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1、第八章　電磁感應(yīng)　電磁場 8 －1　一根無限長平行直導(dǎo)線載有電流I，一矩形線圈位于導(dǎo)線平面內(nèi)沿垂直于載流導(dǎo)線方向以恒定速率運(yùn)動(dòng)（如圖所示），則（　?。? （A） 線圈中無感應(yīng)電流 （B） 線圈中感應(yīng)電流為順時(shí)針方向 （C） 線圈中感應(yīng)電流為逆時(shí)針方向 （D） 線圈中感應(yīng)電流方向無法確定 分析與解　由右手定則可以判斷，在矩形線圈附近磁場垂直紙面朝里，磁場是非均勻場，距離長直載流導(dǎo)線越遠(yuǎn)，磁場越弱．因而當(dāng)矩形線圈朝下運(yùn)動(dòng)時(shí)，在線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感第八章　電磁感應(yīng)　電磁場 8 －1　一根無限長平行直導(dǎo)線載有電流I，一矩形線圈位于導(dǎo)線平面內(nèi)沿垂直于載流導(dǎo)線方向以恒定速率運(yùn)動(dòng)（如圖所示

2、），則（　?。? （A） 線圈中無感應(yīng)電流 （B） 線圈中感應(yīng)電流為順時(shí)針方向 （C） 線圈中感應(yīng)電流為逆時(shí)針方向 （D） 線圈中感應(yīng)電流方向無法確定 分析與解　由右手定則可以判斷，在矩形線圈附近磁場垂直紙面朝里，磁場是非均勻場， 應(yīng)電流方向由法拉第電磁感應(yīng)定律可以判定．因而正確答案為（B）． 8 －2 　將形狀完全相同的銅環(huán)和木環(huán)靜止放置在交變磁場中，并假設(shè)通過兩環(huán)面的磁通量隨時(shí)間的變化率相等，不計(jì)自感時(shí)則（　?。? （A） 銅環(huán)中有感應(yīng)電流，木環(huán)中無感應(yīng)電流 （B） 銅環(huán)中有感應(yīng)電流，木環(huán)中有感應(yīng)電流 （C） 銅環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢大，木環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢小 （D） 銅環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)

3、勢小，木環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢大 分析與解　根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，銅環(huán)、木環(huán)中的感應(yīng)電場大小相等， 但在木環(huán)中不會(huì)形成電流．因而正確答案為（A）． 8 －3　有兩個(gè)線圈，線圈1 對線圈2 的互感系數(shù)為M21 ，而線圈2 對線圈1的互感系數(shù)為M12 ．若它們分別流過i1 和i2 的變化電流且，并設(shè)由i2變化在線圈1 中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢為ε12 ，由i1 變化在線圈2 中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢為ε21 ，下述論斷正確的是（　?。? （A） ， （B） ， （C）， （D） ， 分析與解　教材中已經(jīng)證明M21 ＝M12 ，電磁感應(yīng)定律；．因而正確答案為（D）． 8 －4　對位移電流，下述四

4、種說法中哪一種說法是正確的是（　?。? （A） 位移電流的實(shí)質(zhì)是變化的電場 （B） 位移電流和傳導(dǎo)電流一樣是定向運(yùn)動(dòng)的電荷 （C） 位移電流服從傳導(dǎo)電流遵循的所有定律 （D） 位移電流的磁效應(yīng)不服從安培環(huán)路定理 分析與解　位移電流的實(shí)質(zhì)是變化的電場．變化的電場激發(fā)磁場，在這一點(diǎn)位移電流等效于傳導(dǎo)電流，但是位移電流不是走向運(yùn)動(dòng)的電荷，也就不服從焦耳熱效應(yīng)、安培力等定律．因而正確答案為（A）． 8 －5　下列概念正確的是（　?。? （A） 感應(yīng)電場是保守場 （B） 感應(yīng)電場的電場線是一組閉合曲線 （C） ，因而線圈的自感系數(shù)與回路的電流成反比 （D） ，回路的磁通量越大，回路的自感

5、系數(shù)也一定大 分析與解　對照感應(yīng)電場的性質(zhì)，感應(yīng)電場的電場線是一組閉合曲線．因而 正確答案為（B）． 8 －6　一鐵心上繞有線圈100匝，已知鐵心中磁通量與時(shí)間的關(guān)系為，求在時(shí)，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢． 分析　由于線圈有N 匝相同回路，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢等于各匝回路的感應(yīng)電動(dòng)勢的代數(shù)和，在此情況下，法拉第電磁感應(yīng)定律通常寫成，其中稱為磁鏈． 解　線圈中總的感應(yīng)電動(dòng)勢 當(dāng) 時(shí)，． 8 －7　有兩根相距為d 的無限長平行直導(dǎo)線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以的變化率增長．若有一邊長為d 的正方形線圈與兩導(dǎo)線處于同一平面內(nèi)，如圖所示．求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢． 分析　本題

6、仍可用法拉第電磁感應(yīng)定律來求解．由于回路處在非均勻磁場中，磁通量就需用來計(jì)算（其中B 為兩無限長直電流單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B1 與B2 之和）． 為了積分的需要，建立如圖所示的坐標(biāo)系．由于B 僅與x 有關(guān)，即，故取一個(gè)平行于長直導(dǎo)線的寬為ｄx、長為d 的面元ｄS，如圖中陰影部分所示，則，所以，總磁通量可通過線積分求得（若取面元，則上述積分實(shí)際上為二重積分）．本題在工程技術(shù)中又稱為互感現(xiàn)象，也可用公式求解． 解1　穿過面元ｄS 的磁通量為 因此穿過線圈的磁通量為 再由法拉第電磁感應(yīng)定律，有 解2　當(dāng)兩長直導(dǎo)線有電流I 通過時(shí)，穿過線圈的磁通量為 線圈與兩長直導(dǎo)線間

7、的互感為 當(dāng)電流以變化時(shí)，線圈中的互感電動(dòng)勢為 試想：如線圈又以速率v 沿水平向右運(yùn)動(dòng)，如何用法拉第電磁感應(yīng)定律求圖示位置的電動(dòng)勢呢？此時(shí)線圈中既有動(dòng)生電動(dòng)勢，又有感生電動(dòng)勢．設(shè)時(shí)刻t，線圈左端距右側(cè)直導(dǎo)線的距離為ξ，則穿過回路的磁通量，它表現(xiàn)為變量I和ξ的二元函數(shù)，將Φ代入 即可求解，求解時(shí)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，注意，其中，再令ξ＝d 即可求得圖示位置處回路中的總電動(dòng)勢．最終結(jié)果為兩項(xiàng)，其中一項(xiàng)為動(dòng)生電動(dòng)勢，另一項(xiàng)為感生電動(dòng)勢． 8 －8　有一測量磁感強(qiáng)度的線圈，其截面積S ＝4.0 cm2 、匝數(shù)N ＝160 匝、電阻R ＝50Ω．線圈與一內(nèi)阻Ri＝30Ω的沖擊電流計(jì)相連．若開始

8、時(shí)，線圈的平面與均勻磁場的磁感強(qiáng)度B 相垂直，然后線圈的平面很快地轉(zhuǎn)到與B 的方向平行．此時(shí)從沖擊電流計(jì)中測得電荷值．問此均勻磁場的磁感強(qiáng)度B 的值為多少？ 分析　在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢和感應(yīng)電流與磁通量變化的快慢有關(guān)，而在一段時(shí)間內(nèi)，通過導(dǎo)體截面的感應(yīng)電量只與磁通量變化的大小有關(guān)，與磁通量變化的快慢無關(guān)．工程中常通過感應(yīng)電量的測定來確定磁場的強(qiáng)弱． 解　在線圈轉(zhuǎn)過90°角時(shí)，通過線圈平面磁通量的變化量為 因此，流過導(dǎo)體截面的電量為 則 8 －10　如圖（ａ）所示，把一半徑為R 的半圓形導(dǎo)線OP 置于磁感強(qiáng)度為B的均

9、勻磁場中，當(dāng)導(dǎo)線以速率v 水平向右平動(dòng)時(shí)，求導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢E 的大小，哪一端電勢較高？ 分析　本題及后面幾題中的電動(dòng)勢均為動(dòng)生電動(dòng)勢，除仍可由求解外（必須設(shè)法構(gòu)造一個(gè)閉合回路），還可直接用公式求解． 在用后一種方法求解時(shí)，應(yīng)注意導(dǎo)體上任一導(dǎo)線元ｄl 上的動(dòng)生電動(dòng)勢.在一般情況下，上述各量可能是ｄl 所在位置的函數(shù)．矢量（v ×B）的方向就是導(dǎo)線中電勢升高的方向． 解1　如圖（ｂ）所示，假想半圓形導(dǎo)線OP 在寬為2R 的靜止形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，兩者之間形成一個(gè)閉合回路．設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榛芈氛?，任一時(shí)刻端點(diǎn)O 或 端點(diǎn)P 距 形導(dǎo)軌左側(cè)距離為x，則 即 由于靜止的 形導(dǎo)軌上的電

10、動(dòng)勢為零，則E ＝－2RvB．式中負(fù)號表示電動(dòng)勢的方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對OP 段來說端點(diǎn)P 的電勢較高． 解2　建立如圖（c）所示的坐標(biāo)系，在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元ｄl，則 由矢量（v ×B）的指向可知，端點(diǎn)P 的電勢較高． 解3　連接OP 使導(dǎo)線構(gòu)成一個(gè)閉合回路．由于磁場是均勻的，在任意時(shí)刻，穿過回路的磁通量常數(shù).由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，E ＝0 又因 E ＝EOP ＋EPO 即 EOP ＝－EPO ＝2RvB 由上述結(jié)果可知，在均勻磁場中，任意閉合導(dǎo)體回路平動(dòng)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢為零；而任意曲線形導(dǎo)

11、體上的動(dòng)生電動(dòng)勢就等于其兩端所連直線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢．上述求解方法是疊加思想的逆運(yùn)用，即補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ? 8 －11　長為L的銅棒，以距端點(diǎn)r 處為支點(diǎn)，以角速率ω繞通過支點(diǎn)且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場與軸平行，求棒兩端的電勢差． 分析　應(yīng)該注意棒兩端的電勢差與棒上的動(dòng)生電動(dòng)勢是兩個(gè)不同的概念，如同電源的端電壓與電源電動(dòng)勢的不同．在開路時(shí)，兩者大小相等，方向相反（電動(dòng)勢的方向是電勢升高的方向，而電勢差的正方向是電勢降落的方向）．本題可直接用積分法求解棒上的電動(dòng)勢，亦可以將整個(gè)棒的電動(dòng)勢看作是OA 棒與OB 棒上電動(dòng)勢的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．而EO A 和EO B 則

12、可以直接利用第８ －2 節(jié)例1 給出的結(jié)果． 解1　如圖（ａ）所示，在棒上距點(diǎn)O 為l 處取導(dǎo)體元ｄl，則 因此棒兩端的電勢差為 當(dāng)L ＞2r 時(shí)，端點(diǎn)A 處的電勢較高 解2　將AB 棒上的電動(dòng)勢看作是OA 棒和OB 棒上電動(dòng)勢的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．其中 , 則 8 －12　如圖所示，長為L 的導(dǎo)體棒OP，處于均勻磁場中，并繞OO′軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為θ，磁感強(qiáng)度B 與轉(zhuǎn)軸平行．求OP 棒在圖示位置處的電動(dòng)勢． 分析　如前所述，本題既可以用法拉第電磁感應(yīng)定律 計(jì)算（此時(shí)必須構(gòu)造一個(gè)包含OP導(dǎo)體在內(nèi)的閉合回路， 如直角三角形導(dǎo)體回路OPQO），

13、也可用來計(jì)算．由于對稱性，導(dǎo)體OP 旋轉(zhuǎn)至任何位置時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢與圖示位置是相同的． 解1　由上分析，得 由矢量的方向可知端點(diǎn)P 的電勢較高． 解2　設(shè)想導(dǎo)體OP 為直角三角形導(dǎo)體回路OPQO 中的一部分，任一時(shí)刻穿 過回路的磁通量Φ為零，則回路的總電動(dòng)勢 顯然，EQO ＝0，所以 由上可知，導(dǎo)體棒OP 旋轉(zhuǎn)時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導(dǎo)體棒QP 等效．后者是垂直切割的情況． 8 －13　如圖（ａ）所示，金屬桿AB 以勻速平行于一長直導(dǎo)線移動(dòng)，此導(dǎo)線通有電流I ＝40A．求桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢，桿的哪一端電勢較高？ 分析　本題可用兩種方法求解．（1）

14、 用公式求解，建立圖（a）所示的坐標(biāo)系，所取導(dǎo)體元，該處的磁感強(qiáng)度．（2） 用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，需構(gòu)造一個(gè)包含桿AB 在內(nèi)的閉合回路．為此可設(shè)想桿AB在一個(gè)靜止的形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，如圖（ｂ）所示．設(shè)時(shí)刻t，桿AB 距導(dǎo)軌下端CD的距離為y，先用公式求得穿過該回路的磁通量，再代入公式，即可求得回路的電動(dòng)勢，亦即本題桿中的電動(dòng)勢． 解1　根據(jù)分析，桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢為 式中負(fù)號表示電動(dòng)勢方向由B 指向A，故點(diǎn)A 電勢較高． 解2　設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榛芈稟BCD 的正向，根據(jù)分析，在距直導(dǎo)線x 處，取寬為ｄx、長為y 的面元ｄS，則穿過面元的磁通量為 穿過回路的磁通量為 回路的電動(dòng)勢為

15、 由于靜止的形導(dǎo)軌上電動(dòng)勢為零，所以 式中負(fù)號說明回路電動(dòng)勢方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對AB 導(dǎo)體來說，電動(dòng)勢方向應(yīng)由B 指向A，故點(diǎn)A 電勢較高． 8 －14　如圖（ａ）所示，在“無限長”直載流導(dǎo)線的近旁，放置一個(gè)矩形導(dǎo)體線框，該線框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率v 向右移動(dòng)，求在圖示位置處，線框中感應(yīng)電動(dòng)勢的大小和方向． 分析　本題亦可用兩種方法求解．其中應(yīng)注意下列兩點(diǎn)：1．當(dāng)閉合導(dǎo)體線框在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，線框中的總電動(dòng)勢就等于框上各段導(dǎo)體中的動(dòng)生電動(dòng)勢的代數(shù)和．如圖（ａ）所示，導(dǎo)體eh 段和fg 段上的電動(dòng)勢為零［此兩段導(dǎo)體上處處滿足］，因而線框中的總電動(dòng)勢為 其等效電路如圖（ｂ）所

16、示． 2．用公式求解，式中Φ是線框運(yùn)動(dòng)至任意位置處時(shí)，穿過線框的磁通量．為此設(shè)時(shí)刻t 時(shí)，線框左邊距導(dǎo)線的距離為ξ，如圖（c）所示，顯然ξ是時(shí)間t 的函數(shù)，且有．在求得線框在任意位置處的電動(dòng)勢E（ξ）后，再令ξ＝d，即可得線框在題目所給位置處的電動(dòng)勢． 解1　根據(jù)分析，線框中的電動(dòng)勢為 由Eef ＞Ehg 可知，線框中的電動(dòng)勢方向?yàn)閑fgh． 解2　設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榫€框回路的正向．根據(jù)分析，在任意位置處，穿過線框的磁通量為 相應(yīng)電動(dòng)勢為 令ξ＝d，得線框在圖示位置處的電動(dòng)勢為 由E ＞0 可知，線框中電動(dòng)勢方向?yàn)轫槙r(shí)針方向． 　*8 －15　有一長為l

17、，寬為b 的矩形導(dǎo)線框架，其質(zhì)量為m，電阻為R．在t ＝0時(shí)，框架從距水平面y ＝0 的上方h 處由靜止自由下落，如圖所示．磁場的分布為：在y ＝0 的水平面上方?jīng)]有磁場；在y ＝0 的水平面下方有磁感強(qiáng)度為B 的均勻磁場，B 的方向垂直紙面向里．已知框架在時(shí)刻t1 和t2 的位置如圖中所示．求在下述時(shí)間內(nèi)，框架的速度與時(shí)間的關(guān)系： （1） t1 ≥t ＞0，即框架進(jìn)入磁場前；（2） t2 ≥t≥t1 ，即框架進(jìn)入磁場， 但尚未全部進(jìn)入磁場；（3）t ＞t2 ，即框架全部進(jìn)入磁場后． 分析　設(shè)線框剛進(jìn)入磁場（t1 時(shí)刻）和全部進(jìn)入磁場（t2 時(shí)刻）的瞬間，其速度分別為v10 和v20

18、．在情況（1）和（3）中，線框中無感應(yīng)電流，線框僅在重力作用下作落體運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的關(guān)系分別為v＝gt（t ＜t1）和v ＝v20 ＋g（t－t2 ）（t ＞t2 ）．而在t1＜t＜t2這段時(shí)間內(nèi)，線框運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，由于穿過線框回路的磁通量變化，使得回路中有感應(yīng)電流存在，從而使線框除受重力外，還受到一個(gè)向上的安培力FA ，其大小與速度有關(guān)，即．根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，此時(shí)線框的運(yùn)動(dòng)微分方程為，解此微分方程可得t1＜t＜t2 時(shí)間內(nèi)線框的速度與時(shí)間的關(guān)系式． 解?。?） 根據(jù)分析，在時(shí)間內(nèi)，線框?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)，于是 其中時(shí)， （2） 線框進(jìn)入磁場后，受到向上的安培力為 根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律

19、，可得線框運(yùn)動(dòng)的微分方程 令，整理上式并分離變量積分，有 積分后將代入，可得 （3） 線框全部進(jìn)入磁場后（t ＞t2），作初速為v20 的落體運(yùn)動(dòng)，故有 8 －17　半徑為R ＝2.0 cm 的無限長直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場可視為均勻磁場，管外磁場可近似看作零．若通電電流均勻變化，使得磁感強(qiáng)度B 隨時(shí)間的變化率為常量，且為正值，試求：（1） 管內(nèi)外由磁場變化激發(fā)的感生電場分布；（2） 如，求距螺線管中心軸r ＝5．0 cm處感生電場的大小和方向． 分析　變化磁場可以在空間激發(fā)感生電場，感生電場的空間分布與場源———變化的磁場（包括磁場的空間分布以及磁場的變化率

20、等）密切相關(guān)，即.在一般情況下，求解感生電場的分布是困難的．但對于本題這種特殊情況，則可以利用場的對稱性進(jìn)行求解．可以設(shè)想，無限長直螺線管內(nèi)磁場具有柱對稱性，其橫截面的磁場分布如圖所示．由其激發(fā)的感生電場也一定有相應(yīng)的對稱性，考慮到感生電場的電場線為閉合曲線，因而本題中感生電場的電場線一定是一系列以螺線管中心軸為圓心的同心圓．同一圓周上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度Ek 的大小相等，方向沿圓周的切線方向．圖中虛線表示r ＜R和r ＞R 兩個(gè)區(qū)域的電場線．電場線繞向取決于磁場的變化情況，由楞次定律可知，當(dāng)時(shí)，電場線繞向與B 方向滿足右螺旋關(guān)系；當(dāng) 時(shí)，電場線繞向與前者相反． 解　如圖所示，分別在r ＜R 和r

21、 ＞R 的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)任取一電場線為閉合回路l（半徑為r 的圓），依照右手定則，不妨設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榛芈氛颍? （1） r ＜R，　 r ＞R，　 由于，故電場線的繞向?yàn)槟鏁r(shí)針． （2） 由于r ＞R，所求點(diǎn)在螺線管外，因此 將r、R、的數(shù)值代入，可得，式中負(fù)號表示Ek的方向是逆時(shí)針的． 8 －19　截面積為長方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖（ａ）所示，共有N 匝（圖中僅畫出少量幾匝），求該螺繞環(huán)的自感L． 分析　如同電容一樣，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自身性質(zhì)（如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等）有關(guān)的量．求自感L 的方法有兩種：1．設(shè)有電流I 通過線圈，計(jì)

22、算磁場穿過自身回路的總磁通量，再用公式計(jì)算L．2．讓回路中通以變化率已知的電流，測出回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢EL ，由公式計(jì)算L．式中EL 和都較容易通過實(shí)驗(yàn)測定，所以此方法一般適合于工程中．此外，還可通過計(jì)算能量的方法求解． 解　用方法1 求解，設(shè)有電流I 通過線圈，線圈回路呈長方形，如圖（ｂ）所示，由安培環(huán)路定理可求得在R1 ＜r ＜R2 范圍內(nèi)的磁場分布為 由于線圈由N 匝相同的回路構(gòu)成，所以穿過自身回路的磁鏈為 則 若管中充滿均勻同種磁介質(zhì)，其相對磁導(dǎo)率為μr ，則自感將增大μr倍． 8 －20　如圖所示，螺線管的管心是兩個(gè)套在一起的同軸圓柱體，其截面積分別為S1 和S

23、2 ，磁導(dǎo)率分別為μ1 和μ2 ，管長為l，匝數(shù)為N，求螺線管的自感．（設(shè)管的截面很?。? 分析　本題求解時(shí)應(yīng)注意磁介質(zhì)的存在對磁場的影響．在無介質(zhì)時(shí)，通電螺線管內(nèi)的磁場是均勻的，磁感強(qiáng)度為B0 ，由于磁介質(zhì)的存在，在不同磁介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為μ1 B0 和μ2 B0 ．通過線圈橫截面的總磁通量是截面積分別為S1 和S2 的兩部分磁通量之和．由自感的定義可解得結(jié)果． 解　設(shè)有電流I 通過螺線管，則管中兩介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為 , 通過N 匝回路的磁鏈為 則自感 8 －21　有兩根半徑均為a 的平行長直導(dǎo)線，它們中心距離為d．試求長為l 的一對導(dǎo)線的自感（導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量可

24、略去不計(jì)）． 分析　兩平行長直導(dǎo)線可以看成無限長但寬為d 的矩形回路的一部分．設(shè)在矩形回路中通有逆時(shí)針方向電流I，然后計(jì)算圖中陰影部分（寬為d、長為l）的磁通量．該區(qū)域內(nèi)磁場可以看成兩無限長直載流導(dǎo)線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場的疊加． 解　在如圖所示的坐標(biāo)中，當(dāng)兩導(dǎo)線中通有圖示的電流I 時(shí)，兩平行導(dǎo)線間的磁感強(qiáng)度為 穿過圖中陰影部分的磁通量為 則長為l 的一對導(dǎo)線的自感為 如導(dǎo)線內(nèi)部磁通量不能忽略，則一對導(dǎo)線的自感為．L1 稱為外自感，即本題已求出的L，L2 稱為一根導(dǎo)線的內(nèi)自感．長為l的導(dǎo)線的內(nèi)自感，有興趣的讀者可自行求解． 8 －22　如圖所示，在一柱形紙筒上繞有兩

25、組相同線圈AB 和A′B′，每個(gè)線圈的自感均為L，求：（1） A 和A′相接時(shí)，B 和B′間的自感L1 ；（2） A′和B 相接時(shí)，A 和B′間的自感L2 ． 分析　無論線圈AB 和A′B′作哪種方式連接，均可看成一個(gè)大線圈回路的兩個(gè)部分，故仍可從自感系數(shù)的定義出發(fā)求解．求解過程中可利用磁通量疊加的方法，如每一組載流線圈單獨(dú)存在時(shí)穿過自身回路的磁通量為Φ，則穿過兩線圈回路的磁通量為2Φ；而當(dāng)兩組線圈按（1）或（2）方式連接后，則穿過大線圈回路的總磁通量為2Φ±2Φ，“ ±”取決于電流在兩組線圈中的流向是相同或是相反． 解?。?） 當(dāng)A 和A′連接時(shí)，AB 和A′B′線圈中電流流向相反，

26、通過回路的磁通量亦相反，故總通量為 ， 故L1 ＝0． （2） 當(dāng)A′和B 連接時(shí)，AB 和A′B′線圈中電流流向相同，通過回路的磁通量亦相同，故總通量為 ， 故． 本題結(jié)果在工程實(shí)際中有實(shí)用意義，如按題（1）方式連接，則可構(gòu)造出一個(gè)無自感的線圈． 8 －23　如圖所示，一面積為4.0 cm2 共50 匝的小圓形線圈A，放在半徑為20 cm 共100 匝的大圓形線圈B 的正中央，此兩線圈同心且同平面．設(shè)線圈A 內(nèi)各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度可看作是相同的．求：（1） 兩線圈的互感；（2） 當(dāng)線圈B 中電流的變化率為－50 A·ｓ－1 時(shí)，線圈A 中感應(yīng)電動(dòng)勢的大小和方向． 分析　設(shè)回路Ⅰ

27、中通有電流I1 ，穿過回路Ⅱ的磁通量為Φ21 ，則互感M ＝M21 ＝Φ21I1 ；也可設(shè)回路Ⅱ通有電流I2 ，穿過回路Ⅰ的磁通量為Φ12 ，則 ． 雖然兩種途徑所得結(jié)果相同，但在很多情況下，不同途徑所涉及的計(jì)算難易程度會(huì)有很大的不同．以本題為例，如設(shè)線圈B 中有電流I 通過，則在線圈A 中心處的磁感強(qiáng)度很易求得，由于線圈A 很小，其所在處的磁場可視為均勻的，因而穿過線圈A 的磁通量Φ≈BS．反之，如設(shè)線圈A 通有電流I，其周圍的磁場分布是變化的，且難以計(jì)算，因而穿過線圈B 的磁通量也就很難求得，由此可見，計(jì)算互感一定要善于選擇方便的途徑． 解?。?） 設(shè)線圈B 有電流I 通過，它在圓心處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度穿過小線圈A 的磁鏈近似為 則兩線圈的互感為 （2） 互感電動(dòng)勢的方向和線圈B 中的電流方向相同．