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1、菁優(yōu)網(wǎng) 【章節(jié)訓(xùn)練】第13章 全等三角形-3 【章節(jié)訓(xùn)練】第13章 全等三角形-3 　 一、選擇題（共2小題） 1．（2010?東陽市）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的頂角為（　?。? 　 A． 40° B． 100° C． 40°或100° D． 70°或50° 　 2．（2010?柳州）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為（　?。? 　 A． 10° B． 15° C． 20° D． 12.5° 　 二、填空題（共5小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值）

2、 3．（2009?江津區(qū)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長為4cm，則其腰上的高為　_________　cm． 　 4．（2009?清遠）如圖，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，則∠C1=　_________　°． 　 5．（2009?寧夏）如圖，△ABC的周長為32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周長為24，那么AD的長為　_________?。? 　 6．（2009?麗水）如圖，圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的等邊三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的等邊三

3、角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉等邊三角形紙板邊長的）后，得圖③，④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長為Pn，則Pn﹣Pn﹣1=　_________?。? 　 7．（2009?黃岡）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于　_________　． 　 三、解答題（共5小題）（選答題，不自動判卷） 8．（2010?鞍山）旗桿、樹和竹竿都垂直于地面且一字排列，在路燈下樹和竹竿的影子的方位和長短如圖所示．請根據(jù)圖上的信息標(biāo)出燈泡的位置（用點P表示），再作出旗桿的影子（用線段字母表示）．（不寫作法，保留作圖痕跡） 　 9．（200

4、9?肇慶）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE． （1）求證：∠CBE=36°； （2）求證：AE2=AC?EC． 　 10．（2009?肇慶）如圖，ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6． （1）求證：△ABD是正三角形； （2）求AC的長（結(jié)果可保留根號）． 　 11．（2009?重慶）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AE=AC． （1）求證：BG=FG； （2）若AD=DC=2，求A

5、B的長． 　 12．（2009?中山）如圖所示，△ABC是等邊三角形，D點是AC的中點，延長BC到E，使CE=CD． （1）用尺規(guī)作圖的方法，過D點作DM⊥BE，垂足是M；（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）求證：BM=EM． 　 【章節(jié)訓(xùn)練】第13章 全等三角形-3 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共2小題） 1．（2010?東陽市）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的頂角為（　?。? 　 A． 40° B． 100° C． 40°或100° D． 70°或50° 考點： 等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題：

6、分類討論． 分析： 此題要分情況考慮：40°是等腰三角形的底角或40°是等腰三角形的頂角．再進一步根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進行計算． 解答： 解：當(dāng)40°是等腰三角形的頂角時，則頂角就是40°； 當(dāng)40°是等腰三角形的底角時，則頂角是180°﹣40°×2=100°． 故選C． 點評： 注意：當(dāng)?shù)妊切沃杏幸粋€角是銳角時，可能是它的底角，也可能是它的頂角；當(dāng)?shù)妊切沃杏幸粋€角是銳角時，只能是它的頂角． 　 2．（2010?柳州）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為（　　） 　 A． 10° B． 15° C． 20

7、° D． 12.5° 考點： 正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題． 分析： 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可得到AB=AE，從而可求得∠BAE的度數(shù)，則∠AEB的度數(shù)就不難求了． 解答： 解：根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)可知AB=AE ∴∠BAE=90°+60°=150° ∴∠AEB=（180°﹣150°）÷2=15° 故選B 點評： 主要考查了正方形和等邊三角形的特殊性質(zhì)． 　 二、填空題（共5小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值） 3．（2009?江津區(qū)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長為4cm，則其腰上的

8、高為　2　cm． 考點： 解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 在等腰三角形腰上的高與另一腰構(gòu)建的直角三角形中，已知了30°的特殊角，通過解直角三角形即可求出高的長度． 解答： 解：如圖，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=4cm， 所以，BD=AB?cos30°=4×=2（cm）． 故答案為：2． 點評： 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用． 　 4．（2009?清遠）如圖，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，則∠C1=　30　°． 考點： 全等三角形的性質(zhì)．菁

9、優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 本題實際上是全等三角形的性質(zhì)以及根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°來求角的度數(shù)． 解答： 解：∵△ABC≌△A1B1C1， ∴∠C1=∠C， 又∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣110°﹣40°=30°， ∴∠C1=∠C=30°． 故答案為：30． 點評： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)；解答時，除必備的知識外，還應(yīng)將條件和所求聯(lián)系起來，即將所求的角與已知角通過全等及三角形內(nèi)角之間的關(guān)系聯(lián)系起來． 　 5．（2009?寧夏）如圖，△ABC的周長為32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周長為24，那么AD的長為　8?。?

10、 考點： 等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 由已知條件根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到BD=DC，再根據(jù)三角形的周長定義求解． 解答： 解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC． ∵AB+AC+BC=32， 即AB+BD+CD+AC=32， ∴AC+DC=16 ∴AC+DC+AD=24 ∴AD=8． 故填8． 點評： 本題考查等腰三角形的性質(zhì)；由已知條件結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)并利用AC+CD是△ABC的周長的一半是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 6．（2009?麗水）如圖，圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的等邊三角形紙板，沿圖①的底邊剪去

11、一塊邊長為的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的等邊三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉等邊三角形紙板邊長的）后，得圖③，④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長為Pn，則Pn﹣Pn﹣1=　?。? 考點： 等邊三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題；規(guī)律型． 分析： 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)（三邊相等）求出等邊三角形的周長P1，P2，P3，P4，根據(jù)周長相減的結(jié)果能找到規(guī)律即可求出答案． 解答： 解：∵P1=1+1+1=3， P2=1+1+=， P3=1+1+×3=， P4=1+1+×2+×3=， … ∴p3﹣p2=﹣==； P4﹣P3=﹣=

12、=， … 則Pn﹣Pn﹣1=， 故答案為：． 點評： 此題考查了等邊三角形的性質(zhì)；要求學(xué)生通過觀察圖形，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題． 　 7．（2009?黃岡）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于　70°或20°　． 考點： 線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 分類討論． 分析： 此題根據(jù)△ABC中∠A為銳角與鈍角分為兩種情況，當(dāng)∠A為銳角時，∠B等于70°，當(dāng)∠A為鈍角時，∠B等于20度． 解答： 解：根據(jù)△ABC中∠A為銳角與鈍角，分為兩種情況： ①當(dāng)∠

13、A為銳角時， ∵AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°， ∴∠A=40°， ∴∠B===70°； ②當(dāng)∠A為鈍角時， ∵AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°， ∴∠1=40°， ∴∠BAC=140°， ∴∠B=∠C==20°． 故答案為：70°或20°． 點評： 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)；分類討論的應(yīng)用是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（共5小題）（選答題，不自動判卷） 8．（2010?鞍山）旗桿、樹和竹竿都垂直于地面且一字排列，在路燈下樹和竹竿的影子的方位和長短如圖所示．請根據(jù)圖上的信息標(biāo)出燈泡

14、的位置（用點P表示），再作出旗桿的影子（用線段字母表示）．（不寫作法，保留作圖痕跡） 考點： 作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；中心投影．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 作圖題；壓軸題． 分析： 根據(jù)中心投影的特點可知，連接物體和它影子的頂端所形成的直線必定經(jīng)過點光源．所以分別把樹木和竹竿的頂端和影子的頂端連接并延長可交于一點，即點光源的位置，再由點光源出發(fā)連接旗桿頂部的直線與地面相交即可找到旗桿影子的頂端． 解答： 解：線段MN是旗桿在路燈下的影子． 點評： 本題考查平行投影和中心投影的作圖，難度不大，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)要注重基礎(chǔ)知識的新課標(biāo)理念．解題的關(guān)鍵是要知道：連接物體和它影子的頂端

15、所形成的直線必定經(jīng)過點光源． 　 9．（2009?肇慶）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE． （1）求證：∠CBE=36°； （2）求證：AE2=AC?EC． 考點： 線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 證明題． 分析： （1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得EA=EB，進而可求出∠ABC=∠C，易求解． （2）先由（1）的結(jié)論可證得△ABC∽△BEC，根據(jù)比例即可證明． 解答： 證明：（1）∵DE是AB的垂直平分線， ∴EA=EB， ∴∠EBA=

16、∠A=36°．（1分） ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°．（2分） ∴∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=36°．（3分） （2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°， ∴∠BEC=∠C=72°， ∴BC=BE=AE．（4分） 在△ABC與△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BEC．（6分） ∴， 即BC2=AC?EC．（7分） 故AE2=AC?EC．（8分） 點評： 本題主要考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是證明BC=BE=AE． 　 10．（2009?肇慶）如圖

17、，ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6． （1）求證：△ABD是正三角形； （2）求AC的長（結(jié)果可保留根號）． 考點： 菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 幾何綜合題． 分析： （1）菱形的邊AB=AD，即已知兩邊相等，再尋找一個角為60°，即可證明△ABD是正三角形； （2）先求OC的長，再求AC． 解答： （1）證明：∵AC是菱形ABCD的對角線， ∴AC平分∠BCD． ∵∠ACD=30°， ∴∠BCD=60°．（1分） ∵∠BAD與∠BCD是菱形的一組對角， ∴∠BAD=∠BCD=60°．（2分）

18、 ∵AB、AD是菱形的兩條邊， ∴AB=AD．（3分） ∴△ABD是正三角形．（4分） （2）解：∵O為菱形對角線的交點， ∴AC=2OC，OD=BD=3，∠COD=90°．（5分） 在Rt△COD中，=tan∠OCD=tan30°， ∴OC===3．（6分） ∴AC=2OC=． 答：AC的長為．（7分） 點評： 此題主要考查菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定． 　 11．（2009?重慶）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AE=AC． （1）求證：BG=FG； （2）若AD=DC

19、=2，求AB的長． 考點： 直角梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 幾何綜合題；壓軸題． 分析： （1）由題中可求得AE和AC所在的三角形全等，進而得到BG和FG所在三角形全等的條件； （2）求得AF長即可求得AB長．利用等腰三角形的三線合一定理可得AF=AC=AE，進而求得一些角是30°，主要利用AD長，直角三角形勾股定理來求解． 解答： （1）證明：連接AG， ∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點F， ∴∠ABC=∠AFE． 在△ABC和△AFE中， ∴△ABC≌△AFE（AAS）， ∴AB=AF． 在Rt△ABG

20、和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）． ∴BG=FG； （2）解：∵AD=DC，DF⊥AC， ∴F為AC中點， ∵AC=AE， ∴AF=AC=AE． ∴∠E=30°． ∵∠EAD=90°， ∴∠ADE=60°， ∴∠FAD=∠E=30°， ∴AF=． ∴AB=AF=． 點評： 本題考查直角梯形、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，知識點多，綜合性強．突破此題的關(guān)鍵在于第一問通過兩次全等證Rt△ABG≌Rt△AFG，第二問求AB的長應(yīng)充分利用等腰△ADC的性質(zhì)得AF=AC=AE．從而得出∠E=30°． 　 12．（2009

21、?中山）如圖所示，△ABC是等邊三角形，D點是AC的中點，延長BC到E，使CE=CD． （1）用尺規(guī)作圖的方法，過D點作DM⊥BE，垂足是M；（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）求證：BM=EM． 考點： 等邊三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 作圖題． 分析： （1）按照過直線外一點作已知直線的垂線步驟做； （2）要證BM=EM可證BD=DE，根據(jù)三線合一得出BM=EM． 解答： （1）解：作圖如下； （2）證明：∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點 ∴BD平分∠ABC（三線合一） ∴∠ABC=2∠DBE ∵CE=CD ∴∠CED=∠CDE 又∵∠ACB=∠CED+∠CDE ∴∠ACB=2∠E 又∵∠ABC=∠ACB ∴2∠DBC=2∠E ∴∠DBC=∠E ∴BD=DE 又∵DM⊥BE ∴BM=EM． 點評： 本題考查了過直線外一點作已知直線的垂線及考查了等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)；作圖題要注意保留做題痕跡．證得BD=DE是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 ?2010-2014 菁優(yōu)網(wǎng)