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湖南省2013年六校聯(lián)考數(shù)學（理）考試試題卷 湘潭市一中、長沙市一中、師 大 附中、 岳陽市一中、株洲市二中、常德市一中 時量120分鐘 滿分150分 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 1、已知全集U=｛0,1,2,3,4,5｝，集合A=｛0,1,3｝，集合B=｛0,3,4,5｝，則（ ） A . B. C. D. 2、下列說法中正確的是（ ）． A．“”是“”必要不充分條件； B．命題“對，恒有”的否定是“，使得”． C．?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx (x∈R)是奇函數(shù) D．設，是簡單命題，若是真命題，則也是真命題； 3、兩個變量與的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，計算出它們的相關指數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是 ( ) A.模型1（相關指數(shù)為0.97） B.模型2（相關指數(shù)為0.89） C.模型3（相關指數(shù)為0.56 ） D.模型4（相關指數(shù)為0.45） 4、在三角形OAB中，已知OA=6，OB=4，點P是AB的中點，則（ ） A 10 B -10 C 20 D -20 5、 如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體體積是（ ） A B C D 6、已知（為銳角）， 則（ ） A． B． C． D． 7、如圖,拋物線的頂點在坐標原點，焦點為，過拋物線上一點 向準線作垂線，垂足為,若為等邊三角形, 則拋物線的標準方程是 ( ）． A． B． C． D. 8、已知函數(shù)f (x)= 與 g(x)=sin有兩個公共點, 則在下列函數(shù)中滿足條件的周期最大的g(x)=（ ） A． B． C． D． 二、填空題（本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應題號的橫線上．） （一）選做題（請考生在第9,10,11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分 ） 9. 以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知曲線C的參數(shù)方程是，直線的極坐標方程是，則直線與曲線C相交的交點個數(shù)是______. 10. 如圖，是圓的直徑，點在的延長線上， 且．切圓于，是的中點， 直線交圓于點．則　　　　　　． 11、設，則函數(shù)y = 的最大值是　　?。? 開始 S=0,T=0,n=00 S=S+4 n=n+2 T=T+n 輸出T 結束 是 否 (二) 必做題（12~16題） 12、設復數(shù) (其中為虛數(shù)單位)，則等于 13、已知的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大， 則含項的系數(shù)= ______. 14、執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸出的T=20， 則循環(huán)體的判斷框內應填入的的條件是（填相應編號） 。（①T≥S，②T＞S，③T≤S，④T＜S） 15. 設矩形區(qū)域由直線和所圍成的平面圖形，區(qū)域是由余弦函數(shù)、 及所圍成的平面圖形．在區(qū)域內隨機的拋擲一粒豆子，則該豆子落在區(qū)域的概率是　　　　　　． 16. 用三個不同字母組成一個含個字母的字符串，要求由字母 開始，相鄰兩個字母不能相同. 例如時，排出的字符串是；時排出的字符串是,…….記這種含個字母的所有字符串中，排在最后一個的字母仍是的字符串的個數(shù)為. 故. ． 三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17、（本題滿分12分）駕駛證考試規(guī)定需依次按科目一（理論）、科目二（場內）、科目三（場外）進行，只有當上一科目考試合格才可以參加下一科目的考試，每個科目只允許有一次補考機會，三個科目考試均合格方可獲得駕駛證?，F(xiàn)張某已通過了科目一的考試，假設他科目二考試合格的概率為，科目三考試合格的概率為，且每次考試或補考合格與否互不影響。 （1）求張某不需要補考就可獲得駕駛證的概率。 （2）若張某不放棄所有考試機會，記為參加考試的次數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望。 18．（本題滿分12分）由五個直角邊為的等腰直角三角形拼成如圖的平面凹五邊形 ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF⊥平面ACD. （1） 求證：FB⊥AD （2） 求二面角C-EF-D的正切值. 19、（本題滿分12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，且的等差中項，數(shù)列滿足，其前項和為，且 （1）求數(shù)列，的通項公式 （2）數(shù)列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍。 20.（本題滿分13分）某小型加工廠生產某種機器部件，每個月投產一批。 該部件由5個A零件和2個B零件構成，加工廠采購這兩種零件的毛坯進行精加工, 再組裝成部件, 每加工成一個部件需要消耗10度電。 已知A、B兩種零件毛坯采購價格均為4元/個, 但如果同一種零件毛坯一次性采購超過1千個時，超過的部分可按優(yōu)惠價3.6元/個結算。電費按月交納, 電價按階梯電價計算：每月用電在5000度以內1元/度, 超過5000度的部分每度電增加c （c > 0）元. 設每月還需要其他成本（不含人工成本）600元. 在不考慮人工成本的條件下, 問： (1) 每月若投入資金1萬元, 可生產多少件部件? (2) 每月若有2萬元的資金可供使用, 但要平均每件的成本最低, 應投入多少資金? 21. （本題滿分13分）已知P（0，-1）與Q（0，1）是直角坐標平面內兩定點，過曲線C上一動點M（x,y)作Y軸的垂線，垂足為N，點E滿足，且。 1） 求曲線C的方程。 2） 設曲線與x軸正半軸交于點，任作一直線與曲線交于兩點（不與點重合）且，求證過定點并求定點的坐標。 22、（本題滿分13分）已知函數(shù) （1）討論的單調性與極值點。 （2）若, 證明當時，的圖象恒在的圖象上方. （3）證明 湖南省2013年六校聯(lián)考數(shù)學考試試題答案 1、 選擇題： 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B B B D C 二、填空題： 9、2 10、，，因是的中點，所以． 11、由柯西不等式，得． 或用基本不等式：． 12、2i 13、28 14 ② 15、陰影面積為 ， 故所求的概率為． 16、答案： 解析： 所以， 所以， 兩式相減得： 當為偶數(shù)時，利用累加法得= 所以，； 當為奇數(shù)時，利用累加法得= 所以，. 綜上所述: 三、解答題答案： 17、答案： 解：設“科目二第一次考試合格”為事件A1； “科目二補考考試合格”為事件A2； “科目三第一次考試合格”為事件B1； “科目三補考考試合格”為事件B2； 則A1、A2、B1、B2相互獨立。 （1）他不需要補考就可獲得駕證的概率為： …………………………………………5分 （2）的可能取值為2，3，4 ∵ …………………………………………9分 ∴的分布列為 2 3 4 P …………………………………………………12分 18、 答案： 解： 法一：(1)作FO⊥AD于O，連OB. .......................(1分） ∵等腰直角三角形AFD, ∴點O為AD的中點. 而等腰直角三角形ABD，∴BO⊥AD, 而FO∩BO=O， ∴AD⊥平面FOB, ∴FB⊥AD .....................（5分） (2) ∵等腰直角三角形ADB和等腰直角三角形CDB, ∴∠ADC=90°， ∴CD⊥AD .....................（7分） 又 ∵平面ADEF⊥平面ACD，平面ADEF∩平面ACD=AD， ∴CD⊥平面ADEF. 作DM⊥FE，連接MC， ∠DMC即為二面角C-EF-D的平面角. ...................（10分） 在直角三角形MDC中，∠MDC=90°，MD=1 , DC=2 , ∴tan∠DMC=2 , ∴二面角C-EF-D的正切值為2. ...................（12分） 法二：（1）作FO⊥AD于O，連OB，∵平面ADEF⊥平面ACD，∴FO⊥平面ADC. ∵等腰直角三角形AFD, ∴點O為AD的中點.而等腰直角三角形ABD，∴BO⊥AD 如圖，建立空間直角坐標系， ∴F（0,0,1），A（1,0,0），D（-1,0,0）,C（-1,2,0）,B（0,1,0）E（-2,0,1 ) .................(2分） ∵,∴FB⊥AD .................(5分） （2） 顯然平面DEF的法向量， ................(7分） 平面CEF中，, ∴平面CEF的法向量， ...............(10分） ∴ ∴ ∴二面角C-EF-D的正切值為2. .................(12分） 19、 答案： 解（1）設等比數(shù)列的公比為則 是的等差中項 ................(3分） 依題意，數(shù)列為等差數(shù)列，公差 又 . ...............(6分） （2） . ...............(8分） 不等式 化為 ..........(9分） 對一切恒成立。 而 當且僅當即時等式成立。 ................(12分） 20、 答案： 解：設產量為x件, 總成本y元, 生產200件需要1000個A零件, 生產500件需要1000個B零件, 并需要5000度電。 …..(1分) 當時, y=(5x+2x)+10x+600=38x+600 y …..(3分) 當時, y=(5x+2x)-(5x-1000)+10x+600=36x+1000 y ………..(5分) 當x>500時, y=(5x+2x)-(7x-2000)+ 10x+(10x-5000)+600=(35.2+10c)x+1400-5000c y>19000 ………..(7分) (1) 當y=10000時, 20, 故令 36x+1000=10000, 得 x=250 答：若投入資金10000元, 可生產250件. ……….(8分) (2) 平均每件的成本 ……..(10分) 在(0, 500]上遞減, 在[500, )上： 若1400-5000c>0, 即c<0.28時依然遞減, 故可全部投入20000元資金使平均每件的成本最低； 若1400-5000c<0, 即c>0.28時遞增, x=500時平均每件的成本最低, 可投入資金19000元. 若1400-5000c=0, 即c=0.28時為定值38, 可投入19000元至20000元任意數(shù)值的資金. ………..(13分) 21、 答案： 解：（1）依題意知N（0，y），. 又 ........（2分） .........（3分） ∴橢圓的標準方程為 ……（5分） （2）設直線的斜率存在，設為，方程為 由 得： ① ……（6分） ② ③ ……（7分） 又 ④ ……（8分） 又即 即 ⑤ 將②③④代入⑤并整理得： 或 ……（9分） 當時，①式成立 此時直線的方程為, 過定點（ ……（10分） 當時，①式成立 此時直線的方程為過點 與直線不過點矛盾。 …… （11分） 若直線的斜率不存在，設的方程為 由 得 由得即 解之得 ……（12分） 當時，直線的方程為過點 當時，直線的方程為過點（舍） 由上可知，直線過定點 ……（13分） 22、 答案：(添加計分標準) 解：（1） ................(1分） 當時在（0，）上恒成立 在(0,+∞)單調遞增,此時無極值點 ...............(2分） 當在定義域上的變化情況如下表： x （ ＋ － ＋ 增 減 增 由此表可知在（0 , 1）和（上單調遞增, 在（1 , ）上單調遞減 為極大值點，為極小值點 . ...............(4分） （2）時 令.....(5分） 當時時, 在（0 1）遞減,在（1，上遞增. 恒成立 ......(7分） 即時恒成立 當 的圖象恒在的圖象的上方 ......(8分） （3）由（2）知即 . ....(9分） 令 .....(10分） =. .....(11分） = = = ∴ 不等式成立. ....(13分） ·13·