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1、第四章 圖形的認識 4.1 角、相交線與平行線,中考數(shù)學 (浙江專用),1.(2018杭州,8,3分)如圖,已知點P是矩形ABCD內一點(不含邊界),設∠PAD=θ1,∠PBA=θ2, ∠PCB=θ3,∠PDC=θ4.若∠APB=80,∠CPD=50,則 ( ) A.(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30 B.(θ2+θ4)-(θ1+θ3)=40 C.(θ1+θ2)-(θ3+θ4)=70 D.(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180,考點一 角、相交線,A組 2014-2018年浙江中考題組,五年中考,答案 A 過P作PQ∥AD,與AB交于點Q, ∵AD∥BC,∴PQ∥AD∥BC, ∴

2、∠APQ=∠PAD,∠QPB=∠CBP, 又∠APB=80,∴∠CBP=∠APB-∠DAP=80-θ1, ∴∠ABC=θ2+80-θ1, 又∵在△CDP中,∠DCP=180-∠CPD-∠PDC=130-θ4, ∴∠BCD=θ3+130-θ4, 又∵在矩形ABCD中,∠ABC+∠BCD=180, ∴θ2+80-θ1+θ3+130-θ4=180, 即(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30,故選A.,2.(2016湖州,6,3分)如圖,AB∥CD,BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB,AD過點P,且與AB垂直.若 AD=8,則點P到BC的距離是 ( ) A.8 B.6 C.4 D.2,答

3、案 C 作PE⊥BC于點E, ∵AB∥CD,AP⊥AB,∴PD⊥CD. ∵BP平分∠ABC,CP平分∠DCB,∴PA=PE,PD=PE, ∴PE=PA=PD= AD=4.故選C.,方法指導 作PE⊥BC于點E,利用角平分線的性質求解.,3.(2015金華,4,3分)已知∠α=35,則∠α的補角的度數(shù)是 ( ) A.55 B.65 C.145 D.165,答案 C 35角的補角的度數(shù)是180-35=145.故選C.,4.(2015嘉興、舟山,9,3分)數(shù)學活動課上,四位同學圍繞作圖問題:“如圖,已知直線l和l外一點P,用直尺和圓規(guī)作直線PQ,使PQ⊥l于點Q.”分別作出了下列四

4、個圖形.其中作法錯誤的是 ( ),答案 A B利用作線段垂直平分線得到垂直;C利用圓中直徑所對的圓周角是直角得到垂直; D利用軸對稱(對稱軸垂直平分對應點所連線段)得到垂直.故B、C、D正確,故選A.,5.(2015紹興,10,4分)挑游戲棒是一種好玩的游戲,游戲規(guī)則:當一根棒條沒有被其他棒條壓著 時,就可以把它往上拿走.如圖,按照這一規(guī)則,第1次應拿走⑨號棒,第2次應拿走⑤號棒,…….則 第6次應拿走 ( ) A.②號棒 B.⑦號棒 C.⑧號棒 D.⑩號棒,答案 D 當一根棒條沒有被其他棒條壓著時,就可以把它拿走.如題圖,按照這一規(guī)則,第1次 應拿走⑨號棒,第2次應拿走

5、⑤號棒,第3次應拿走⑥號棒,第4次應拿走②號棒,第5次應拿走⑧ 號棒,第6次應拿走⑩號棒,故選D.,6.(2014寧波,3,4分)用矩形紙片折出直角的平分線,下列折法正確的是 ( ),答案 D 按A,B中的折疊方法,易知折痕所平分得的兩角的和都小于90,故排除A,B;當如選 項C所示折疊時,折痕不經(jīng)過矩形任何一角的頂點,所以不可能是直角的平分線,故本選項錯誤; 當如選項D所示折疊時,折痕所平分得的兩角的和是90,故折痕是直角的平分線,正確.故選D.,7.(2014湖州,13,4分)計算:50-1530= .,答案 3430,解析 原式=4960-1530=3430.,1.(2017寧波

6、,7,4分)已知直線m∥n, 將一塊含30角的直角三角板ABC按如圖方式放置(∠ABC= 30),其中A、B兩點分別落在直線m、n上.若∠1=20,則∠2的度數(shù)為 ( ) A.20 B.30 C.45 D.50,考點二 平行線,答案 D ∵m∥n, ∴∠2=∠1+∠ABC.又∵∠1=20,∠ABC=30, ∴∠2=50.故選D.,2.(2016寧波,8,4分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90,CD∥AB,∠ACD=40,則∠B的度數(shù)為 ( ) A.40 B.50 C.60 D.70,答案 B ∵CD∥AB,∠ACD=40,∴∠A=∠ACD=40, ∵∠ACB=

7、90,∴∠A+∠B=90, ∴∠B=50,故選B.,關鍵提示 根據(jù)平行線的性質與三角形內角和定理解題.,3.(2015金華,9,3分)以下四種沿AB折疊紙帶的方法中,不一定能判定紙帶兩條邊線a,b互相平行 的是 ( ) A.如圖1,展開后,測得∠1=∠2 B.如圖2,展開后,測得∠1=∠2且∠3=∠4 C.如圖3,測得∠1=∠2 D.如圖4,展開后,再沿CD折疊,再展開后,測得OA=OB,OC=OD(O為兩條折痕的交點),答案 C 對于題圖1,測得∠1=∠2,根據(jù)內錯角相等,兩直線平行可得a∥b. 對于題圖2,測得∠1=∠2且∠3=∠4,由∠1+∠2=180及∠3+∠4=180,得∠1=

8、∠2=90,∠3=∠4 =90,所以∠1=∠4=90,根據(jù)內錯角相等,兩直線平行得到a∥b. 對于題圖4,測得OA=OB,OC=OD,又∠AOC=∠BOD,所以△AOC≌△BOD,所以∠OAC= ∠OBD,根據(jù)內錯角相等,兩直線平行得到a∥b.故A、B、D正確,故選C.,關鍵提示 根據(jù)平行線的判定定理進行分析.,4.(2014嘉興,2,4分)如圖,AB∥CD,EF分別交AB,CD于點E,F,∠1=50,則∠2的度數(shù)為 ( ) A.50 B.120 C.130 D.150,答案 C 如圖,∠3=∠1=50(對頂角相等), ∵AB∥CD,∴∠2=180-∠3=180-50=13

9、0.故選C.,5.(2017金華,13,4分)如圖,已知l1∥l2, 直線l與l1, l2相交于C,D兩點,把一塊含30角的三角尺按如 圖位置擺放.若∠1=130,則∠2= .,答案 20,解析 如圖,∵∠1=130, ∴∠3=130,∵l1∥l2, ∴∠3+∠BDC=180, ∴∠BDC=50, ∵∠BDA=30, ∴∠2=50-30=20.,6.(2018杭州,12,4分)如圖,直線a∥b,直線c與直線a,b分別交于點A,B.若∠1=45,則∠2= .,答案 135,解析 ∵直線a∥b,∠1=45, ∴∠3=45, ∴∠2=180-45=135.,思路分析 利用平行線的性質

10、,結合鄰補角的性質得出答案.,方法總結 此題主要考查了平行線的性質,正確得出∠3的度數(shù)是解題的關鍵.,7.(2016湖州,14,4分)圖1是我們常用的折疊式小刀,圖2中刀柄外形是一個 挖去一個小半 圓,其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條 的線段,轉動刀片時會形成圖2所示的∠1與∠2,則 ∠1與∠2的度數(shù)和是 度.,答案 90,解析 根據(jù)題意畫圖,如圖,AB∥CD,∠BED=90,過點E作EF∥AB,所以∠1=∠3, 因為AB∥CD,所以EF∥CD. 所以∠2=∠4, 所以∠1+∠2=∠3+∠4=∠BED=90.,解題關鍵 添加平行線,從而將角進行轉化是解決此題的關鍵.,8.(2016金

11、華,14,4分)如圖,已知AB∥CD,BC∥DE.若∠A=20,∠C=120,則∠AED的度數(shù)是 .,答案 80,解析 延長DE交AB于F,∵AB∥CD,BC∥DE,∴∠AFE=∠B,∠B+∠C=180,又∵∠C=120,∴ ∠AFE=∠B=60,又∵∠A=20,∴∠AED=∠A+∠AFE=80.,方法指導 延長DE交AB于F,根據(jù)平行線的性質和三角形外角的性質求解.,解題關鍵 正確添加輔助線是解題的關鍵.,9.(2015杭州,14,4分)如圖,點A,C,F,B在同一直線上,CD平分∠ECB,FG∥CD.若∠ECA為α度,則 ∠GFB為 度(用關于α的代數(shù)式表示).,答案,解

12、析 ∵∠ECA=α度,∴∠ECB=(180-α)度. ∵CD平分∠ECB, ∴∠DCB= ∠ECB= 度. ∵FG∥CD, ∴∠GFB=∠DCB= 度.,10.(2018寧波,20,8分)在53的方格紙中,△ABC的三個頂點都在格點上. (1)在圖1中畫出線段BD,使BD∥AC,其中D是格點; (2)在圖2中畫出線段BE,使BE⊥AC,其中E是格點.,解析 (1) (2),1.(2018云南昆明,11,4分)在△AOC中,OB交AC于點D,量角器的擺放如圖所示,則∠CDO的度 數(shù)為 ( ) A.90 B.95 C.100 D.120,考點一 角、相交線,B組 2014-2018年全

13、國中考題組,答案 B 由題圖知∠COA=130,OA=OC,∠BOC=60,∴∠C=∠CAO= (180-130)=25, ∴∠CDO=180-∠C-∠BOC=95,故選B.,2.(2017河北,10,3分)如圖,碼頭A在碼頭B的正西方向,甲、乙兩船分別從A,B同時出發(fā),并以等 速駛向某海域.甲的航向是北偏東35,為避免行進中甲、乙相撞,則乙的航向 是 ( ) A.北偏東55 B.北偏西55 C.北偏東35 D.北偏西35,答案 D 因為甲、乙兩船分別從A、B同時出發(fā),并以等速駛向某海域,所以相撞時航行的路 程相等,也就是說以相撞點與A、B為頂點的三角形是等腰三角形.由于甲的航向

14、是北偏東35, 為避免行進中甲、乙相撞,所以乙的航向不能是北偏西35,故選D.,3.(2015山東聊城,15,3分)如圖,在△ABC中,∠C=90,∠A=30,BD是∠ABC的平分線.若AB=6,則 點D到AB的距離是 .,答案,解析 ∵∠C=90,∠A=30,AB=6,∴∠ABC=60,BC=3,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD= ∠ABC=3 0,點D到AB的距離等于DC,在Rt△BDC中,DC=tan∠DBCBC= 3= ,∴點D到AB的距離 等于 .,4.(2015北京,16,3分)閱讀下面材料: 在數(shù)學課上,老師提出如下問題: 尺規(guī)作圖:作一條線段的垂直平分線.

15、已知:線段AB. 求作:線段AB的垂直平分線. 小蕓的作法如下:,,如圖, (1)分別以點A和點B為圓心,大于 AB的長 為半徑作弧,兩弧相交于C,D兩點; (2)作直線CD. 所以直線CD就是所求作的垂直平分線. 老師說:“小蕓的作法正確.” 請回答:小蕓的作圖依據(jù)是 .,,答案 到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上,兩點確定一條直線,解析 由小蕓的作法可知,AC=BC,AD=BD,所以由“到線段兩個端點距離相等的點在這條線 段的垂直平分線上”可知點C、D在線段AB的垂直平分線上,再由“兩點確定一條直線”可 知直線CD就是所求

16、作的垂直平分線.,評析 本題考查了作線段的垂直平分線的依據(jù),需要學生對相關的定理非常熟悉,題目不難,但 對于學生而言題目新穎,同時提醒教師在平時授課中要重視尺規(guī)作圖.屬中檔題.,1.(2018吉林,4,3分)如圖,將木條a,b與c釘在一起,∠1=70,∠2=50.要使木條a與b平行,木條a旋 轉的度數(shù)至少是 ( ) A.10 B.20 C.50 D.70,考點二 平行線,答案 B 如圖,作d∥b,∵∠1=70,∴∠3=110,又∵∠2=50,∴∠4+∠3=130,∴∠4=20,故選B.,2.(2017安徽,6,4分)直角三角板和直尺如圖放置.若∠1=20,則∠2的度數(shù)為 ( )

17、A.60 B.50 C.40 D.30,答案 C 如圖所示,∠4=∠1+30=50,由平行線的性質可得∠5=∠4=50,所以∠3=90-∠5=4 0,所以∠2=∠3=40.,3.(2015河北,8,3分)如圖,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50,則∠ACD= ( ) A.120 B.130 C.140 D.150,答案 C 延長AC交直線EF于點G,∵AB∥EF,∴∠BAC=∠CGD=50,∵∠ACD是△CDG的外 角,∴∠ACD=∠CGD+∠CDG=50+90=140,故選C.,1.(2017河北,3,3分)用量角器測量∠MON的度數(shù),下列操作正確的是 ( ),C

18、組 教師專用題組,考點一 角、相交線,答案 C 用量角器測量一個角的度數(shù)時,應將量角器的圓心對準所量角的頂點,量角器的零 刻度線與角的一邊重合,那么角的另一邊所對應的刻度就是角的度數(shù),故選C.,2.(2014河北,4,2分)如圖,平面上直線a,b分別過線段OK兩端點(數(shù)據(jù)如圖),則a,b相交所成的銳 角是 ( ) A.20 B.30 C.70 D.80,答案 B 設直線a,b相交于點M,則100角為三角形OKM的外角,由三角形的外角等于與它不 相鄰的兩個內角的和,得直線a,b相交所成的銳角是100-70=30,故選B.,3.(2014江蘇鎮(zhèn)江,6,2分)如圖,直線m∥n,Rt

19、△ABC的頂點A在直線n上,∠C=90.若∠1=25,∠2= 70,則∠B= .,答案 45,解析 ∵m∥n,∴∠2=∠BAC+∠1,∴∠BAC=∠2-∠1=45,∴∠B=90-∠BAC=45.,1.(2015河南,4,3分)如圖,直線a,b被直線c,d所截,若∠1=∠2,∠3=125,則∠4的度數(shù)為 ( ) A.55 B.60 C.70 D.75,考點二 平行線,答案 A 如圖,∵∠1=∠2,∴a∥b.∴∠5=∠3=125, ∴∠4=180-∠5=180-125=55.故選A.,評析 本題考查了平行線的性質與判定,以及鄰補角的關系,屬容易題.,2.(2015北京,5,3

20、分)如圖,直線l1,l2,l3交于一點,直線l4∥l1,若∠1=124,∠2=88,則∠3的度數(shù)為 ( ) A.26 B.36 C.46 D.56,答案 B ∵l4∥l1,∴∠4=180-∠1=180-124=56, ∴∠3=180-∠2-∠4=180-88-56=36.故選B.,3.(2015寧波,6,4分)如圖,直線a∥b,直線c分別與a,b相交,∠1=50,則∠2的度數(shù)為 ( ) A.150 B.130 C.100 D.50,答案 B 如圖, ∵a∥b,∴∠1=∠3.∵∠1=50,∴∠3=50,∴∠2=130.故選B.,4.(2015重慶,6,4分)如圖

21、,直線AB∥CD,直線EF分別與直線AB,CD相交于點G,H.若∠1=135,則 ∠2的度數(shù)為 ( ) A.65 B.55 C.45 D.35,答案 C 因為AB∥CD,所以∠2=∠BGE,因為∠BGE=180-∠1=45,所以∠2=45,故選C.,5.(2014陜西,7,3分)如圖,AB∥CD,∠A=45,∠C=28,則∠AEC的大小為 ( ) A.17 B.62 C.63 D.73,答案 D ∵AB∥CD,∠C=28,∴∠ABE=28,∵∠AEC是三角形ABE的外角,∴∠AEC=∠A+ ∠ABE=45+28=73.故選D.,6.(2015四川綿陽,16,3分

22、)如圖,AB∥CD,∠CDE=119,GF交∠DEB的平分線EF于點F,∠AGF=1 30,則∠F= .,答案 9.5(或930),解析 ∵AB∥CD,∠CDE=119 ,∴∠BED=∠CDE=119.∵EF平分∠DEB, ∴∠BEF= ∠DEB= ,∴∠AEF= . ∴∠F=∠AGF-∠AEF=130- =9.5(或930).,7.(2014江蘇連云港,14,3分)如圖,AB∥CD,∠1=62,FG平分∠EFD,則∠2= .,答案 31,解析 因為AB∥CD,所以∠EFD=∠1=62,因為FG平分∠EFD,所以∠2=31.,8.(2014湖北黃岡,12,3分)如圖,若AD∥BE,

23、且∠ACB=90,∠CBE=30,則∠CAD= .,答案 60,解析 △ABC中,因為∠ACB=90, 所以∠CAB+∠CBA=90. 又因為AD∥BE, 所以∠DAB+∠EBA=180, 即∠CAD+∠CAB+∠CBA+∠CBE=180, 所以∠CAD=180-90-30=60.,1.(2018杭州模擬)若線段AM、AN分別是△ABC中BC邊上的高線和中線,則 ( ) A.AM>AN B.AM≥AN C.AM0), ∵DE=2EG= GF,∴EG=a,DE=2a, ∴DG=DE+EG=3a=FG,∵l1∥l2, ∴∠ADG=∠CFG,∠DAG=∠FCG,∴△ADG≌△CFG,

24、∴AG=CG=6,∴AC=12.,2.(2018麗水一模)如圖,a∥b,直線c交a、b于點A、B,且∠1=25,過點B作BC⊥AB交直線a于點 C,則∠2的度數(shù)為 ( ) A.65 B.55 C.50 D.25,答案 A ∵a∥b, ∴∠1=∠3=25, ∵BC⊥AB, ∴∠ABC=90, ∴∠2=180-∠ABC-∠3=65,故選A.,3.(2016寧波北侖一模,6)將一副三角板如圖放置,使點A在DE上,BC∥DE,則∠ACE的度數(shù)為 ( ) A.10 B.15 C.20 D.25,答案 B ∵BC∥DE,∴∠BCE=∠E=30,∴∠ACE=∠ACB-∠BCE

25、=45-30=15,故選B.,關鍵提示 弄清楚一副三角板各內角的度數(shù)并用好平行線的性質.,4.(2016杭州蕭山二模,13)如圖,已知BD∥CA,∠A=40,∠DBE=65,則∠ABC的大小是 .,答案 75,解析 ∵BD∥CA,∴∠ABD=∠A=40, ∵∠DBE=65,∴∠ABC=180-40-65=75.,5.(2016杭州下沙一模,12)如圖,已知a∥b,∠1=6520‘,則∠2= .,答案 11440,解析 ∵a∥b, ∴∠1+∠2=180. 又∵∠1=6520, ∴∠2=180-6520=11440.,1.(2017杭州拱墅二模,10)如圖,AB∥CD,點P在AB,

26、CD之間,CP平分∠ACD,連接AP,∠CAP與∠ BAP的度數(shù)的比值為k+1.下列結論: ①當∠P=60時,k=2; ②當∠P=40時,k> ; ③當k=0時,△ACP一定是直角三角形; ④當k=1時,△ACP一定是等腰三角形. 其中正確的是 ( ) A.①② B.③④ C.②③④ D.②③,B組 2016—2018年模擬提升題組 (時間:15分鐘 分值:14分),一、選擇題（每小題3分，共6分）,答案 D 在△APC中,∠P=180-∠CAP-∠ACP. ∵AB∥CD, ∴∠CAB+∠ACD=180, ∴∠PCD+∠PAB=180-∠ACP-∠CAP, ∴∠P=∠PCD+∠P

27、AB. ∵∠PCD= ∠ACD,∠PAB= ∠CAB, ∴∠P= ∠ACD+ ∠CAB. 當∠P=40時, 可得∠CAB= ,∵0 ,故②正確. 當k=0時,∠P= ∠ACD+ ∠CAB, ∵∠ACD+∠CAB=180,∴∠P=90,∴△ACP是直角三角形,,故③正確. 不能證明①④中的結論成立,故選D.,2.(2016溫州二中一模,7)圖1是一個安全用電標記圖案,可以抽象為如圖2所示的幾何圖形,其中 AB∥DC,BE∥FC,點E,F在AD上,若∠A=15,∠B=65,則∠AFC的度數(shù)是 ( ) A.50 B.65 C.80 D.90,3.(2017寧波聯(lián)考,15)一副直角三角尺

28、如圖1疊放,現(xiàn)將含45角的三角尺ADE固定不動,將含30 角的三角尺ABC繞頂點A順時針轉動,要求兩塊三角尺的一組邊互相平行.例如圖2中,當∠BAD =15時,BC∥DE,請再寫出兩個符合要求的∠BAD(0<∠BAD<180)的度數(shù): .,二、填空題（每小題4分，共8分）,答案 答案不唯一,在45度、60度、105度、135度中任取兩個即可,4.(2016杭州拱墅一模,13)如圖,直線AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=67,則∠2= 度.,答案 46,解析 ∵直線AB∥CD,∴∠1=∠ABC, 又∵BC平分∠ABD,∠1=67, ∴∠CBD=∠ABC=∠1=67, 又∵∠2=∠CDB,∠BCD=∠1=67, 在三角形CBD中,∠BCD+∠CBD+∠CDB=180, ∴∠2=∠CDB=180-67-67=46.,