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江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市2013屆高三5月教學(xué)情況調(diào)查（二） 數(shù)學(xué)試題 2013.5 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。不需要寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上； 1、 已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第 象限。 2、 設(shè)全集，集合，集合，則 。 3、 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為 。 4、 “”是“”的條件。（請(qǐng)?jiān)凇俺湟?、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)合適的填空）。 5、 若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于，則此雙曲線方程為 。 6、 根據(jù)右圖所示的流程圖，輸出的結(jié)果為 。 7、 在1和9之間插入三個(gè)正數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的和為 。 8、 在不等式組，所表示的平面區(qū)域內(nèi)的所有格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)）中任取3個(gè)點(diǎn)，則該3點(diǎn)恰能作為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的概率為 。 9、 在矩形中，對(duì)角線與相鄰兩邊所成的角為，，則有。類比到空間中的一個(gè)正確命題是：在長(zhǎng)方體中，對(duì)角線與相鄰三個(gè)面所成的角為，，，則有 。 10、 已知圓：與直線相交于、兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù) 。 11、 分別在曲線與直線上各取一點(diǎn)與，則的最小值為 。 12、 已知向量，滿足，，且對(duì)一切實(shí)數(shù)，恒成立，則與的夾角大小為 。 13、 已知，均為正數(shù)，，且滿足，，則的值為 。 14、 已知為正的常數(shù)，若不等式對(duì)一切非負(fù)實(shí)數(shù)恒成立，則的最大值為 。 二、解答題：本大題共6個(gè)小題，共90分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 15、 （本小題滿分14分） 如圖，中，，角的平分線交于點(diǎn)，設(shè)，； (1) 求和； (2) 若，求的長(zhǎng)； 16、 （本小題滿分14分） 已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面是等邊三角形，側(cè)面是以為斜邊的直角三角形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。 (1) 求證：//平面； (2) 求證：平面； (3) 求三棱錐的體積； 17、 （本小題滿分14分） 已知等差數(shù)列的公差不為0，且，。 (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)的集合； 18、 （本小題滿分16分） 如圖，設(shè)，分別是橢圓：的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線交線段于點(diǎn)（異于點(diǎn)，），交橢圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)），與的面積分別為與。 (1) 若是線段的中點(diǎn)，直線的方程為，求橢圓的離心率； (2) 當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值； 19、 （本小題滿分16分） 如圖所示，有兩條道路與，，現(xiàn)要鋪設(shè)三條下水管道，，（其中，分別在，上），若下水管道的總長(zhǎng)度為。設(shè)，。 (1) 求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍； (2) 已知點(diǎn)處有一個(gè)污水總管的接口，點(diǎn)到的距離為，到點(diǎn)的距離為，問(wèn)下水管道能否經(jīng)過(guò)污水總管的接口點(diǎn)？若能，求出的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由； 20、 （本小題滿分16分） 已知為正的常數(shù)，函數(shù)； (1) 若，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； (2) 設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值； 附加題 21、 （選做題）在，，，四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分，解答時(shí)應(yīng)先寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 A. 選修4-1：幾何證明選講 如圖，為圓內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)兩組對(duì)邊分別交于點(diǎn)，，的平分線分別交，于點(diǎn)，，求證：。 B. 選修4-2：矩陣與變換 已知，，在矩陣對(duì)應(yīng)變換的作用下，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，求矩陣； C. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)； D. 選修4-5：不等式選講 已知常數(shù)滿足，解關(guān)于的不等式：； （必做題）第22題、第23題，每題10分，共20分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 22、 （本小題滿分10分）。 已知拋物線：和拋物線：在交點(diǎn)處的兩條切線互相垂直，求實(shí)數(shù)的值； 23、 （本小題滿分10分） 已知數(shù)列滿足，。 (1) 求，，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明； (2) 設(shè)，，比較與的大?。?  ·15·