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1、第4講 解三角形,第4講 解三角形 1.已知a,b,c是銳角△ABC中∠A,∠B,∠C的對邊,若a=3,b=4,△ABC的面積為3 ,則c= .,答案,解析 ∵S= absin C=6sin C=3 ,∴sin C= .又△ABC是銳角三角形,則C= ,cos C= .由余弦定理可得c2=9+16-234 =13,即c= .,2.(2018江蘇南京期中)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b-c= a, 2sin B=3sin C,則cos A的值為 .,答案 -,解析 由正弦定理及2sin B=3sin C,可得b= c,代入b-c= a,得a=2c,由余

2、弦定 理得cos A= =- .,3.(2018江蘇蘇州期中)設△ABC的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,D為AB的中 點,若b=acos C+csin A且CD= ,則△ABC面積的最大值是 .,答案 +1,解析 b=acos C+csin A,由正弦定理可得sin B=sin Acos C+sin Csin A,則sin(A +C)=sin Acos C+sin Csin A,所以cos Asin C=sin Csin A.∵C∈(0,π),∴sin C≠0, ∴tan A=1.又A∈(0,π),∴A= .在△ACD中,由余弦定理可得2=b2+ c2-2b ≥bc- b

3、c,∴bc≤ =4+2 ,當且僅當b=c時取等號,則△ABC面積的 最大值是 bcsin A= (4+2 ) = +1.,4.設a,b,c依次是△ABC的角A,B,C所對的邊,若 =1 007tan C,且a2+b2=mc2,則m= .,答案 2 015,解析 由 =1 007tan C,得 = = = = =1 007, ∴cos C= .又cos C= , ∴1 007c2= , ∴a2+b2=2 015c2,∴m=2 015.,題型一 正、余弦定理的應用,例1 (2018江蘇揚州調研)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c, 已知cos A=- ,b= ,c= . (

4、1)求a; (2)求cos(B-A)的值.,解析 (1)在△ABC中,因為cos A=- ,b= ,c= ,,所以a2=b2+c2-2bccos A=2+5-2 =9. 因為a為邊長,所以a>0,所以a=3. (2)在△ABC中,cos A=- ,所以A∈ , 所以sin A= = = . 又 = ,即 = ,所以sin B= . 又A∈ ,所以B∈ ,,所以cos B= = = . 所以cos(B-A)=cos Bcos A+sin Bsin A= + = .,【方法歸納】 (1)正、余弦定理在三角形邊角互化中具有重要應用,注意正 弦定理的變形在解題中的應用,如a=2Rsin A,s

5、in B= (其中R是△ABC外接圓 的半徑),a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等; (2)常見題型:①已知兩角和一邊,如已知A,B和c,由A+B+C=π求出C,由正弦定 理求出a,b;②已知兩邊和這兩邊的夾角,如已知a,b和C,應先用余弦定理求 出c,再用正弦定理求較短邊所對的角,然后利用A+B+C=π求出另一角;③已知 兩邊和其中一邊的對角,如已知a,b和A,應先用正弦定理求出B,由A+B+C=π求 出C,再由正弦定理或余弦定理求出c,要注意解可能有多種情況;④已知三邊a,b,c,可用余弦定理求出A,B,C.,1-1 (2018蘇錫常鎮(zhèn)四市調研)已知在△ABC中,角A,B,

6、C所對的邊分別 為a,b,c.若cos A= ,sin C= . (1)求tan B; (2)若a2+b2=7,求c的值.,解析 (1)在△ABC中,由cos A= , 得sin A= = = . 又sin C= ,所以sin C

7、函數(shù)與解三角形,例2 (2018江蘇海安高級中學月考)已知函數(shù)f(x)=2sin cos x. (1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期; (2)設△ABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且c=2 , f(C)= ,若sin B=2sin A,求 a,b的值.,解析 (1)f(x)=2sin cos x =2 cos x= sin xcos x-cos2x = sin 2x- =sin - , 當且僅當x= +kπ,k∈Z時, f(x)max= ,最小正周期T= =π.,(2)f(C)=sin - = ,即sin =1,因為0

8、 .因為sin B=2sin A,所以由正弦定理得b=2a.由余弦定理得c2 =a2+b2-2abcos ,即a2+b2-ab=12.聯(lián)立 解得,【方法歸納】 解題步驟:(1)利用三角公式將解析式化為標準型;(2)結合三 角函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)的性質;(3)利用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互 化.,2-1 (2018江蘇泰州中學月考)已知f(x)= sin -cos x. (1)求f(x)在[0,π]上的最小值; (2)已知a,b,c分別為△ABC中角A,B,C的對邊,b=5 ,cos A= ,且f(B)=1,求邊a 的長.,解析 (1)f(x)= -cos x= sin x+ cos x

9、=sin , ∵0≤x≤π,∴ ≤x+ ≤ , ∴x+ = ,即x=π時, f(x)min=- . (2)∵x+ =2kπ+ ,k∈Z時, f(x)有最大值1, B是三角形內角,∴B= ,∴sin B= . ∵cos A= ,∴sin A= .又 = ,b=5 ,∴a=8.,題型三 平面向量與解三角形,例3 (2018江蘇鹽城模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AD為邊BC 上的中線. (1)若a=4,b=2,AD=1,求邊c的長; (2)若 =c2,求角B的大小.,解析 (1)在△ADC中,因為AD=1,AC=2,DC= BC=2,所以由余弦定理,得cos C= =

10、= .,故在△ABC中,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=42+22-242 =6,所以c= . (2)因為AD為邊BC上的中線,所以 = ( + ),所以 c2= = ( + )= + = c2+ cbcos A,得c=bcos A. 則c=b ,得b2=c2+a2,所以B=90.,【方法歸納】 平面向量與解三角形的綜合問題大致有兩種類型:一是向量 的線性運算、數(shù)量積運算與解三角形的綜合,如本例,利用向量的線性運算法 則、數(shù)量積的定義進行向量運算,得到邊角混有的恒等式,再利用余弦定理、 正弦定理進行邊角統(tǒng)一;二是向量的坐標運算與解三角形的綜合問題,利用向 量共線定理的

11、坐標表示、數(shù)量積的坐標運算將向量轉化為三角函數(shù),再利用 三角公式、正弦定理、余弦定理等求解.,3-1 (2018江蘇南京模擬)已知向量m=(cos x,-sin x),n=(cos x,sin x-2 cos x),x ∈R.設f(x)=mn. (1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間; (2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若f(A)=1,a=2 ,c=2,求△ABC的 面積.,解析 (1)f(x)=cos2x-sin x(sin x-2 cos x) =cos2x-sin2x+2 sin xcos x= sin 2x+cos 2x =2 =2sin , 令2kπ- <2x+ <2kπ+ ,k∈Z,則kπ-