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湖南省2013年六校聯(lián)考數(shù)學（文）考試試卷 岳陽市一中、長沙市一中、師 大 附中、 株洲市二中、常德市一中、湘潭市一中 一、 選擇題：（共9道小題，每小題5分，共45分，選對一項得5分，多選則該小題不得分。） 1、已知集合,則 （　　?。　? Ａ、　　?。?、　　　Ｃ、　　?。?、 2、在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（　　　） Ａ、第一象限　　　Ｂ、第二象限　?。谩⒌谌笙蕖　。?、第四象限 3、設(shè)是等差數(shù)列的前項和，，則（　　?。? Ａ、　　　Ｂ、　　　Ｃ、　　　Ｄ、 4、下圖為一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（　　?。? 　　　 2　　　　　　　　　　　　　　　　 2　　　　　　　　　　　　　 2 2　　　　　　　　　　 2　　　　　　　　　　　　　 2 　　　正視圖　　　　　　　　側(cè)視圖　　　　　　　　　　　俯視圖 Ａ、　?。隆ⅰ　。?、　　?。摹? 5、如果把函數(shù)的圖像向右平移(>0)個單位所得的圖像關(guān)于軸對稱，則的最小值為（　　?。? Ａ、　　?。?、　　?。?、　　?。摹? 開始 輸出 結(jié)束 是 否 6. 某程序框圖如右圖所示，若,則該程序運行后，輸出的值為31,則判斷框中應填的條件是（ ） Ａ、　?　　 Ｂ、　?　　 Ｃ、　?　　 Ｄ、 ? 7、不等式組所表示平面區(qū)域的面積為（　　?。? Ａ、　　 Ｂ、　　　 Ｃ、　　　 Ｄ、2 8、已知，若與的夾角為，則直線 與圓的位置關(guān)系是（　　?。? Ａ、相交　　　 Ｂ、相交且過圓心　　　?。?、相切　　　　 Ｄ、相離 9、已知點集，點集所表示的平面區(qū)域的邊界與點集所表示的平面區(qū)域的邊界的交點為，若點在點集所表示的平面區(qū)域內(nèi)（不在邊界上），則的面積的最大值是（ ） 3 6 9 二、填空題： 本大題共6小題，每小題5分，共30分。 10、在極坐標系中，圓的圓心的極坐標坐標為_______________________ 11、若以連續(xù)拋擲兩枚骰子正面朝上的點數(shù)分別作為點的橫坐標縱坐標，則事件“”的概率為_______________________ 12.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值是 。 13、某學校高一學生有720人，現(xiàn)從高一、高二、高三這三個年級學生中采用分層抽樣方法，抽取180人進行英語水平測試。已知抽取高一學生人數(shù)是抽取高二學生人數(shù)和高三學生人數(shù)的等差中項，且高二年級抽取65人，則該校高三年級學生人數(shù)是_____________________ 14、設(shè)與的離心率互為倒數(shù)，則以為邊長的三角形的形狀一定是_______________________ 15已知定義在的函數(shù)和滿足，且，又，則 ;方程的解的個數(shù)為 三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 16、（本小題共12分）某公司研發(fā)了一款新游戲，為了測試該游戲的受歡迎程度，該公司在某高校抽取部分學生進行了調(diào)研.已知該高校在校學生有6000人，其中男生2800人，參加調(diào)研的男生有140人. (1) 該校參加調(diào)研的女生有多少人? (2) 該公司將調(diào)研的情況統(tǒng)計后得到下表1： 喜愛玩該游戲 不太喜愛玩該游戲 合計 男生 100 40 140 女生 100 合計 請將上表填寫完整，并據(jù)此說明是否有99.9％的把握認為“喜愛玩該游戲”與“性別”有關(guān)？ 附： P( 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 (3)據(jù)上表1回答：隨機抽取一名該校學生，請估算該學生恰好喜歡玩此游戲的概率. 17（本小題共12分）已知三角形的三內(nèi)角對邊分別是已知向量,且向量 ⑴．求角. ⑵．設(shè)是三角形的最大內(nèi)角，求的取值范圍. C B D P A E 18. （本小題共12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐中，底面，為中點， （Ⅰ）求證：平面 （Ⅱ）求證：平面平面； （Ⅲ）求二面角的正切值. 19. （本小題共12分）某學校實驗室有濃度為和的兩種溶液。在使用之前需要重新配制溶液，具體操作方法為：取濃度為和的兩種溶液各300分別裝入兩個容積都為500的錐形瓶中，先從瓶中取出溶液放入瓶中，充分混合后，再從瓶中取出溶液放入瓶中，再充分混合.以上兩次混合過程完成后算完成一次操作.設(shè)在完成第次操作后，瓶中溶液濃度為，瓶中溶液濃度為. （ （Ⅰ）請計算,并判定數(shù)列是否為等比數(shù)列,若是,求出其通項公式;若不是,說明理由; （Ⅱ）若要使得兩個瓶中的溶液濃度之差小于,則至少要經(jīng)過幾次操作. 20．（本小題共13分）已知函數(shù) （1）若則稱為的“不動點”； 若則稱為的“穩(wěn)定點”，函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，求證： （2）當時，對任意的恒成立，求實數(shù)n的取值范圍. 21. （本小題共14分）、設(shè)橢圓和拋物線的焦點均在軸上，的中心點和的頂點都是坐標原點，從每條曲線上各取兩點，其坐標記錄如下表： 4 1 ０ 4 ⑴．求曲線，的標準方程。⑵．設(shè)直線交橢圓于兩點，若，求證：。⑶．設(shè)直線過P(4,0)，交拋物線交于兩點，問是否存在與軸垂直的直線，使被以為直徑的圓所截得的弦長為定值？如果存在，求出的方程，若不存在，說明理由。 參考答案及評分標準 （文科） 一、選擇題（本大題共9小題，每小題5分，共45分） （1）C （2） D （3） D （4）A （5） B （6） A （7）B （8）D （9）C 二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分） （10） 　　　　（11） ?。?2） （13） 660 ?。?4）直角三角形 （15），方程解的個數(shù)為２ 注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分． 三、解答題（本大題共6小題，共80分） （16）、（1）160人 ……3分 （2） 喜愛玩該游戲 不太喜愛玩該游戲 合計 男生 100 40 140 女生 60 100 160 合計 160 140 300 有％的把握認為“喜愛玩該游戲”與“性別”有關(guān) ……9分 （3） ……12分 （17）解：⑴.∵，∴即，∴，∴。　　　　　　　　　　　　?。斗? ⑵．∵為的最大內(nèi)角，∴， ∴，由得，∴即的范圍是。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?2分、 （18）、解析：（Ⅰ）連接BD,交AC于點O,連接OE,在三角形BDP中， O,E分別為BD,PD中點， OE為中位線， OE//PB,且OE平面ACE,PB平面ACE, 平面；………4分 （Ⅱ）底面是菱形，ACBD, 又底面，PABD F B o P A E C D 平面平面平面 平面平面…………………8分 （Ⅲ）過點作直線于點，連接， 由（Ⅱ）知，平面， ，故平面， ，故為二面角的平面角。 易得： ………………12分 （19）、解：（Ⅰ）…………………2分 時，，…………..4分 ……………………6分 ………………….7分 是以為首項，為公比的等比數(shù)列。 ……………………8分 （Ⅱ）由得………………9分 ……………………11分 所以至少要操作8次才能達到要求………………12分 （20）、（1）證明：若 若，從而 ……5分 （2）當時，即 可化為 ……7分 記， 則 ……9分 記， 則 故 0 ……11分 從而 又 ……13分 （21）、解：因，的焦點均在軸上，設(shè)方程為 ， 依題意點在橢圓上，∴∴ ∴橢圓方程為 設(shè)拋物線方程，過點∴∴拋物線方程。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分　 （２）設(shè)，由 消去y整理得，由韋達定理得，則 由兩邊平方整理可得 只需證明 而 故恒成立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……9分　　　　　 （3）.設(shè)存在直線滿足題意，設(shè)點坐標為，則圓心，過作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線與圓的一個交點為，可得： 所以，當時，，此時直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值，因此，存在滿足題意。　　　　　　　　　　　　　　　　……14分 ·9·