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1、第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列,專題六 數(shù) 列,板塊三 專題突破核心考點,,[考情考向分析],1.數(shù)列的概念是A級要求，了解數(shù)列、數(shù)列的項、通項公式、前n項和等概念，一般不會單獨考查. 2.等差數(shù)列、等比數(shù)列主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式以及性質(zhì)的靈活運用，解答題會以等差數(shù)列、等比數(shù)列推理證明為主， 要求都是C級.,,,熱點分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點分類突破,例1 (2018江蘇南京師大附中模擬)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}均不是常數(shù)列，若a1＝b1＝1，且a1,2a2,4a4成等比數(shù)列，4b2,2b3，b4成等差數(shù)列. (1)求{an}和{bn}的通項公式；,,

2、熱點一 等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算,解答,解 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d≠0)，等比數(shù)列bn的公比為q(q≠1)，,解得d＝1，q＝2， 所以an＝n，bn＝2n－1，n∈N*.,(2)設(shè)m，n是正整數(shù)，若存在正整數(shù)i，j，k(i

3、＋4n，,所以m＋n的最小值為6，,在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量.,,解析,答案,跟蹤演練1 (1)若Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.則數(shù)列S1，S2，S4的公比為________.,4,解析 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，,∴(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d).,解析,答案,(2)在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a5＝7，且三個數(shù)a1，a4，a3依次成等比數(shù)列.抽出數(shù)列{an}的第1,2,22，…，2n項重新構(gòu)成新數(shù)列{bn}，數(shù)列

4、{bn}的前n項和Sn＝____________________.,2n＋2－13n－4(n∈N*),解析 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a1，a4，a3構(gòu)造成的等比數(shù)列的公比為q.,∵a5＝7，∴a1＋4d＝7， ∴a1＝－9，d＝4.∴an＝4n－13(n∈N*). 由題意，數(shù)列{an}中的第2n項即為數(shù)列{bn}中的第n＋1項. ∴bn＝a2n－1＝42n－1－13. ∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝4(1＋2＋22＋…＋2n－1)－13n ＝4(2n－1)－13n. ∴Sn＝2n＋2－13n－4(n∈N*).,,熱點二 等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明,證明,例2 (2018宿遷一模)已知

5、數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，滿足a1＝2，Sn＝λnan＋μan－1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R. (1)若λ＝0，μ＝4，bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；,證明 若λ＝0，μ＝4，則Sn＝4an－1(n≥2)， 所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝4(an－an－1)， 即an＋1－2an＝2(an－2an－1)， 所以bn＝2bn－1， 又由a1＝2，a1＋a2＝4a1， 得a2＝3a1＝6，a2－2a1＝2≠0，即b1≠0，,證明,證明 若a2＝3，由a1＋a2＝2λa2＋μa1，得5＝6λ＋2μ，,a3＝4， 所以a1，a2，a3成等差數(shù)列，,即(

6、n－1)an＋1－(n－2)an－2an－1＝0， 所以nan＋2－(n－1)an＋1－2an＝0， 相減得nan＋2－2(n－1)an＋1＋(n－4)an＋2an－1＝0， 所以n(an＋2－2an＋1＋an)＋2(an＋1－2an＋an－1)＝0，,因為a1－2a2＋a3＝0，所以an＋2－2an＋1＋an＝0， 即數(shù)列{an}是等差數(shù)列.,數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法 (1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法 ①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù). ②利用中項性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*). (2)證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列的

7、兩種基本方法,,證明,解答,(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求實數(shù)t的值.,如果數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，則2b2＝b1＋b3，,則t2－16t＋48＝0，解得t＝4或12.,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，符合題意；,b2＋b4≠2b3，數(shù)列{bn}不是等差數(shù)列，t＝12不符合題意. 綜上，若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，則t＝4.,,熱點三 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合,證明,例3 在數(shù)列{an}中，已知a1＝a2＝1，an＋an＋2＝λ＋2an＋1，n∈N*，λ為常數(shù). (1)證明：a1，a4，a5成等差數(shù)列；,證明 因為an＋an＋2＝λ＋2an＋1，a1＝a2＝1， 所以a3＝2a2－a1＋λ＝λ＋1.

8、 同理，a4＝2a3－a2＋λ＝3λ＋1， a5＝2a4－a3＋λ＝6λ＋1. 又因為a4－a1＝3λ，a5－a4＝3λ， 所以a1，a4，a5成等差數(shù)列.,解答,(2)設(shè)cn＝ ，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn；,解 由an＋an＋2＝λ＋2an＋1，得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋λ， 令bn＝an＋1－an，則bn＋1－bn＝λ，b1＝a2－a1＝0， 所以{bn}是以0為首項，λ為公差的等差數(shù)列， 所以bn＝b1＋(n－1)λ＝(n－1)λ， 即an＋1－an＝(n－1)λ， 所以an＋2－an＝2(an＋1－an)＋λ＝(2n－1)λ， 所以cn＝ ＝2(2n－1)

9、λ. Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝2λ＋23λ＋25λ＋…＋2(2n－1)λ. 當λ＝0時，Sn＝n；,解答,(3)當λ≠0時，數(shù)列{an－1}中是否存在三項as＋1－1，at＋1－1，ap＋1－1成等比數(shù)列，且s，t，p也成等比數(shù)列？若存在，求出s，t，p的值；若不存在，說明理由.,解 由(2)知an＋1－an＝(n－1)λ，,假設(shè)存在三項as＋1－1，at＋1－1，ap＋1－1成等比數(shù)列，且s，t，p也成等比數(shù)列， 則(at＋1－1)2＝(as＋1－1)(ap＋1－1)，,因為s，t，p成等比數(shù)列，所以t2＝sp， 所以(t－1)2＝(s－1)(p－1)， 化簡得s＋p＝2t，聯(lián)立t2＝s

10、p， 得s＝t＝p，這與題設(shè)矛盾. 故不存在三項as＋1－1，at＋1－1，ap＋1－1成等比數(shù)列，且s，t，p也成等比數(shù)列.,數(shù)列的綜合題，常將等差、等比數(shù)列結(jié)合在一起，形成兩者之間的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化；有些數(shù)列題目條件已指明是等差(或等比)數(shù)列，有的數(shù)列并沒有指明，但可以通過分析構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應用等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識解決問題.,,解答,跟蹤演練3 已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2＋k(n∈N*，k∈R)，且a1＝2，a3＋a5＝－4. (1)若k＝0，求數(shù)列{an}的前n項和Sn；,解 當k＝0時，2an＋1＝an＋an＋2， 即an＋2－an＋1＝

11、an＋1－an， 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.,解答,(2)若a4＝－1，求數(shù)列{an}的通項公式.,解 由題意得2a4＝a3＋a5＋k， 即－2＝－4＋k，所以k＝2. 由2a3＝a2＋a4＋2及2a2＝a1＋a3＋2，得a4＝2a3－a2－2＝2(2a2－a1－2)－a2－2＝3a2－2a1－6，所以a2＝3. 由2an＋1＝an＋an＋2＋2，得 (an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝－2， 所以數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝1為首項，－2為公差的等差數(shù)列，所以an＋1－an＝－2n＋3(n∈N*). 當n≥2時，有an－an－1＝－2(n－1)＋3， 于是an－1－an－

12、2＝－2(n－2)＋3，,an－2－an－3＝－2(n－3)＋3， …， a3－a2＝－22＋3， a2－a1＝－21＋3， 疊加得，an－a1＝－2[1＋2＋…＋(n－1)]＋3(n－1)(n≥2)，,又當n＝1時，a1＝2也適合上式. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n2＋4n－1，n∈N*.,真題押題精練,答案,解析,1,2,3,4,5,32,解析 設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q(q≠1)，,1,2,3,4,5,2.(2018江蘇)已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}.將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an}.記Sn為數(shù)列{a

13、n}的前n項和，則使得Sn＞12an＋1成立的n的最小值為________.,答案,解析,27,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析 經(jīng)過列舉計算可知,而a27＝43. 12a27＝516，不符合題意.,a28＝45,12a28＝540，符合題意. ∴使得Sn＞12an＋1成立的n的最小值為27.,答案,解析,1,2,3,4,5,4,1,2,3,4,5,解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，,所以b7＝a7＝2. 因為數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 ∵當n≥2時，an＝Sn－Sn－1， ∴Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， ∴Sn(1＋

14、2Sn－1)＝Sn－1， 顯然，若Sn－1≠0，則Sn≠0，,∴由遞推關(guān)系式知Sn≠0(n∈N*)，,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,5.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝2－an，n＝1,2,3，…. (1)求數(shù)列{an}的通項公式；,1,2,3,4,5,解 因為當n＝1時，a1＋S1＝a1＋a1＝2，所以a1＝1. 因為Sn＝2－an，即an＋Sn＝2， 所以an＋1＋Sn＋1＝2. 兩式相減，得an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0， 即an＋1－an＋an＋1＝0，故有2an＋1＝an.,解答,1,2,3,4,5,(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，且bn＋1＝bn＋an，求數(shù)列{bn}的通項公式；,解 因為bn＋1＝bn＋an(n＝1,2,3，…)，,將這n－1個等式相加，得,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,(3)在(2)的前提條件下，設(shè)cn＝n(3－bn)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.,1,2,3,4,5,