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第三章　概　率(A) (時間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．下列事件中不是隨機(jī)事件的是(　　) A．某人購買福利彩票中獎 B．從10個杯子(8個正品，2個次品)中任取2個，2個均為次品 C．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃沸騰 D．某人投籃10次，投中8次 2．某班有男生25人，其中1人為班長，女生15人，現(xiàn)從該班選出1人，作為該班的代表參加座談會，下列說法中正確的是(　　) ①選出1人是班長的概率為； ②選出1人是男生的概率是； ③選出1人是女生的概率是； ④在女生中選出1人是班長的概率是0. A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 3．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩個正面朝上的概率是(　　) A. B. C. D. 4．把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(　　) A．對立事件 B．不可能事件 C．互斥但不是對立事件 D．以上答案都不對 5．在2010年廣州亞運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f活動中，在編號為1,2,3,4,5的5名火炬手．若從中任選3人，則選出的火炬手的編號相連的概率為(　　) A. B. C. D. 6．從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，則與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是以下事件“①兩球都不是白球；②兩球恰有一白球；③兩球至少有一個白球”中的哪幾個？(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分內(nèi)的黃豆數(shù)為204顆，以此實驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計出陰影部分的面積約為(　　) A．16 B．16.32 C．16.34 D．15.96 8．在區(qū)間(15,25]內(nèi)的所有實數(shù)中隨機(jī)取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)滿足17n的概率為(　　) A. B. C. D. 12．如圖，在一個棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的上底圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是(　　) A. B. C．1－ D．1－ 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．從一箱蘋果中任取一個，如果其重量小于200克的概率為0.2，重量在[200,300]內(nèi)的概率為0.5，那么重量超過300克的概率為________． 14．在拋擲一顆骰子的試驗中，事件A表示“不大于4的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則事件A＋發(fā)生的概率為________．(表示B的對立事件) 15．先后兩次拋擲同一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為a，b.將a，b,5分別作為三條線段的長，則這三條線段能構(gòu)成等腰三角形的概率是________． 16．設(shè)b和c分別是先后拋擲一顆骰子得到的點數(shù)，則方程x2－bx＋c＝0有實根的概率為________． 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多2人排隊等候的概率是多少？ (2)至少3人排隊等候的概率是多少？ 18．(12分)為了了解某市工廠開展群眾體育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從A，B，C三個區(qū)中抽取7個工廠進(jìn)行調(diào)查，已知A，B，C區(qū)中分別有18,27,18個工廠． (1)求從A，B，C區(qū)中分別抽取的工廠個數(shù)； (2)若從抽得的7個工廠中隨機(jī)地抽取2個進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對比，用列舉法計算這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率． 19．(12分)在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)取兩個數(shù)m，n，求關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有實根的概率． 20．(12分)某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩人同時在地鐵第一號車站(首發(fā)站)乘車．假設(shè)每人自第2號車站開始，在每個車站下車是等可能的．約定用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示“甲在x號車站下車，乙在y號車站下車”． (1)用有序?qū)崝?shù)對把甲、乙兩人下車的所有可能的結(jié)果列舉出來； (2)求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率； (3)求甲、乙兩人在不同的車站下車的概率． 21．(12分)在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球(其體積、質(zhì)地完全相同)，旁邊立著一塊小黑板寫道： 摸球方法：從袋中隨機(jī)摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢． (1)摸出的3個球為白球的概率是多少？ (2)假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一天能賺多少錢？ 22．(12分)汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)： 轎車A 轎車B 轎車C 舒適型 100 150 z 標(biāo)準(zhǔn)型 300 450 600 按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛． (1)求z的值； (2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率； (3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6，8.7，9.3,9.0，8.2.把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率． 第三章　概　率(A) 1．C 2．D　[本班共有40人，1人為班長，故①對；而“選出1人是男生”的概率為＝；“選出1人為女生”的概率為＝，因班長是男生，∴“在女生中選班長”為不可能事件，概率為0.] 3．C　[拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、正”，因此兩個正面朝上的概率P＝.] 4．C　[由互斥事件的定義可知：甲、乙不能同時得到紅牌，由對立事件的定義可知：甲、乙可能都得不到紅牌，即“甲、乙分得紅牌”的事件可能不發(fā)生．] 5．B　[從1,2,3,4,5中任取三個數(shù)的結(jié)果有10種，其中選出的火炬手的編號相連的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴選出的火炬手的編號相連的概率為P＝.] 6．A　[從口袋內(nèi)一次取出2個球，這個試驗的基本事件空間Ω＝{(白，白)，(紅，紅)，(黑，黑)，(紅，白)，(紅，黑)，(黑，白)}，包含6個基本事件，當(dāng)事件A“兩球都為白球”發(fā)生時，①②不可能發(fā)生，且A不發(fā)生時，①不一定發(fā)生，②不一定發(fā)生，故非對立事件，而A發(fā)生時，③可以發(fā)生，故不是互斥事件．] 7．B　[由題意＝，∴S陰＝×24＝16.32.] 8．C　[∵a∈(15,25]，∴P(17n的點應(yīng)在梯形OABD內(nèi)，所以所求事件的概率為P＝＝.] 12．C　[P＝＝＝1－.] 13．0.3 解析　所求的概率P＝1－0.2－0.5＝0.3. 14. 解析　事件A包含的基本事件為“出現(xiàn)2點”或“出現(xiàn)4點”；表示“大于等于5的點數(shù)出現(xiàn)”，包含的基本事件為“出現(xiàn)5點”或“出現(xiàn)6點”．顯然A與是互斥的，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝. 15. 解析　基本事件的總數(shù)為6×6＝36. ∵三角形的一邊長為5， ∴當(dāng)a＝1時，b＝5符合題意，有1種情況； 當(dāng)a＝2時，b＝5符合題意，有1種情況； 當(dāng)a＝3時，b＝3或5符合題意，即有2種情況； 當(dāng)a＝4時，b＝4或5符合題意，有2種情況； 當(dāng)a＝5時，b∈{1,2,3,4,5,6}符合題意， 即有6種情況； 當(dāng)a＝6時，b＝5或6符合題意，即有2種情況． 故滿足條件的不同情況共有14種， 所求概率為＝. 16. 解析　基本事件總數(shù)為36個， 若使方程有實根，則Δ＝b2－4c≥0，即b2≥4c. 當(dāng)c＝1時，b＝2,3,4,5,6； 當(dāng)c＝2時，b＝3,4,5,6； 當(dāng)c＝3時，b＝4,5,6； 當(dāng)c＝4時，b＝4,5,6； 當(dāng)c＝5時，b＝5,6； 當(dāng)c＝6時，b＝5,6. 符合條件的事件個數(shù)為5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x2－bx＋c＝0有實根的概率為. 17．解　記“有0人等候”為事件A，“有1人等候”為事件B，“有2人等候”為事件C，“有3人等候”為事件D，“有4人等候”為事件E，“有5人及5人以上等候”為事件F，則易知A、B、C、D、E、F互斥． (1)記“至多2人排隊等候”為事件G， 則G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)記“至少3人排隊等候”為事件H， 則H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 也可以這樣解，G與H互為對立事件， 所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44. 18．解　(1)工廠總數(shù)為18＋27＋18＝63，樣本容量與總體中的個體數(shù)比為＝，所以從A，B，C三個區(qū)中應(yīng)分別抽取的工廠個數(shù)為2,3,2. (2)設(shè)A1，A2為在A區(qū)中抽得的2個工廠，B1，B2，B3為在B區(qū)中抽得的3個工廠，C1，C2為在C區(qū)中抽得的2個工廠，在這7個工廠中隨機(jī)抽取2個，全部可能的結(jié)果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21種． 隨機(jī)地抽取的2個工廠至少有1個來自A區(qū)的結(jié)果(記為事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有11種，所以這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率為P(X)＝. 19.解　在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸和y軸分別表示m，n的值，因為m，n在(0,1)內(nèi)與圖中正方形內(nèi)的點一一對應(yīng)，即正方形內(nèi)的所有點構(gòu)成全部試驗結(jié)果的區(qū)域． 設(shè)事件A表示方程x2－x＋m＝0有實根，則事件A＝{(m，n)|}，所對應(yīng)的區(qū)域為圖中的陰影部分，且陰影部分的面積為，故P(A)＝＝，即關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有實根的概率為. 20．解　(1)甲、乙兩人下車的所有可能的結(jié)果為： (2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． (2)設(shè)甲、乙兩人同在第3號車站下車的事件為A，則P(A)＝. (3)設(shè)甲、乙兩人在不同的車站下車的事件為B，則P(B)＝1－3×＝. 21．解　把3只黃色乒乓球標(biāo)記為A、B、C,3只白色的乒乓球標(biāo)記為1、2、3.從6個球中隨機(jī)摸出3個的基本事件為：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20個． (1)事件E＝{摸出的3個球為白球}，事件E包含的基本事件有1個，即摸出123， P(E)＝1/20＝0.05. (2)事件F＝{摸出的3個球為同一顏色}＝{摸出的3個球為白球或摸出的3個球為黃球}，P(F)＝2/20＝0.1， 假定一天中有100人次摸獎，由摸出的3個球為同一顏色的概率可估計事件F發(fā)生有10次，不發(fā)生90次． 則一天可賺90×1－10×5＝40，每天可賺40元． 22．解　(1)設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛， 由題意得＝，所以n＝2 000. 則z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400. (2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車， 由題意得＝，即a＝2. 因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車． 用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”， 則基本事件空間包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10個．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7個．故P(E)＝，即所求概率為. (3)樣本平均數(shù)＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 設(shè)D表示事件“從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包括的基本事件有： 9．4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6個，所以P(D)＝＝，即所求概率為.