分號.在使用該定理時,常與微分中值定理或定積分的其他一些性質(zhì)結(jié)合使用,是所求問題迎刃而解. 參考文獻 [1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,2001.217-219. [2]張筑生.數(shù)學分析新講[M].北京:北京大學出版社,1990.9

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15、niversity of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi) Tutor:Li Jinlong Abstract: This paper describes the mean value theorem in mathematical analysis application note and a few of the major applications.These applications are mainly:1. Demand function in an interval on the average;2. The estimated value of definite integral;3. Order to contain the limits of definite integrals;4.Define integral of symbol;5. Proof of the existence of the value proposition;6. To prove integral inequality,7. To prove monotonicity of a function. Key words: intergral;average-value;theory;applied.