高一數(shù)學(人教A版)必修2能力強化提升:3-3-2 兩點間的距離公式
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一、選擇題 1.已知點A(a,0),B(b,0),則A,B兩點間的距離為( ) A.a(chǎn)-b B.b-a C. D.|a-b| [答案] D [解析] 代入兩點間距離公式. 2.一條平行于x軸的線段長是5個單位,它的一個端點是A(2,1),則它的另一個端點B的坐標是( ) A.(-3,1)或(7,1) B.(2,-3)或(2,7) C.(-3,1)或(5,1) D.(2,-3)或(2,5) [答案] A [解析] ∵AB∥x軸,∴設B(a,1),又|AB|=5,∴a=-3或7. 3.已知A(5,2a-1),B(a+1,a-4),當|AB|取最小值時,實數(shù)a的值是( ) A.- B.- C. D. [答案] C [解析] |AB|===,∴當a=時,|AB|取最小值. 4.設點A在x軸上,點B在y軸上,AB的中點是P(2,-1),則|AB|等于( ) A.5 B.4 C.2 D.2 [答案] C [解析] 設A(x,0)、B(0,y),由中點公式得x=4,y=-2,則由兩點間的距離公式得|AB|===2. 5.△ABC三個頂點的坐標分別為A(-4,-4)、B(2,2)、C(4,-2),則三角形AB邊上的中線長為( ) A. B. C. D. [答案] A [解析] AB的中點D的坐標為D(-1,-1). ∴|CD|==; 故選A. 6.已知三點A(3,2),B(0,5),C(4,6),則△ABC的形狀是( ) A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 [答案] C [解析] |AB|==3, |BC|==, |AC|==, ∴|AC|=|BC|≠|(zhì)AB|, 且|AB|2≠|(zhì)AC|2+|BC|2. ∴△ABC是等腰三角形,不是直角三角形,也不是等邊三角形. 7.兩直線3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分別過定點A、B,則|AB|等于( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 易得A(0,-2),B(-1,). 8.在直線2x-3y+5=0上求點P,使P點到A(2,3)距離為,則P點坐標是( ) A.(5,5) B.(-1,1) C.(5,5)或(-1,1) D.(5,5)或(1,-1) [答案] C [解析] 設點P(x,y),則y=, 由|PA|=得(x-2)2+(-3)2=13, 即(x-2)2=9,解得x=-1或x=5, 當x=-1時,y=1, 當x=5時,y=5,∴P(-1,1)或(5,5). 二、填空題 9.已知點M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,則實數(shù)m=________. [答案] 1或3 [解析] 由題意得=2,解得m=1或m=3. 10.已知A(1,-1),B(a,3),C(4,5),且|AB|=|BC|,則a=________. [答案] [解析]?。?, 解得a=. 11.已知點A(4,12),在x軸上的點P與點A的距離等于13,則點P的坐標為________. [答案] (9,0)或(-1,0) [解析] 設P(a,0),則=13, 解得a=9或a=-1,∴點P的坐標為(9,0)或(-1,0). 12.已知△ABC的頂點坐標為A(7,8)、B(10,4)、C(2,-4),則BC邊上的中線AM的長為________. [答案] 三、解答題 13.已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7), (1)求BC邊上的中線AM的長; (2)證明△ABC為等腰直角三角形. [解析] (1)設點M的坐標為(x,y), ∵點M為BC邊的中點,∴即M(2,2), 由兩點間的距離公式得: |AM|==. ∴BC邊上的中線AM長為. (2)由兩點間的距離公式得 |AB|==2, |BC|==2, |AC|==2, ∵|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|, ∴△ABC為等腰直角三角形. 14.求證:等腰梯形的對角線相等. [證明] 已知:等腰梯形ABCD. 求證:AC=BD. 證明:以AB所在直線為x軸,以AB的中點為坐標原點建立如圖平面直角坐標系. 設A(-a,0)、D(b,c),由等腰梯形的性質(zhì)知B(a,0),C(-b,c). 則|AC|==, |BD|==, ∴|AC|=|BD|. 即:等腰梯形的對角線相等. 15.已知直線l1:2x+y-6=0和A(1,-1),過點A作直線l2與已知直線交于點B且|AB|=5,求直線l2的方程. [解析] 當直線l2的斜率存在時,設其為k,則 ?(k+2)x=k+7, 而k≠-2,故解得x=,所以B(,), 又由|AB|=5,利用兩點間距離公式得 =5?k=-, 此時l2的方程為3x+4y+1=0. 而當l2的斜率不存在時,l2的方程為x=1. 此時點B坐標為(1,4),則|AB|=|4-(-1)|=5,也滿足條件綜上,l2的方程為3x+4y+1=0或x=1. 16.如下圖所示,一個矩形花園里需要鋪設兩條筆直的小路,已知矩形花園的長AD=5 m,寬AB=3 m,其中一條小路定為AC,另一條小路過點D,問是否在BC上存在一點M,使得兩條小路AC與DM相互垂直?若存在,則求出小路DM的長. [分析] 建立適當?shù)淖鴺讼?,轉(zhuǎn)幾何問題為代數(shù)運算. [解析] 以B為坐標原點,BC、BA所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系. 因為AD=5 m,AB=3 m, 所以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 設點M的坐標為(x,0),因為AC⊥DM, 所以kAC·kDM=-1, 即·=-1. 所以x=3.2,即BM=3.2, 即點M的坐標為(3.2,0)時,兩條小路AC與DM相互垂直. 故在BC上存在一點M(3.2,0)滿足題意. 由兩點間距離公式得DM==.- 配套講稿:
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