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1、基于ANSYS 的漸開線圓柱齒輪參數(shù)化造型與有限元建模及分析技術(shù) 李常義[1][2] 盧耀輝[3] 周繼偉[3] （[1] 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 機(jī)械CAD與仿真實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410073） （[2] 航空工業(yè)總公司中南傳動機(jī)械廠 技術(shù)中心，湖南 長沙 望城 410200） （[3] 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院，湖南 長沙 410073） 摘 要： 為了滿足利用FEA有限元分析技術(shù)完成齒輪強(qiáng)度系列分析工作的需要，筆者曾經(jīng)重點(diǎn)研究了直接基于ANSYS軟件的漸開線圓柱齒輪參數(shù)化生成原理、技術(shù)及齒輪輪齒滾動接觸模擬實(shí)現(xiàn)技術(shù)，獲得了良好的實(shí)際應(yīng)用效果。為了推進(jìn)技

2、術(shù)交流，同時針對當(dāng)前國內(nèi)許多人對FEA軟件難以進(jìn)行幾何建模的認(rèn)識以及在齒輪付FEA滾動模擬接觸分析中的一些不恰當(dāng)?shù)奶幚矸绞?，筆者在本文中對相應(yīng)研究結(jié)果作出細(xì)介紹以供研究參考。 關(guān)鍵詞：漸開線 過渡曲線 齒輪造型 強(qiáng)度 ANSYS 有限元分析 Research of Involute Cylindrial Gear Modeling Technology Based on ANSYS LI Chang-yi YAO Qi-shui LI Wei-jian ( Laboratory of Mechanism CAD and Simulation,the Nati

3、onal University of Defense Technology,,Changsha 410073,China ) (Research-Department of the Zhongnan Transmision Factoray of the Air Industry Parent Company,Wangcheng, Changsha， 410200,China) Abstract：In order to calculate the gear-strength by using the FEA method , we have studied the principle an

4、d realization of 3D parameter-modeling about involute cylindrical gear based on ANSYS , and then studied the ealization of the analyzing process about gear-strength.This paper presents the ending of the research . Key words：involute interim-curve gear-model strength ANSYS FEA 1 隨著計(jì)算機(jī)技

5、術(shù)的日益普及和FEA（有限元）分析技術(shù)蓬勃發(fā)展，人們已經(jīng)接受和開始廣泛采用計(jì)算機(jī)有限元仿真分析的方法來作為齒輪強(qiáng)度校核的方法。但不僅齒輪造型及其滾動模擬分析過程太復(fù)雜，極大地影響了齒輪有限元分析的應(yīng)用；而且目前一般人士都認(rèn)為，F(xiàn)EA軟件難以完成實(shí)體幾何造型，這也進(jìn)一步影響了FEA軟件應(yīng)用推廣。ANSYS是當(dāng)今應(yīng)用的結(jié)構(gòu)有限元分析軟件中的典型，它自帶幾何造型功能完全可以滿足它本身結(jié)構(gòu)分析的建模需要。為此，作者根據(jù)本人的CAD和FEA工作經(jīng)驗(yàn)，從漸開線齒輪的形成原理出發(fā)，以ANSYS為工具對漸開線直齒圓柱齒輪三維造型、有限元建模及其滾動模擬分析技術(shù)進(jìn)行了研究探討。 1 ANSYS與齒輪幾何造型

6、 CAD雖然對于一般由簡單幾何形狀組合的實(shí)體造型很方便。但對于齒輪輪齒等專用特殊形體的造型來說，CAD軟件相對于FEA軟件而言并沒有太大優(yōu)勢；相反，由單純的CAD軟件環(huán)境中導(dǎo)入到FEA軟件環(huán)境中的實(shí)體模型不僅往往并不很適合FEA分析，而且對于FEA的參數(shù)優(yōu)化分析更是無能為力，以ANSYS為例的FEA自帶建模功能則能很好的適應(yīng)這些特殊造型與分析工作的需要。 對于實(shí)體建模，ANSYS提供了兩種基本方法即“自頂向下的建模法”和“自底向上的建模法”?！白皂斚蛳碌慕７ā本褪窃诖_定的坐標(biāo)系下直接定義實(shí)體體素結(jié)構(gòu)，然后對這些實(shí)體體素求“交”、“并”、“差”等布爾運(yùn)算生成所需的幾何體?！白缘紫蛏系?/p>

7、建模法” 就是在確定的坐標(biāo)系下，依次定義點(diǎn)、線、面，最后由面生成體的一個完整的建模過程。對于其中的一些具體定義操作，ANSYS還提供了直接定義、拉伸、掃描、旋轉(zhuǎn)、復(fù)制等操作特征以供選用。 在ANSYS環(huán)境下，圓柱齒輪實(shí)體建?？捎靡韵氯N方法之一： (1) 在工作坐標(biāo)系內(nèi)，根據(jù)齒輪的已知參數(shù)生成齒坯，以齒坯端面及其中心為基準(zhǔn)定義新的坐標(biāo)系，在新定義坐標(biāo)系內(nèi)生成齒槽輪廓切割實(shí)體，再根據(jù)齒槽的圓周陣列特征旋轉(zhuǎn)陣列齒槽輪廓切割實(shí)體，然后運(yùn)用布爾減法（……>>Booleans >>subtract）操作生成所有齒槽。 (2) 根據(jù)已知參數(shù)生成一個完整的輪齒端面（平面）實(shí)體和輪轂實(shí)體，再拉伸

8、生成一個輪齒實(shí)體，然后經(jīng)過旋轉(zhuǎn)復(fù)制、實(shí)體融合（merge）或者布爾（Booleans）運(yùn)算操作生成一個齒輪實(shí)體。 (3) 根據(jù)已知參數(shù)生成包含一個完整的輪齒（含齒廓、齒槽）和輪轂的扇形實(shí)體，再經(jīng)過旋轉(zhuǎn)復(fù)制、實(shí)體融合等系列操作完成。 2 漸開線及過渡曲線的參數(shù)化生成技術(shù) 在齒輪造型中，齒廓曲線（主要指輪齒漸開線及齒根過渡曲線）的生成是最困難，又是最重要的環(huán)節(jié)——特別是在有限元分析時，輪齒曲線的準(zhǔn)確度直接影響有限元分析結(jié)果的正確性和可信度。 ANSYS沒有提供直接生成公式曲線的功能，但各種公式曲線都可用ANSYS的樣條曲線（B—Splines）功能和其自帶的APDL參數(shù)化設(shè)計(jì)語言

9、編程實(shí)現(xiàn)——利用APDL語言還可以直接在ANSYS環(huán)境中建立參數(shù)交換界面以實(shí)現(xiàn)有關(guān)參數(shù)的交互操作。 漸開線的生成原理 在ANSYS中進(jìn)行幾何建模，首先需要定義坐標(biāo)系。ANSYS提供了直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、球坐標(biāo)三種坐標(biāo)系可供選用。鑒于漸開線在極坐標(biāo)中具有最簡單的方程形式——便于幾何建模，故在ANSYS中，首先定義局部極坐標(biāo)系為工作坐標(biāo)系，建立按如圖1所示的漸開線極坐方程： (1) 式中 ——漸開線上各點(diǎn)壓力角（弧度）； ——漸開線的基圓半徑。 利用式(1)求解生成關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)后，直接在ANSYS下生成相應(yīng)的關(guān)鍵點(diǎn)（關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)量N>＝200可滿足FEA工程分析精度要求），再

10、利用ANSYS中的B—Splines功能即可生成所需的漸開線（這一步既可編程實(shí)現(xiàn)也可通過菜單拾取操作實(shí)現(xiàn)）。 齒根過渡曲線的生成原理 齒根過渡曲線方程遠(yuǎn)比漸開線方程復(fù)雜。在確定其方程時，不僅需要知道齒輪的工作參數(shù)，還需要知道加工刀具的齒頂形狀等系列參數(shù)。其中以尖齒頂齒條刀具生成的曲線方程相對比較簡單，故考慮以此為例說明其生成技術(shù)。 如圖2所示的過渡曲線方程為 (2) 式中 ——齒輪對于刀具滾動角（弧度）； ——工作齒輪的分度圓半徑； ——加工刀具的工作齒高。 由于如式(2)所示的過渡曲線是由直角坐標(biāo)方程表示的，故可以直接在ANSYS中定義局部直角坐標(biāo)系作

11、為工作坐標(biāo)。在此工作坐標(biāo)系下，利用式(2)的計(jì)算結(jié)果生成相應(yīng)關(guān)鍵點(diǎn)（關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)量N>＝200可滿足FEA工程分析的精度要求），然后再利用ANSYS的B—Splines功能便可生成所需曲線。 在上述兩種曲線生成后，輪齒的基本齒廓曲線建?？梢哉f完成了。 3 ANSYS 環(huán)境中齒輪造型、參數(shù)修改驅(qū)動技術(shù) 3.1 齒廓曲線參數(shù)化生成 對于輪齒的齒廓曲線，由于在其生成過程中涉及到復(fù)雜的公式和大量數(shù)據(jù)計(jì)算，故采用宏命令程序生成的方式來實(shí)現(xiàn)是比較可行的。 在具體齒輪的齒廓曲線造型實(shí)現(xiàn)時，首先需要確定式(1)、式(2)中的、、、、等參數(shù)。根據(jù)不同的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方法，其具體確定形式有多種。筆者選用了一種由

12、齒輪的模數(shù)m、齒數(shù)z、壓力角、齒頂圓直徑da、齒根圓直徑df、齒輪的公法線長度Wk等系列參數(shù)確定方式確定了相應(yīng)曲線幾何模型。再通過利用APDL語言對其編程實(shí)現(xiàn)，建立了如圖3所示的交互界面，適應(yīng)了不同參數(shù)齒輪曲線生成的需要。圖4中某輪齒的齒廓漸開線和過渡曲線圖形和圖5中的背景齒輪便是通過如圖3所示的齒輪參數(shù)輸入界面窗口輸入?yún)?shù)m=3 、 z=17 、 =20○、Wk=41.53 、k=5 、da=126 ,、df =112.5 生成的。 3.2 齒廓曲線參數(shù)修改及其驅(qū)動技術(shù) 為了能實(shí)現(xiàn)在圖形交互方式下的參數(shù)修改和尺寸驅(qū)動，可以先在ANSYS的圖形界面中，利用A

13、PDL程序語言在其工具條上增加“參數(shù)修改命令”按鈕“”，通過此按鈕調(diào)用相應(yīng)的操作中斷、等待、恢復(fù)、參數(shù)置換以及新的參數(shù)驅(qū)動等自行編寫的宏指令控制程序，即可很方便的完成相關(guān)的修改與驅(qū)動任務(wù)，同時達(dá)到保證圖形窗口不會出現(xiàn)中無圖形（需要重新從圖操作）的狀態(tài)——直觀形式上的參數(shù)直接驅(qū)動。在參數(shù)修改后，各項(xiàng)具體參數(shù)是否正確可以通過點(diǎn)擊“Parameters>Scalar Parameters …”查閱得知。圖5所示的參數(shù)界面即是處在當(dāng)前圖形顯示狀態(tài)下的參數(shù)置換修改界面之一（其中的參數(shù)是修改前的“當(dāng)前圖形狀態(tài)下的參數(shù)”）。 圖 5 輸入修改參數(shù)截面 3.3 齒輪三維幾何模型生成及后

14、續(xù)操作 在齒廓曲線造型完成后的齒輪三維實(shí)體模型過程相對比較容易，依操作者對ANSYS的熟練情況不同可以分別采用宏程序指令或“GUI(屏幕菜單)”圖形交互式操作完成（限于篇幅，具體操作過程就不在此一一詳述，可參考[3][6][7]中任一文獻(xiàn)）。圖6所示的17齒齒輪實(shí)體圖便是在如圖2所示的齒廓曲線基礎(chǔ)上，采用“Command (宏指令)”＋“GUI(屏幕菜單)”混合操作方式而生成的。在整個過程中的相關(guān)控制尺寸參數(shù)化驅(qū)動也可采用3.2所述的類似方式實(shí)現(xiàn)。 圖6 17齒齒輪實(shí)體圖 對于由ANSYS生成的具有如圖6所示形狀的齒輪實(shí)體模型，可以進(jìn)一步在ANSYS環(huán)境下完成有限元建模與分析，

15、也可以通過ANSYS軟件的圖形輸出接口導(dǎo)出其它的FEA軟件（如NASTRAN、MARC等）或是CAD軟件中完成其它功能操作。 4 齒輪的有限元建模與分析技術(shù) 限于篇幅，對于能從參考文獻(xiàn)中直接查閱的一些較為簡單的具體過程，就不在此一一例舉和解釋說明。在此僅針對工程實(shí)際中的齒輪接觸模擬分析中的一些要點(diǎn)特殊點(diǎn)簡要加以進(jìn)一步說明。 4.1 輪齒數(shù)量確定、輪轂簡化與網(wǎng)格模型的建立 從事過齒輪有限元實(shí)際工程分析的人都知道，具有如圖6所示完整齒數(shù)的齒輪模型并不利于后續(xù)的有限元網(wǎng)格劃分和精確計(jì)算（即使軟件允許無限節(jié)點(diǎn)計(jì)算，普通計(jì)算機(jī)硬件也難以完成所要求的計(jì)算量）。在此前公開報導(dǎo)的齒輪有限元分析研

16、究資料中提及的多是三齒齒輪模型（單齒模型主要出現(xiàn)在早期的齒輪有限元分析研究中）。其實(shí)，三齒齒輪受載模型與實(shí)際齒輪工作時承載響應(yīng)相差較遠(yuǎn)，而且整圓弧形輪轂在扇形截?cái)嗪喕蟮募s束承載與實(shí)際情況相差較大，導(dǎo)致分析結(jié)果難以被生產(chǎn)實(shí)際所接受，從而進(jìn)一步導(dǎo)致相關(guān)研究多集（停留）中于理論與學(xué)術(shù)研究層次上。 由此可見，在齒輪有限元分析中，輪齒數(shù)量的取舍和輪轂簡化都對FEA齒輪接觸模擬分析有著很重要的影響——它直接影響到了分析過程的可完成性和計(jì)算結(jié)果的工程可接受性。據(jù)此，筆者根據(jù)實(shí)際工程分析經(jīng)驗(yàn)提出以下確定方式： 4.1.1 輪齒數(shù)量 在單個齒輪上取留5～9個輪齒 4.1.2 輪轂厚度簡化 當(dāng)輪轂

17、壁厚尺寸小于3～4倍齒輪的模數(shù)時，取實(shí)際零件工作尺寸作為模形厚度控制尺寸；當(dāng)輪轂壁厚尺寸小于3～4倍齒輪的模數(shù)時，則可取3～4倍齒輪的模數(shù)作為模形的厚度控制尺寸。 4.1.3 輪轂扇形簡化 當(dāng)某個齒輪的齒數(shù)較少時，盡量取其完整的圓弧輪轂圈作為進(jìn)一步分析的模型；當(dāng)齒輪的齒數(shù)較多時，輪轂直徑相對于其它尺寸來說很大，此時可取10～14個輪齒所跨的扇形角度作為保留輪轂實(shí)體的扇形角度參數(shù)。 在通常情況下，由上述方式取定的齒輪模型一般能滿足在齒輪接觸中的一對輪齒從嚙入到嚙出的完整嚙合過程的模擬要求，同時保證由輪轂扇形簡化截?cái)嗝嫣幍募s束所引入的計(jì)算誤差可以完全忽略不計(jì)。 4.1.3 網(wǎng)格模型的建

18、立 在ANSYS中，六面體矩形單元的計(jì)算精確度通常比同單元長度的四面體三角形單元的計(jì)算精確度等級高1～2個數(shù)量級，故在對齒輪實(shí)體模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分時，推薦使用六面體矩形單元生成相應(yīng)的有限元對稱網(wǎng)格模型，以便保證只需較少計(jì)算節(jié)點(diǎn)、單元數(shù)量就可比較容易達(dá)到齒輪高精度的計(jì)算要求。 4.2 齒輪接觸、加載與計(jì)算分析 ANSYS6.0及其以前的各種版本雖然都提供了創(chuàng)建接觸對的“GUI”圖形屏幕菜單操作方式，但此方式難以完成齒輪齒廓曲面上的全部接觸對的定義。這就導(dǎo)致了“利用命令流操作”是創(chuàng)建齒輪接觸面的唯一方便可行的實(shí)現(xiàn)途徑了。 齒輪的邊界條件、約束、加載的定義以及求解計(jì)算與其它幾何實(shí)體模型的有限

19、元分析操作并無太大差別，同樣也可采用“Command (宏指令)”命令流或“GUI(屏幕菜單)”操作方式實(shí)現(xiàn)。 4.3 齒輪滾動模擬接觸分析技術(shù) 在當(dāng)前眾多的有FEA分析軟件中，只有MSC/Marc軟件實(shí)現(xiàn)了滾動接觸分析功能——它主要用于軸承滾動體在運(yùn)動條件下的受載接觸力學(xué)分析，其它的FEA軟件對此就無能為力了（ANSYS自然也不例外）。 其實(shí)，當(dāng)前實(shí)際工程所需的齒輪滾動接觸模擬分析與滾動接觸力學(xué)所定義的接觸模擬分析是有很大區(qū)別的。在大多數(shù)情況下，對于齒輪輪齒從嚙入到嚙出的完整過程模擬分析目的，是為了找出輪齒受載時的極限應(yīng)力及其響應(yīng)狀態(tài)情況來預(yù)測、指導(dǎo)改進(jìn)設(shè)計(jì)。當(dāng)前能用來與其模擬計(jì)算結(jié)

20、果進(jìn)行對比參考的數(shù)據(jù)，首先是來自于常規(guī)的齒輪強(qiáng)度計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果。而在確定這些常規(guī)計(jì)算方法時，傳統(tǒng)的分析方法并沒有考慮滾動摩阻效應(yīng)的影響。這樣一來，由建立在滾動接觸力學(xué)基礎(chǔ)上的MSC/Marc滾動接觸分析功能所得的計(jì)算結(jié)果，雖然能模擬輪齒的真實(shí)受載響應(yīng)情況，但因當(dāng)前尚缺對比判斷依據(jù)，而對實(shí)際工程中的齒輪設(shè)計(jì)和改進(jìn)并無多大幫助。由此可說，當(dāng)前沒有一家FEA軟件能直接實(shí)現(xiàn)工程愿接受的齒輪滾動接觸模擬計(jì)算功能。 ANSYS軟件公司為了演示其軟件的齒輪接觸分析功能，曾以大變形的方式來定義和處理齒輪滾動嚙合過程的模擬，其實(shí)這種處理方式是不正確的，因此最后也只獲得了演示效果——對于實(shí)際工程計(jì)算并無幫助

21、。 在ANSYS中，要獲得當(dāng)前實(shí)際工程生產(chǎn)中的齒輪滾動模擬分析并不難，其實(shí)并不難，只需利用ANSYS提供的“宏命令”操作功能，編制自動循環(huán)的幾何位置調(diào)整、網(wǎng)格劃分、接觸定義、約束加載及靜態(tài)接觸求解計(jì)算程序過程便可實(shí)現(xiàn)（對其結(jié)果的提取顯示也需通過相應(yīng)程序?qū)崿F(xiàn)）。由這種方式不僅可得到齒輪在滾動過程中不同接觸位置時的輪齒受載情況直觀顯示，同時也便于實(shí)現(xiàn)忽略滾動摩阻（工程可接受）時“真實(shí)的”應(yīng)力響應(yīng)模擬計(jì)算。 5 結(jié)束語 本文重點(diǎn)對齒輪漸開線及其過渡曲線在ANSYS環(huán)境下的生成作出了研究討論，給出了生成相應(yīng)曲線的基本公式。針對許多人關(guān)心的參數(shù)化修改及其驅(qū)動技術(shù)作了概要性的說明。 對于在

22、有了齒輪齒廓曲線基礎(chǔ)上的進(jìn)一步生成三維齒輪實(shí)體模型的具體操作過程，因已有大量資料可以借鑒參考，故略去。 對齒輪有限元建模與分析技術(shù)部分的說明。因?qū)崿F(xiàn)齒輪滾動接觸過程模擬所涉及的分析方法、數(shù)學(xué)原理及程序算法內(nèi)容比較多，限于篇幅和全文重點(diǎn)在于參數(shù)化的齒輪幾何造型部分，故對此部分僅做了概要的文字?jǐn)⑹稣f明（希望有所進(jìn)一步了解的讀者可直接與筆者聯(lián)系）。 補(bǔ)充說明：筆者曾經(jīng)利用上述原理方法，在ANSYS環(huán)境下建立了一套完整的圓柱齒輪實(shí)體生成及其有限元分析程序，并利用此程序完成了一些工程實(shí)際中的高精度齒輪造型及其承載模擬受力分析。 參考文獻(xiàn)： [1] 張立杰、潘存云、曹永晟，基于I－DEAS

23、 的漸開線直齒圓柱齒輪造型技術(shù)研究，機(jī)電工程，2003，3 (1) [2] 蘇聯(lián)Φ.Π.李特文，齒輪嚙合原理，上?？萍汲霭嫔纾?984 [3] ANSYS軟件 入門手冊[上、下]，ANSYS軟件內(nèi)部資料，2000 [4] ANSYS軟件 建?；具^程，ANSYS軟件內(nèi)部資料，2000 [5] ANSYS軟件 結(jié)構(gòu)分析指南，ANSYS軟件內(nèi)部資料，2000 [6] ANSYS軟件 非線性分析指南，ANSYS軟件內(nèi)部資料，2000 [7] APDL參數(shù)化程序設(shè)計(jì)語言，ANSYS軟件內(nèi)部資料，2000 [8] 陳精一、蔡國忠，ANSYS軟件工程分析使用指南，

24、鐵道出版社，2001 [9] 夸克工作室, 有限元分析基礎(chǔ)篇ANSYS與Matlab，清華大學(xué)出版社，2002 [10] 劉 更、黃鎮(zhèn)東、何大維，斜齒圓柱齒輪的三維有限元振動分析，西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，1989，Vol.7 No.1 [11] 劉 更、沈允文，內(nèi)、外嚙合斜齒輪的三維有限元網(wǎng)格自動生成原理及其程序?qū)崿F(xiàn)，機(jī)械工程學(xué)報，1992，Vol.28 No.5 [12] Shotter B A，A New Approach to Gear Tooth Root Stresses，ASME Journal of Engineer for Industry，1974，96(1)：1

25、2～18 [13] 張 力等， 不同齒根過渡曲線的齒輪彎曲強(qiáng)度的有限元分析，礦山機(jī)械，1997(6) [14] 佟維、吳昌華，SS_7型電力機(jī)車牽引齒輪系統(tǒng)的有限元三維接觸分析，機(jī)車電傳動，1999(6) [15] 王建明等， 內(nèi)、外嚙合斜齒輪三維接觸應(yīng)力有限元分析，機(jī)械傳動，1998(3) [16] 董玉平等， 航空圓柱齒輪三維接觸應(yīng)力有限元計(jì)算分析， 兵工學(xué)報，1999(2) [17] 朱堅(jiān)民等， 漸開線斜齒圓柱齒輪彈性變形的三維有限元分析，農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報，1998第29卷第4期 [18] 張臥波，有限元法計(jì)算齒輪接觸強(qiáng)度的理論研究，農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報，1999(3)

26、[19] 陳　玲等， “鐵牛 6 0”半軸齒輪應(yīng)力與變形的有限元分析，機(jī)械設(shè)計(jì)，2000.№.4 [20] 王玉新等， 漸開線直齒圓柱齒輪齒根應(yīng)力的有限元分析，機(jī)械設(shè)計(jì)，2001(8) 6 編輯部同志： 你們好！ 謝謝你們對（2004－733號）文“直接基于ANSYS 的漸開線圓柱齒輪參數(shù)化幾何造型技術(shù)研究”的審測和提出的修改建議。本人在改稿中（對比原文）具體作出了如下修改： 1 將標(biāo)題改為

27、了：“基于ANSYS 的漸開線圓柱齒輪參數(shù)化造型與有限元建模及分析技術(shù)”，此改動主要是為了增加有限元部分（4）的內(nèi)容； 2 為了保證篇幅的長度，考慮到一般實(shí)體建模具體操作過程可從相關(guān)書籍中直接查閱得，故取消了原文3.2中的具體操作過程“1～6”文字及相關(guān)圖形，原文序號3.2改為了3.3； 3 針對當(dāng)前人們對參數(shù)化幾何建模的觀點(diǎn)和看法，在文中增加了3.2 齒廓曲線參數(shù)修改及其驅(qū)動技術(shù) 4 摘要、關(guān)鍵詞、結(jié)束語部分隨全文整體作出了適當(dāng)修改； 5 第二、三作者人員更改； 6 至于原文幾何建模部分的參數(shù)“N200”是考慮多方面因素后給出的，它與齒輪各段彎曲形狀有關(guān)，與模數(shù)無直接關(guān)

28、系，與后續(xù)有限元模型節(jié)點(diǎn)數(shù)量也無直接關(guān)系（但大體保證比同曲線段上節(jié)點(diǎn)數(shù)量大1個數(shù)量級），故未作修改以供設(shè)計(jì)分析建模參考。 7 審高費(fèi)和版面費(fèi)請按第二作者的姓名和單位開具：盧耀輝 ，國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院 。以正式版面費(fèi)寄款通知（含審高費(fèi)單據(jù)）收到即寄出全部費(fèi)用。 此致 敬禮 李常義 2004/04/12 Email:lichangyi507@ 作者簡介 李常義（1970－），男，湖南漢壽人，工程師，在讀碩士研究研究生，研究方向：機(jī)械設(shè)計(jì)及理論 盧耀輝 (1975—)，女，湖南株州人，助教，在讀碩士研究研究生，研究方向：機(jī)械設(shè)計(jì)及工藝