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1、第五章《基本圖形》（一）自我測(cè)試 ［時(shí)間:9０分鐘　分值:1０0分] 一、選擇題(每小題3分，共３０分） 1．（2010·郴州）如圖,直線ｌ1與l２相交于點(diǎn)O，OM⊥ｌ１，若∠α＝44°,則∠β等于（ ) A。 56° 　　　　 Ｂ. ４6° Ｃ. 45°　　 　 　 　　 D. 4４° 答案與解析：　B。 ∵ＯM⊥l１，∴∠α＋∠β=9０°，∠β=9０°-∠α=4６°。 ２.(2010·義烏）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（ 　) A。 １、2、3.５ 　　 　?。?。 4、5、9 Ｃ?！?0、１5、8 　 　　D。 5、１5、8 答

2、案與解析： C. 能組成三角形的三條線段長(zhǎng)要求較小的兩條線段的和大于最長(zhǎng)的一條． 3．（2010·通化)用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°"時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中(　 ） A。 有一個(gè)內(nèi)角大于６0° B. 有一個(gè)內(nèi)角小于60° C. 每一個(gè)內(nèi)角都大于60° D。 每一個(gè)內(nèi)角都小于6０° 答案與解析： C．“有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°‘的反面是’每一個(gè)內(nèi)角都大于60°". 4。（２0１０·常德）四邊形的內(nèi)角和為( ） Ａ。 ９0°　 　 　 　 　　 B. 180° Ｃ. ３６0° 　　　 　 D． 7２0° 答案與解析：　C．

3、四邊形的內(nèi)角和等于360°。 5．（2０10·蘇州)如圖，在△ABC中，Ｄ、E兩點(diǎn)分別在ＢC、AC邊上。若ＢD=ＣD，∠B＝∠ＣDＥ，DE＝２,則ＡB的長(zhǎng)度是（　 ) Ａ?！。? 　　 　　B． 5 C． 6　 　　 　 　　 Ｄ. 7 答案與解析: Ａ。 ∵∠Ｂ=∠ＣDE，∴DＥ∥AB．∵BD=ＣD，∴AＥ＝CE，∴DE是△ABＣ的中位線,DE＝AＢ,故ＡＢ=2ＤE=4。 6。（201０·銅仁）如圖,△ABC≌△DＥF,BE=4，AE＝1，則ＤE的長(zhǎng)是（　 ) Ａ。 ５ 　 　 　 B．　4 C.　3　　 　 　 D.

4、2 答案與解析： A.　 ∵△ABC≌△DEF?！郃B=DE，又ＡB＝BE＋ＡE＝5，∴DE＝5． 7.（２010·黃石)如圖,直角梯形ABCD中,ＡD∥BＣ，∠ADC=∠BAC=９0°,AB=2，ＣＤ=，則AD的長(zhǎng)為（ ?。? Ａ. B。 2 C.　3 Ｄ． 2 答案與解析： C． 過A作ＡE⊥BC于E，則ＡDCＥ為矩形,可得AE＝ＣＤ=,在Rt△ABE中，cos∠BAE=＝，∴∠ＢAE＝30°，∴∠ＣＡE＝60°,∠CAD＝30°，又tan∠CAＤ=,∴AD＝＝=3． 8.（2０10·濰坊）如圖,已知矩形ＡBＣD，一條直線將該矩形

5、分割成兩個(gè)多邊形（含三角形），若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為M和Ｎ,則M＋N不可能是（　　) A. ３60°　 　 Ｂ。 540° C.?。?0° 　 　 　D. 630° 答案與解析： D。 直線可以將矩形ABCD分成兩個(gè)三角形，或一個(gè)三角形、一個(gè)四邊形，或一個(gè)三角形、一個(gè)五邊形,因此M＋N可能是３６0°，或５40°，或7２0°。 9.(2010·銅仁)如圖，順次連結(jié)四邊形ABＣＤ各中點(diǎn)得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（　 ) A。 AB∥ＤC 　　　B?！B=DC C. AC⊥BＤ　　　　?。?　AC=ＢD 答案與解

6、析: C. 連結(jié)AC、BＤ可得中點(diǎn)四邊形首先是平行四邊形．∵EＦ∥AC，EＨ∥BD，∴當(dāng)ＡC⊥BD時(shí)，∴ＥF⊥EH，∴平行四邊形ＥFＧH是矩形. １0．(2010·嘉興)如圖，已知C是線段AＢ上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）,分別以AC、ＢC為斜邊并且在ＡB的同一側(cè)作等腰直角△ACD和△ＢCＥ，連結(jié)AE交CＤ于點(diǎn)M,連結(jié)BD交ＣE于點(diǎn)N，連結(jié)MN，給出以下三個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N∥AＢ;②＝+;③MN≤AＢ,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ) A. 0　　 ?。??！。? 　　C。 2 　　 Ｄ。 ３ 答案與解析: Ｄ． 由Rｔ△AＤＣ與Rｔ△CＢＥ為等腰直角三角形，設(shè)BE＝ＣE＝a，則BＣ=a，設(shè)AD

7、＝ＣD＝b，則ＡＣ＝b，由△CＢＮ∽△ＡＢD，可得=，即=，∴CN=．同理,可得CM＝，∴CＭ=CＮ?！唷鰿MN為等腰直角三角形?！唷螩MＮ＝∠ＡCD=45°，∴MN∥AB,①成立；由MＮ=,==+＝+，∴②成立；MN＝，AB＝(a+ｂ)，由(a＋b)２≥4ab>０，可知③成立。 二、填空題（每小題3分,共３0分） １１.（２０10·常德)如圖,已知直線AB∥CD，直線EF與直線ＡB、CＤ分別交于點(diǎn)E、F，且有∠１=７0°，則∠2=________。 （第１1題） 答案與解析： 11０°. ∵AB∥ＣD，∴∠CFＥ=∠1＝70°，則∠2＝1８0°—∠ＣFE=110°。 １2。

8、（201０·銅仁)一副三角板，如圖疊放在一起，∠１的度數(shù)是__＿＿_(dá)___。 (第1２題） 答案與解析： 75°。 ∠1所在三角形的另外兩個(gè)角分別是６０°,4５°,∴∠1=75°。 13．(201０·郴州）如圖，一個(gè)直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個(gè)四邊形，則∠１＋∠2＝_＿_(dá)_＿_(dá)__度． (第13題) 答案與解析: ２７0°. 　∠1、∠2的兩個(gè)補(bǔ)角之和為90°,故∠1＋∠2＝１80°+1８0°-90°=27０°. １4。（2010·海南)如圖，在?ABCD中，ＡB=6cm，∠BCD的平分線交ＡD于點(diǎn)E,則DE=________cm. （第１4題) 答案與

9、解析： 6. 在?ＡBCD中，AD∥BC.∴∠DEC=∠ECB，又CE平分∠BCD，∠ECD=∠ECB,∴∠ＤEＣ＝∠ECＤ，DE＝CＤ=AB=6ｃｍ。 １5．(2０1０·濰坊)如圖,在△ＡBＣ中，AB＝BＣ，AB＝１2cｍ，Ｆ是AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作ＦE∥ＢC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作ED∥AB交BC于點(diǎn)D.則四邊形BＤＥF的周長(zhǎng)是________cｍ. 答案與解析：　24． 　 由已知易證△AＦE與△ＥＤC也是等腰三角形，∴平行四邊形ＢDEＦ的周長(zhǎng)＝2（BD＋DE）＝２BC=2×12=２４. 16.（２010·淮安)已知周長(zhǎng)為8的等腰三角形，有一個(gè)腰長(zhǎng)為３,則最短的一條中位線長(zhǎng)為

10、＿＿＿_(dá)____。 答案與解析： 1。 　三角形三邊長(zhǎng)為3，3，2,則最短的一條中位線長(zhǎng)＝=１。 1７。(2０10·嘉興)如圖,已知菱形ABCＤ的一個(gè)內(nèi)角∠BＡD=８0°，對(duì)角線AＣ、ＢＤ相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AB上且BE=BO，則∠AＯＥ＝__＿_(dá)___＿。 答案與解析： ２5°. 　　 本題考查菱形的性質(zhì),由題意，可知∠ＢAO＝40°，∠ＡOB=９0°，再由直角三角形的銳角互余，可知∠ＡBO=50°，再由等腰三角形性質(zhì)可知∠BOＥ＝65°，∴∠AOＥ=9０°－６5°=25°。 18．(２010·溫州）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣。19５5年希臘發(fā)行了一枚以勾股圖為

11、背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成,它可以驗(yàn)證勾股定理．在下圖的勾股圖中,已知∠AＣB＝90°，∠ＢAC＝30°，AB=4．作△PQＲ使得∠R＝90°,點(diǎn)Ｈ在邊QR上，點(diǎn)D、E在邊PR上,點(diǎn)Ｇ、F在邊PQ上，那么△PQR的周長(zhǎng)等于______＿＿。 　 答案與解析： 27＋１3　?！? 本題考查勾股定理，解直角三角形和正方形的性質(zhì),如圖，延長(zhǎng)BA交QR于點(diǎn)M,根據(jù)題意，可得AM⊥QR，四邊形ADRM是矩形，△QＧH是等邊三角形，∴QH＝HG=AＨ=AＣ=2 ，HM＝siｎ∠HAM·ＨＡ＝×2 ＝3，MＲ＝ＡＤ=AB＝4，∴QＲ=7＋2 ，PＱ=2（7+2　）＝

12、１４+4 ，ＰR＝（７+2 ）＝6＋7 ，因此，△ＰQR的周長(zhǎng)等于QＲ+PQ+PＲ=27＋13　。 1９.（２010·青島）一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊,使頂點(diǎn)B和Ｄ重合，折痕為EＦ,若AB=3cm,BC＝5cm，則重疊部分△ＤＥＦ的面積是_____＿＿＿cm2． 答案與解析: 5．１． 　本題考查矩形的性質(zhì)及圖形的變換，設(shè)BＦ=DF＝x，則FC＝5－x，在Rt△ＤCＦ中，有DF2＝CＤ2+CF2,即x2＝(5－ｘ）2＋32，解得x＝３.4。∵∠A′ＤE＋∠EDF=90°,∠CDF＋∠EDＦ=90°,∴∠A′DE＝∠ＣＤＦ,∵Ａ′Ｄ=CD，∴∠A′=∠C，∴△A′D

13、E≌△CDF，∴DE=DF?！啵印鱀EF＝DＥ·AB=×3.４×3＝５．1。 20．(2010·沈陽)若等腰梯形ABCＤ的上、下底之和為2，并且兩條對(duì)角線所成的銳角為６０°，則等腰梯形ABCD的面積為____＿＿_(dá)_． 答案與解析： 或. 　 本題考查等腰梯形的相關(guān)性質(zhì)及計(jì)算,可平移其中一條對(duì)角線，根據(jù)等腰梯的對(duì)角線相等及一個(gè)角為60°，可得一個(gè)等邊三角形或一個(gè)頂角為１２０°的等腰三角形，分兩種情況計(jì)算:(1)當(dāng)是等邊三角形時(shí),此時(shí)上、下底之和恰好等于等邊三角形的邊長(zhǎng),梯形的高等于等邊三角形的高,作等邊三角形的一條高，利用直角三角形可求得梯形的高為,∴梯形ABCD的面積為×２×＝；（２)當(dāng)

14、是一個(gè)頂角為12０°的等腰三角形，底邊上的高等于梯形的高,同樣,可得梯形的高為，梯形AＢCＤ的面積為×2×＝. 三、解答題（２1題6分，2２~24題各８分,25題10分，共4０分） 21．（2０10·武漢）如圖．點(diǎn)B，F(xiàn)，Ｃ，Ｅ在同一條直線上，點(diǎn)A,Ｄ在直線BE的兩側(cè)，AB∥DE，ＡＣ∥DF，BF=ＣＥ.求證：AC=DF. 證明：∵ＢＦ=CE， ∴ＢＦ＋ＦC=ＣE＋FC,即ＢC=FE． ∵AB∥ＤE，ＡC∥DF, ∴∠Ｂ=∠E，∠ACB＝∠ＤＦE， ∴△ABＣ≌△DEＦ（AＳA)， ∴AC＝DＦ。 22．（2010·泰州）如圖，四邊形ABCD是矩形，∠ＥＤC=∠ＣAＢ,∠

15、DＥＣ＝90°。 (１)求證：ＡC∥ＤE； (2）過點(diǎn)B作BF⊥ＡC于點(diǎn)Ｆ，連結(jié)EF，試判別四邊形BCEF的形狀,并說明理由． 解：（1)證明：在矩形ＡBCＤ中,ＡB綊CD， ∴∠CAB＝∠ＡＣD． ∵∠EDC＝∠CAB, ∴∠ＡＣD=∠ＥDＣ, ∴AC∥DE． （２)四邊形BＣEF為平行四邊形，理由如下： ∵BF⊥AC, ∴∠ＢＦＡ＝∠ＤＥC=９0°， 又∵∠EＤC＝∠ＣAB, DＣ＝AB， ∴△ＥDＣ≌△FAB（ＡＡS）， ∴EＣ＝BF。 ∵AＣ∥ＤE, ∴∠ACE＋∠DEC=1８0°， ∴∠ＡCE=９0°,EC⊥AC。 又ＢF⊥ＡC, ∴EC∥B

16、Ｆ． ∴四邊形ＢCEF是平行四邊形. 23.(2010·聊城）如圖,AＤ∥ＦE，點(diǎn)B、C在AD上,∠１=∠2,ＢF＝BC. （１)求證:四邊形ＢCEF是菱形； (2）若AB＝BＣ＝ＣD，求證：△ACF≌△ＢDＥ． 證明:（1)設(shè)BE交CF于點(diǎn)Ｏ， ∵BF=BC，∠１=∠２， ∴BO⊥FC，ＦO＝ＣＯ． 又AD∥ＦE, ∴∠FEO＝∠２，∠EFO=∠BCＯ, ∴△ＢCＯ≌△EFO， ∴ＢO＝ＥO． 又ＦO=CO， ∴四邊形BCＥF是平行四邊形. 又ＢE⊥FC，∴?BCEF是菱形． (２）在菱形BCＥＦ中， BC=BF,BE⊥CＦ． ∵ＡB＝BC=CD， ∴

17、BＦ＝AB＝ＢＣ=AＣ, ∴△AFC是直角三角形,∠AFC＝90°． 同理△ＢＤE是直角三角形，∠BED＝９０°. ∴AF∥BＥ，∠Ａ＝∠2, ∴四邊形AFEB為平行四邊形,∴ＡＦ＝BE。 又∵又AC＝2BＣ＝BD, ∴△AＣF≌△BDE（SAＳ）. ２4．(２０1０·衡陽)如圖,在正方形ABCD中，點(diǎn)Ｅ、F分別在ＢC、ＣD上移動(dòng),但A到ＥＦ的距離AH始終保持與AB長(zhǎng)相等,問在E、Ｆ移動(dòng)過程中： （１）∠ＥAF的大小是否有變化?請(qǐng)說明理由． （2)△ECF的周長(zhǎng)是否有變化？請(qǐng)說明理由。 解：（１)保持不變,為45°，理由如下:在正方形AＢＣD中, AB=AD,∠BAD

18、=90°. ∵AH⊥ＥF，∴∠ＡHE=∠B=90°. 又∵AE=AE,ＡH＝AＢ， ∴△ABE≌△ＡHE（HL）， ∠HＡＥ＝∠BAE. 同理：△ＡDF≌△AHF, ∴∠HAF=∠DＡＦ。 ∴∠ＥAF＝∠HAＥ＋∠HＡＦ＝∠BＡＤ＝45°，∴保持不變． （2）保持不變，理由如下： ∵△AＢE≌△AHＥ, ∴EH=EB． 同理：FH＝FD. ∴△EＣF的周長(zhǎng)=ＥC＋FC＋EF=ＥC+EH＋FC＋FH=ＥC＋EB＋FC+FDCB＋CＤ＝2ＣＤ， ∴保持不變． 25．（2０10·蘇州）如圖，在△ＡＢＣ中，∠C＝90°，AC=8，BC=６。P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于A、B

19、兩點(diǎn)）,過點(diǎn)Ｐ分別作AＣ、BＣ邊的垂線，垂足為M、N.設(shè)AP＝x。 （1）在△ＡBＣ中，AＢ＝＿＿＿＿_(dá)＿_(dá)_； （2）當(dāng)x＝_＿_(dá)_＿_(dá)_＿時(shí),矩形PMＣN的周長(zhǎng)是14； （3）是否存在x的值，使得△ＰAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時(shí)相等?請(qǐng)說出你的判斷，并加以說明． 解：（1）10　(2）5 （３）不存在，理由如下：解法一:∵ＰM⊥AＣ,PN⊥ＢC, ∴∠AMＰ＝∠ＰNB＝９0°． ∵AC∥ＰN, ∴∠A＝∠ＮＰB， ∴△AＭP∽△PＮB， ∴當(dāng)P為AB中點(diǎn)，即AP＝PB時(shí)，△ＡMＰ≌△PNＢ。 ∴此時(shí)Ｓ△AMP=Ｓ△PＮB＝AM·MP=×4×3

20、=6, 而矩形PMCＮ面積＝ＰＭ·MC＝3×４=１2， ∴不存在能使得△ＰＡM的面積、△ＰBN的面積與矩形ＰMＣN的面積同時(shí)相等的ｘ的值 解法二：∵PM⊥AＣ,PN⊥ＢC， ∴∠AＭＰ＝∠PNB＝9０° ∵在Rt△ＡBC中，sinA=，ｃosA=, ∴AＭ=AＰ·cosA=x，即MP＝AP·sinA＝ｘ, ∴MC=AC—AM=8－x, NB=ＢＣ－CN=6－x， ∴S△ＡMＰ=ＡM·ＭＰ=ｘ2， S△PＮＢ＝PN·NB＝(10－x)２。 若S△AMP＝S△PNB,則x＝５。 此時(shí)S△AMP=S△ＰNB=6． 而矩形ＰMCN面積＝PM·MC=３×4＝１2。 ∴不存在能使得△PAM的面積、△PBN的面積和矩形ＰＭCN面積同時(shí)相等的x的值． 不足之處，敬請(qǐng)諒解 9 / 9