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1、4.4 萬有引力與天體運動 一、考點聚焦 12．萬有引力定律 Ⅱ 21．萬有引力定律的應(yīng)用．人造地球衛(wèi)星的運動（限于圓軌道） Ⅱ 22．宇宙速度 Ⅰ 二、知識掃描 1．萬有引力定律： （1）內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小跟這兩個物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比． （2）表達式： r為兩質(zhì)點或球心間的距離；G為萬有引力恒量（1798年由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測出） （3）適用條件：適用于兩個質(zhì)點或均勻球體 2．萬有引力定律的應(yīng)用 （1）行星表面物體的重力：重力近似等于萬有引力 （2）重力加速度： 表面重力

2、加速度： 軌道上的重力加速度： 3．天體的運動 （1）運動模型：天體運動可看成是勻速圓周運動——其引力全部提供向心力 （2）人造地球衛(wèi)星： ①由可得： r越大，v越?。? ②由可得： r越大，ω越?。? ③由可得： r越大，T越大． ④由可得： r越大，a向越?。? 4．宇宙速度 （1）第一宇宙速度：v=7.9km/s 可理解成：是發(fā)射衛(wèi)星進入最低軌道所必須具有的最小速度．是衛(wèi)星進入軌道正常運轉(zhuǎn)的最大環(huán)繞速度，即所有衛(wèi)星的環(huán)繞速度均小于7.9km/s． （2）第二宇宙速度：v=11.2km/s （3）第三宇宙速度：v=16.7km/s 三、好題精析 例1．從地

3、球上發(fā)射的兩顆人造地球衛(wèi)星A和B，繞地球做勻速圓周運動的半徑之比為RA∶RB=4∶1，求它們的線速度大小之比． 下面是某同學(xué)的一種解法，請判斷其解法是否正確．若是正確的，請你作出評價；若是錯誤的，請分析其出錯的原因并給出正確的解答． 解：衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運動所需的向心力F向=mg=m 設(shè)A，B兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為mA、mB，則 mAg=mA ⑴ mBg=mB ⑵ 由⑴、⑵得= ∴ [解析]這種解法不對． 錯在沒有考慮重力加速度與高度有關(guān)．根據(jù)萬有引力定律知道： mAgA=G (1) mBgB=G ⑵ 由(1)/⑵得，

4、 ∴ gA=gB 可見，該同學(xué)把A、B兩衛(wèi)星的重力加速度gA，gB當作相同的g來處理是不對的． 正確解答：衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有 G=mA ⑶ G=mB ⑷ 由⑶/⑷，得 = ∴ [點評]物體的重力和地球?qū)υ撐矬w的萬有引力可認為相等，由此可計算出重力加速度的值，由結(jié)果可知，隨著物體位置的提高，重力加速度隨之減小，物體置于高度不同的位置，它的重力要發(fā)生變化． 例2．在天體運動中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星．它們圍繞兩球連線上的某一點作圓周運動．由于兩星間的引力而使它們在運動中距離保持不變．已知兩星質(zhì)量分

5、別為M1和M2，相距L，求它們的角速度． M1 M2 O 圖4-4-1 解：如圖4-4-1所示，設(shè)M1的軌道半徑為r1，M2的軌道半徑為r2， 由于兩星繞O點做勻速圓周運動的角速度相同，都設(shè)為， 根據(jù)牛頓第二定律有： 而 以上三式聯(lián)立解得： 點評：雙星之間的萬有引力是一對相互作用力，分別提供各自做勻速圓周運動的向心力，所以它們能在引力作用下不相互靠近而保持距離不變，且角速度相同；這類雙星模型在列方程時要注意：用萬有引力定律時兩顆星之間的距離與向心加速度中星球作勻速圓周運動的軌道半徑不等． 例3．某星球自轉(zhuǎn)的周期為T，在它的兩極處用彈簧秤稱得某物重為

6、W，在赤道上稱得該物重為W′，求該星球的平均密度r． [解析]在星球的兩極物體受星球的引力與彈簧的彈力作用，因該處的物體無圓運動，處于靜止狀態(tài)，有 ① 又，代入?式后整理得 ② 在星球赤道處，物體受星球的引力與彈簧的彈力作用，物體隨星球自轉(zhuǎn)做圓運動，所以 ③ 整理后得： [點評]題目中彈簧秤稱得物重W與W￠，實質(zhì)上是彈簧秤的讀數(shù)，即彈簧的彈力，它不一定等于萬有引力，另外還要判斷出物體在兩極和赤道處的意義，才能想到用牛頓第二定律列方程，因此做題時正確地閱讀題目弄清它的物理含義對解題十分重要．

7、 例4．如圖4-4-2所示為宇宙中有一個恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O運行軌道近似為圓，天文學(xué)家觀測得到A行星運動的軌道半徑為R0，周期為T0． （1）中央恒星O的質(zhì)量是多大？ 圖4-4-2 A O （2）長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實際運動的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t0時間發(fā)生一次最大的偏離，天文學(xué)家認為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B（假設(shè)其運行軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同），它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離．根據(jù)上述現(xiàn)象及假設(shè)，你能對未知行星B的運動得到哪些定量的預(yù)測． [解析]（1）設(shè)中央恒星質(zhì)量為

8、M，A行星質(zhì)量為m，則有 ① 解得： ② 圖4-4-3 A O （2）如圖4-4-3所示，由題意可知：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔t0時間相距最近．設(shè)B行星周期為TB，則有： ③ 解得： ④ 該B行星的質(zhì)量為m′，運動的軌道半徑為RB，則有 ⑤ 由①、④、⑤可得： ⑥ [點評]本題的難點是運動模型的建立，A、B相距最近時，B對A的影響最大是一個重要的隱含條件，在時間t0內(nèi)A、B運動的物理量間的關(guān)系是列方程的一個重要依據(jù)，做這種題型時要注意認真讀題，

9、挖掘出這些條件．本題中根據(jù)周期可求出角速度；根據(jù)B行星運動的半徑可求出B行星的線速度和向心加速度． 例5．某網(wǎng)站報道：最近南亞某國發(fā)射了一顆人造環(huán)月衛(wèi)星，衛(wèi)星的質(zhì)量為1000kg，環(huán)繞周期為1h…… 　　一位同學(xué)對新聞的真實性感到懷疑，他認為，一是該國的航天技術(shù)與先進國家相比還有差距，近期不可能發(fā)射出環(huán)月衛(wèi)星；再是該網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)似乎也有問題，他準備用所學(xué)知識對該數(shù)據(jù)進行驗證． 　　他記不清引力恒量的數(shù)值且手邊沒有可查找的資料，但他記得月球半徑約為地球半徑的，地球半徑為6400km，月球表面重力加速度約為地球表面的，地球表面的重力加速度可取，他由上述這些數(shù)據(jù)經(jīng)過推導(dǎo)分析，進一步認定該

10、新聞不真實． 請你也根據(jù)上述數(shù)據(jù)，運用物理學(xué)的知識，寫出推導(dǎo)判斷過程． [解析]設(shè)月球的質(zhì)量為M，半徑為r0，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，環(huán)繞周期為T，半徑為r，有 =m2r　　　得　T=2π （1） 　　在月球表面，有G=m′g月　　得GM=g月r 　　代入（1）式，得T=2π?。?） 　　由（2）可知，衛(wèi)星軌道半徑r越小，周期T則越短，取r=r0，周期有最小值Tmin 　　 Tmin=2π　?。?） 　　據(jù)題意，r地=4r0，g地=6g月　　代入（3）式，得 　　Tmin=2π=2π　 ∴Tmin=2π=2×3.14×S=6000s=1.7h 由于環(huán)月衛(wèi)

11、星的周期至少要1.7h，遠大于新聞中環(huán)月衛(wèi)星周期1h，所以新聞報道中數(shù)據(jù)有誤． [點評]本題牽涉到兩顆星球的兩顆衛(wèi)星，由題意，應(yīng)根據(jù)人造環(huán)月衛(wèi)星的周期判斷新聞是否真實．由于它們的運動模型相同，因而只要研究其中的一個列方程求出通式，再用比值法就很容易地求出人造環(huán)月衛(wèi)星的周期的特點，為判斷提供證據(jù)． 四、變式遷移 1．人造地球衛(wèi)星的軌道可以是這樣的（ ） A．與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面同心圓 B．與地球表面上某一經(jīng)度線所決定的圓是共面同心圓 C．與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對地球表面是靜止的 D．與地球表面上的赤道線是共面同心圓，但衛(wèi)星相對地球表面

12、是運動的 m R M 圖4-4-4 2．如圖4-4-4所示，離質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體表面R遠處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，此時M對m的萬有引力大小為F1，當從M中挖去一半徑為r=R/2的球體時，剩下部分對m的萬有引力為F2，求F1與F2的比值．設(shè)想把物體放到地球的中心，則此物體此時與地球間的萬有引力是多少？ 五、能力突破 1．卡文迪許巧妙地利用扭秤裝置，第一次在實驗室里測出了萬有引力恒量的數(shù)值，在他的實驗裝置中，下列哪些措施是為了測量極小的引力而采取的？（ ） A．將測量力變?yōu)闇y量力矩 B．使固定小球的質(zhì)量盡可能大些 C．用鏡尺法顯示扭秤的偏

13、轉(zhuǎn)情況 D．把實驗裝置放在恒溫箱內(nèi) 2．下列說法中正確的是（ ） A．因F=mω2r，所以人造地球衛(wèi)星軌道半徑增大到2倍時，向心力將增大到2倍 B．因F=mv2/r，所以人造地球衛(wèi)星軌道半徑增大到2倍時，向心力將減小到原來的1/2 C．因F=GMm/r2，所以人造地球衛(wèi)星軌道半徑增大到2倍時，向心力減小為原來的1/4 D．僅知道衛(wèi)星軌道半徑變化，無法確定向心力的變化 3．在研究宇宙發(fā)展演變的理論中，有一種學(xué)說叫做“宇宙膨脹說”，這種學(xué)說認為萬有引力常量G在緩慢減?。鶕?jù)這一理論，在很久很久以前，太陽系中地球的公轉(zhuǎn)情況與現(xiàn)在相比（ ） A．公轉(zhuǎn)半徑R較大

14、B．公轉(zhuǎn)周期T較小 C．公轉(zhuǎn)速率v較大 D．公轉(zhuǎn)角速度ω較小 4．已知第一宇宙速度為7.90千米/秒，如果一顆人造衛(wèi)星距地面的高度為3倍的地球半徑，它的環(huán)繞速度是（ ） A．7.90km/s B．3.95 km/s C．1.98km/s D．由于衛(wèi)星質(zhì)量不知，所以不能確定 5．如果有一星球的密度跟地球的密度相同，又已知它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，則該星球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比是（ ） A． B．2 C．8 D． 6．利用下列哪組數(shù)據(jù)，可以計算出地球質(zhì)量（ ） A

15、．已知地球半徑和地面重力加速度 B．已知衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運動的軌道半徑和周期 C．已知月球繞地球作勻速圓周運動的周期和月球質(zhì)量 D．已知同步衛(wèi)星離地面高度和地球自轉(zhuǎn)周期 7．地球的公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R；月球的公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為t和r，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為（ ） A． B． C． D． 8．地球半徑R=6400km，地面上的重力加速度g=9.8m/s2，地核的體積約為整個地球體積的16%，地核的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的34%．試估算地核的平均密度．(結(jié)果取兩位有效數(shù)字)． 9．兩顆衛(wèi)星在同一軌道平

16、面繞地球做勻速圓周運動．地球半徑為R，a衛(wèi)星離地面的高度等于R，b衛(wèi)星離地面高度為3R．則 （1）a、b兩衛(wèi)星周期之比為Ta∶Tb是多少？ （2）若某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面同一點的正上方，則a至少經(jīng)過多少個周期兩衛(wèi)星相距最遠？ 10．2003年10月15日，我國成功發(fā)射了“神舟”五號載人宇宙飛船．火箭全長58．3m，起飛質(zhì)量為479.8t，剛起飛時，火箭豎直升空，航天員楊利偉有較強的超重感，儀器顯示他對座艙的最大壓力達到他體重的5倍．飛船進入軌道后，21h內(nèi)環(huán)繞地球飛行了14圈，將飛船運行的軌道簡化為圓形．求 ⑴點火發(fā)射時，火箭的最大推力．（g取10m/s2） ⑵飛船運行軌道與同步衛(wèi)星的軌道半徑之比． 7